Уравнения с разделяющимися переменными

 

       Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

 

 

       Такое уравнение можно представить также в виде:

 

Перейдем к новым обозначениям

 

Получаем:                                

 

 

       После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

       Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

 

 

       Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

           

 

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

 

- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

 

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

 - верно

 

       Пример. Найти решение дифференциального уравнения  при условии у(2) = 1.

 

при у(2) = 1 получаем

Итого:    или  - частное решение;

 

       Проверка:  , итого

 

 - верно.

 

       Пример. Решить уравнение

                                                           - общий интеграл

                                                            - общее решение

 

       Пример. Решить уравнение

 

 

 

       Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см.  Интегрирование по частям. ).

 

 

       Если у(1) = 0, то

 

       Итого, частный интеграл: .

 

 

       Пример. Решить уравнение .

 

 

 

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

 

 

       Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

    Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

 

 

       Пример. Решить уравнение .

 

 

;     ;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х₀ и у₀. Тогда:

 

Получаем частное решение

 

 

Однородные уравнения.

 

       Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

           

 

       Пример. Является ли однородной функция

 

 

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

 

 

       Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

 

       Любое уравнение вида  является однородным, если функции P ( x , y ) и Q ( x , y ) – однородные функции одинакового измерения.

 

       Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

           

       Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

 

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

       Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

 

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

 

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

 

 

       Пример. Решить уравнение .

 

Введем вспомогательную функцию u .

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

 

 

Разделяем переменные:

 

Интегрируя, получаем:

 

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: