Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

 

       Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

 

       Если такое соотношение преобразовать к виду  то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

 

       Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде:  тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

 

- это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

 

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

 

Уравнения вида y’ = f(x).

 

       Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как . Если заданы начальные условия х₀ и у₀, то можно определить постоянную С.

Однородные уравнения.

 

       Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

           

 

       Пример. Является ли однородной функция

 

 

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

 

 

       Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

 

       Любое уравнение вида  является однородным, если функции P ( x , y ) и Q ( x , y ) – однородные функции одинакового измерения.

 

       Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

           

       Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

 

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

       Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

 

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

 

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

 

 

       Пример. Решить уравнение .

 

Введем вспомогательную функцию u .

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

 

 

Разделяем переменные:

 

Интегрируя, получаем:

 

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

 

 

Линейные уравнения.

 

       Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q ( x ) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q ( x ) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

 

       P ( x ) и Q ( x )- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

 

 

Уравнение Бернулли.

 

       Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

 

       Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

       Для этого разделим исходное уравнение на yⁿ.

 

 

Применим подстановку, учтя, что .

 

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

 

       Пример. Решить уравнение

 

Разделим уравнение на xy ²:

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

 

 

       Пример. Решить уравнение

 

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

 

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

 

 

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

 

 

Уравнения Лагранжа и Клеро.

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик

ин. поч. член Петерб. АН )

 

 

       Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y ’.

       Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y ’.

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что , получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

 

       Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

       Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

   

Это уравнение имеет два возможных решения:

 или

В первом случае:

 

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

 

Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение. )

Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

 

       Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

 

Итого, общее решение:

 

C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем:

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение:      верно

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

 

           

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

 

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл имеет вид:

 

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.

 

 

                          С = - 0,5                  С = -0,02             С = -1               С = -2

 

                              С = 0,02           С = 0,5             С = 1                 С = 2

      

 

       Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

 

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение имеет вид:

 

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

 

Окончательно получаем:

 

 

       Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

 

       Действительно, уравнение  может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

 

       Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

 

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

 

Итого         

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем

 

 

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

 

 

       Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.

 

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 

       Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

       Итого  

 

 

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

 (верно)

 

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно

 

 

       Пример. Найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием у(1) = 1.

 

       Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

    

 

 

С учетом начального условия:

Окончательно

 

       Пример. Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием у(1) = 0.

 

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид:

 

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

Пример. Найти решение дифференциального уравнения  с начальным условием у(1) = е.

 

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

 

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

 

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

 

C учетом начального условия у(1) = е:

Частное решение:

 

       Второй способ решения.

 

       Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

 

       Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

 

       Получаем общее решение:

 

 

       Пример. Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием у(1)=0.

 

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид:

Делаем обратную подстановку:

Общее решение:

 

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

 

 

       Второй способ решения.

Замена переменной:

Общее решение:

 

 

Уравнений первого порядка.

 

                                                        у                          a

                                                                                           b

                                                                                             

                                                                              A              S

 

 

                                                                                                                 x

                                                          

 

       Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые. ), линия S, которая задается функцией, являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения

       Производная y ’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

       В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.

Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

       Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.

           

       С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения:

       1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений.

       2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

 

       Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

 

       Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

       В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

       Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

       В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V , которая также является производной по времени t от перемещения S . Т.е.

 

Тогда получаем:  - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

 

 

       Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

 

       Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

 

       Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

 

 

       Пример.

 

 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается .

 

 - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается

 

 - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

       Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

 

Свойства общего решения.

       1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

 

       2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀).

 

 

       Определение. Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решением дифференциального уравнения.

 

       Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

 

       Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

       Если функция f ( x , y ) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D , существует единственное решение  уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j (х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

 

       Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

 

       Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

 

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

       Теперь интегрируем:          

                                                                 - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

 

       Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

       При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

 

       Определение. Интегральной кривой называется график y = j(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

 

       Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

       Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

       Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

 

 

       Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:  Найти особое решение, если оно существует.

       Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0  можно получить из общего решения при С₁ = 0 ошибочно, ведь C ₁ = e^C ¹ 0.

 

12345Следующая ⇒

Поделиться: