Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

 

       Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

 

       Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде:

       Таким образом, для решения надо определить:

1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;

2) как найти эту функцию.

 

Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

Т.е. .        

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

       Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u .

Проинтегрируем равенство :

Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.

       Определим функцию С(у).

Продифференцируем полученное равенство по у.

Откуда получаем:

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

Теперь определяем функцию С(у):

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

 

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

 

       Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.

 

       Пример. Решить уравнение

 

Проверим условие тотальности:

                                              

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u.

;

Итого,

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

 

 

Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).

 

       Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

Для уравнения первого типа получаем:

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

       Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

 

       Для дифференциального уравнения вида x = f ( y ’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: