Бугаенко Елена Анатольевна, учитель математики высшей категории

Баланов А.Б.

_______________________________________________________________________________________

 

Методическая разработка для учащихся 10-11 классов и учителей математики общеобразовательных школ

_______________________________________________________________________________________

 

Решение «экономических» задач при подготовке к ЕГЭ

 

 

2018

Введение

 

В экзаменационных заданиях по математике (профильный уровень) задача с экономическим содержанием присутствует во 2 части работы и, как правило, содержится под №17. Она относится к повышенному уровню сложности и оценивается максимально в 3 балла.

Для успешного решения подобных задач требуется не только владеть определенным математическим инструментарием, но и уметь строить простейшие математические модели по заданным условиям.

В отличие от других экзаменационных заданий, «экономические» задачи не отличаются большим разнообразием и встречаются лишь нескольких типов. В данной методической разработке разобраны все типы задач №17, которые предлагаются разработчиками ЕГЭ для подготовки к выпускным экзаменам в 2018 году.

Кроме того, для понимания учащимися требований оформления экзаменационных работ в разработке размещено решение 17-ой задачи, предоставленное автором на независимой диагностике учителей математики в 2018 году.

 

Оглавление

Введение.. 2

Отзывы.. 4

Языком цифр.. 5

1. Типы задач с экономическим содержанием... 6

2. Кредиты.. 8

2.1 Погашение кредита равными долями.. 8

2.2 Равномерное уменьшение долга по сравнению с предыдущим периодом... 10

2.3 Остаток долга по заданной таблице.. 13

3. Вклады.. 15

3.1 Сравнение выгоды.. 15

3.2 Изменяющиеся проценты.. 16

4. Задачи на оптимальный выбор.. 17

4.1 Производительность. 17

4.2 Окупаемость. 18

5. Пример оформления 17 задачи на экзаменационном бланке.. 19

6. Ответы.. 20

7. Список используемой литературы.. 20

 

Отзывы

 

Задачи о вкладах и кредитовании, а также задачи оптимизации производства товаров и услуг сравнительно недавно включены во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня и вызывают значительные затруднения у абсолютного большинства выпускников. В действующих в 10-11 классах учебниках нет материала по решению задач с экономическим содержанием. Автор делает весьма удачную попытку классифицировать и систематизировать типы «экономических» задач и методы их решения. Хорошо, что в разработке по каждой теме представлены задания для самостоятельного решения. Данная методическая разработка очень своевременна и полезна и для учащихся, и для учителей, занимающихся подготовкой к ЕГЭ.

Бугаенко Елена Анатольевна, учитель математики высшей категории

Мы, инженеры, сегодня не просто что-то разрабатываем, налаживаем, ремонтируем, но и постоянно просчитываем экономическую составляющую. Что выгоднее – починить или заменить, предложить новую модель или модернизировать старую, научить клиента обслуживать оборудование или взять на себя. Я считаю, что задачи на оптимальный выбор нужно начинать решать уже в школе. В конце концов, и в профессии, и в жизни сделать правильный выбор – очень важно!

Белов Александр Ефимович,

Ведущий инженер компании «Данфосс» (Дания)

 

В своей работе я часто сталкиваюсь с графиками, диаграммами, процентами. И мне кажется странным, что выпускники школ не владеют элементарными навыками для вычисления, например, полной суммы выплат кредита или налогов с зарплаты. На мой взгляд, представленная работа вносит свой вклад в разрешение проблемы, и автор правильно заострил внимание именно на экономической стороне стоящих задач.

Зацепин Валентин Сергеевич,

Менеджер по маркетингу и рекламе ИТ-компании «Терн»

В современной жизни важны не только знания математических формул, но и умения сотрудников применять эти знания в конкретной ситуации. Даже скажу больше: на первом месте именно умения, а не теоретические познания. Поэтому я считаю правильным делом разработку именно тех материалов, которые помогают выпускникам успешно влиться во взрослую жизнь.

Орлов Георгий Валерьевич,

Языком цифр

 

Задание 17, в основном, в 2017 году представляло задачу на кредиты. Процент решаемости оказался в пределах статистики для решения подобных заданий (1 балл получило 5,35% от общего числа участников экзамена, 2 балла – 5,35%, 3 балла – 17,16%).

 

Основные ошибки, допущенные участниками экзамена:

– неверное составление модели;

– вычислительные (арифметические);

– прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без доведения ответа до числового значения;

– решение методом перебора без обоснования единственности;

– решение без вывода формул (решение имеет вид «формула – ответ»), что можно трактовать ка неумение строить математическую модель.

 

Распределение удовлетворенных апелляций по задачам с развернутым ответом:

Как видно из диаграммы, каждая четвертая задача № 17 после апелляции засчитывалась. И хотя, я считаю, что до апелляции доводить не стоит, хочется верить, что так или иначе вы свои баллы с помощью этой книжки наберете!

 

1. Типы задач с экономическим содержанием

 

Направление	Особенность	Раздел	Пример
Кредиты	Погашение кредита равными долями	2.1	31 декабря 2017 года Сергей взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Кредиты	Равномерное уменьшение долга по сравнению с предыдущим периодом	2.2	В январе планируется взять кредит на 5 месяцев. Условия по договору следующие: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2–го по 14-е число нужно выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Сколько процентов от суммы кредита составит общая сумма выплат за весь срок?
Кредиты	Остаток долга по заданной таблице	2.3	16 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. руб. По условиям договора: − 1-го числа месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число. − Со 2-го по 15-е число необходимо выплатить часть долга. − 16-го числа каждого месяца долг должен составлять сумму в соответствии с таблицей: Месяц Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Долг 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Найдите наибольшее r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн. руб.
Вклады	Сравнение выгоды	3.1	В начале 2018 года Юрий приобрел ценную бумагу стоимостью 25000 рублей. В конце каждого года цена бумаги увеличивается на 3000 рублей. В начале любого года Юрий может продать бумагу и сразу положить вырученные деньги на банковский счет. В этом случае каждый год сумма на счете будет расти на 10 %. Через сколько лет Юрий должен продать ценную бумагу, чтобы через 5 лет после ее покупки сумма на его банковском счете была наибольшей?
Вклады	Изменяющиеся проценты	3.2	В январе 2016 года предприниматель положил в банк некоторую сумму под х% годовых. Через год, в январе 2017 года, он снял 1/5 положенных денег, а оставшиеся деньги оставил в банке под у%. Известно, что (х+у)=30%. Каков должен быть х, чтобы в январе 2018 года сумма на счету предпринимателя была максимальной?
Оптимальный выбор	Производительность	4.1	У фермера есть два одинаковых поля по 10 га каждое. На каждом можно выращивать картофель и кукурузу, причем какую площадь занять под каждую культуру, фермер решает сам. Урожайность картофеля на 1 поле составляет 400 ц/га, а на 2 поле – 300 ц./га. Урожайность кукурузы на 1 поле составляет 300 ц/га, а на 2 поле – 400 ц/га. Картофель фермер продает по 5000 руб./ц, а кукурузу – по 6000 руб./ц. Какой максимальный доход может получить фермер?
Оптимальный выбор	Окупаемость	4.2	Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5х2+х+9) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх – 0,5(х2+х+9). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

 

Кредиты

Вклады

Сравнение выгоды

 

В задачах этого типа нужно представить себе весь процесс, «вжиться» в ситуацию и понять на каком этапе один вариант начинает перевешивать другой.

 

Задача 1

В начале 2018 года Юрий приобрел ценную бумагу стоимостью 25000 рублей. В конце каждого года цена бумаги увеличивается на 3000 рублей. В начале любого года Юрий может продать бумагу и сразу положить вырученные деньги на банковский счет. В этом случае каждый год сумма на счете будет расти на 10 %. Через сколько лет Юрий должен продать ценную бумагу, чтобы через 5 лет после ее покупки сумма на его банковском счете была наибольшей?

 

Решение

У Юрия альтернатива: либо получать ежегодно по 3000 руб., либо попытаться превысить это доход за счет процентов, начисляемых банком. Может оказаться, что в определенный момент проценты на вклад будут больше дохода в 3000 руб., но возможен и вариант, что стабильный доход в 3000 руб. будет выгоднее в течение указанного в условии промежутка времени.

Пусть через N лет после покупки ценной бумаги Юрий решается ее продать. К тому времени стоимость бумаги будет составлять 19000 + N*3000 руб.

Сколько Юрий заработает на процентах на следующий год? 0,1*(19000 +N*3000).

Вот эту величину и нужно сравнить с 3000 руб., которые Юрий рискнул потерять.

0,1*(19000 + N*3000) > 3000

N > (30000 – 19000)/3000

N > 3,3

Так как N – целое число, то Юрию будет достаточно 4 года.

Ответ: 4

 

Задача 2

Компания «Омега» работает с двумя банками под разные проценты годовых. В начале года она положила 60% прибыли в банк «Альфа», а оставшуюся часть - в банк «Бета». К концу 1 года сумма этих вкладов достигла 590 тыс. руб., а к концу 2-го года - 701 тыс. руб. Если бы компания первоначально положила 60% своей прибыли в банк «Бета», а оставшуюся часть в банк «Альфа», то по окончании 1-го года сумма вкладов стала бы равной 610 тыс.  руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу 2-го года?

 

Решение

Пусть S – сумма прибыли, которой распоряжается компания. Тогда в банк «Альфа» она положила 0,6S, а в банк «Бета» - 0,4S. Во втором случае деньги бы распределились 0,4S и 0,6S соответственно. Пусть x – проценты банка «Альфа», а y – проценты банка «Бета».

Под x и y понимаются величины (1 + r1/100) и (1 + r2/100), то есть коэффициенты (надбавки) на сумму остатка на счете. В задачах данного типа нет смысла «таскать хвост» из такого длинного выражения, поэтому будем упрощенно называть x и y процентами.

Тогда получим систему уравнений:

(1) 0,6*Sx + 0,4*Sy = 590

(2) 0,6*Sx² + 0,4*Sy² = 701

(3) 0,4*Sx + 0,6*Sy = 610

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Следовательно, система решаема. Как именно решать – дело вкуса, приведу вариант, который мне кажется менее трудозатратным.

 

Алгоритм:

1. Складываем (1) и (3): Sx + Sy = 1200

2. Выражаем Sx через Sy: Sx = 1200 – Sy и подставляем в (1): 0,6*(1200 - Sy) + 0,4Sy = 590

3. Находим Sy = 650. Соответственно, Sx = 1200 – 650 =550

4. (2) представляем в виде 0,6*x*Sx + 0,4*y*Sy = 701 и подставляем найденные Sx и Sy. В итоге получим y = 13x/11

5. Теперь y, Sx и Sy ставим в (1). Получаем 0,6*550*x +0,4*650*y = 701. Находим x=1,1, y=1,3

Интересующая нас сумма вкладов к концу 2 года при альтернативном выборе 0,4Sx² + 0,6Sy². Подставив все найденные значения, получим 749 (тыс. руб.).

Ответ: 749000

 

Задачи для самостоятельной работы

 

3.1.1

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

3.1.2

В начале года Алексей 5/6 всех своих денег положил в банк А, а 1/6 - в банк Б. К концу 1-го года сумма вкладов стала равна 670 тыс. руб., к концу 2-го – 749 тыс. руб. Если бы Алексей 5/6 суммы положил в банк Б, а 1/6 - банк А, то по окончании 1-го года сумма составила бы 710 тыс. руб. Какова была бы в этом случае сумма вкладов по окончании 2-го года?

Изменяющиеся проценты

 

Задача 1

В январе 2016 года предприниматель положил в банк некоторую сумму под х% годовых. Через год, в январе 2017 года, он снял 1/5 положенных денег, а оставшиеся деньги оставил в банке под у%. Известно, что (х+у)=30%. Каков должен быть х, чтобы в январе 2018 года сумма на счету предпринимателя была максимальной?

 

Решение

Рассмотрим, что происходит с суммой вклада S:

· 1 января 2017 года банк начислил х% за год хранения и сумма на вкладе стала S*(1 + x/100)

· Предприниматель снял 1/5 первоначальных денег, то есть осталось: S*(1 + x/100) – 1/5S

· 1 января 2018 года банк начислил у% за год хранения: (S*(1 + x/100) -1/5S)*( 1 + у/100)

Подставим у=30-х и после упрощения получим: S*(4/5 + х/100)*(130-х)/100 = S*(80+х)(130-х)/50000

Данное выражение является квадратной функцией от переменной х. Возьмем производную, приравняем ее к нулю и найдем точку максимума: -2х+50=0 => X=25

 

Ответ: 25%

Задачи для самостоятельной работы

 

3.2.1

Каждый год процент на вклад «Эффективный» увеличивается на 1%. При этом начальный процент составляет 5%, а максимальный процент - 12% и выше подняться не может. Максим положил в банк 1 млн. руб. с целью увеличить сумму до 1,5 млн. руб. Сколько лет потребуется Максиму?

Задачи на оптимальный выбор

Производительность

 

Задача 1

У фермера есть два одинаковых поля по 10 га каждое. На каждом можно выращивать картофель и кукурузу, причем какую площадь занять под каждую культуру, фермер решает сам. Урожайность картофеля на 1 поле составляет 400 ц/га, а на 2 поле – 300 ц./га. Урожайность кукурузы на 1 поле составляет 300 ц/га, а на 2 поле – 400 ц/га. Картофель фермер продает по 5000 руб./ц, а кукурузу – по 6000 руб./ц. Какой максимальный доход может получить фермер?

 

Решение

Доход находится в прямой пропорциональной зависимости от площади, урожайности и цены, то есть Д = П*У*Ц. Обозначим х и у – площади, отведенные под картофель на 1 и 2 поле соответственно. Тогда под кукурузу будет отведено (10-х) и (10-у) гектаров соответственно. Занесем все данные в таблицы для 1-го и 2-го поля:

Поле

	Площадь	Урожайность	Цена
Картофель	х	400	5000
Кукуруза	10-х	300	6000

Доход с первого поля будет равен сумме доходов от продажи картофеля и кукурузы, то есть Д1=400*х*5000 + (10-х)*300*6000

Поле

	Площадь	Урожайность	Цена
Картофель	у	300	5000
Кукуруза	10-у	400	6000

Доход со второго поля тоже будет равен сумме доходов от продажи картофеля и кукурузы, то есть Д2=300*у*5000 + (10-у)*400*6000

Общий доход с двух полей, таким образом, Д=Д1+Д2=400*х*5000 + (10-х)*300*6000 + 300*у*5000 + (10-у)*400*6000 = 2*10⁵*х – 9*10⁵*у + 42*10⁶

Очевидно, данное выражение максимально при наибольшем х и наименьшем у. Следовательно, х=10, у=0 (то есть все 1 поле засеваем картофелем, а 2 поле – кукурузой). Осталось посчитать доход: Д=2*10⁵*10 + 42*10⁶ =44*10⁶ руб.

Ответ: 44000000 руб.

Задача 2

В Шахтерске и Кузнецке имеется по 250 рабочих. Они готовы трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В Шахтерске один рабочий добывает за 1 час 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. В Кузнецке для добычи х кг алюминия требуется х² человеко-часов, а для добычи у кг никеля требуется у² человеко-часов. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух городах за сутки, если для промышленности неважно, что использовать – никель или алюминий?

 

Решение

В Шахтерске с выбором все просто: поскольку успешнее добывается алюминий, то всех рабочих и направляем на его добычу. За 5 часов работы 250 рабочих добудут 250*5*0,2=250 кг.

В Кузнецке зависимость иная: для добычи 1 кг нужен 1 рабочий/час, для 2 кг – 4 рабочих/час, для 3 кг – 9 и т.д. Пусть на добыче алюминия будет работать t человек. Тогда на добычу никеля выйдут (250-t) человек. За 5 часов работы будет добыто √(5t) + √(5*(250-t).

Введем функцию Z(t)= √(5t) + √(5*(250-t). Найдем ее производную и приравняем к 0.

Z^’(t)= 5/(2√(5t)) - 5/(2√(5(250-t))) = 0

t=125

Таким образом, в Кузнецке на никель и алюминий выйдут по 125 человек. Общая добыча в 2 городах составит: 250 + √(5*125) + √(5*(250-125) = 250+25+25 = 300 кг.

Ответ: 300

 

Задачи для самостоятельной работы

 

4.1.1

У фермера есть два одинаковых поля по 10 га каждое. На каждом можно выращивать картофель и кукурузу, причем какую площадь занять под каждую культуру, фермер решает сам. Урожайность картофеля на 1 поле составляет 200 ц/га, а на 2 поле – 300 ц./га. Урожайность кукурузы на 1 поле составляет 250 ц/га, а на 2 поле – 200 ц/га. Картофель фермер продает по 1500 руб./ц, а кукурузу – по 1800 руб./ц. Какой максимальный доход может получить фермер?

4.1.2

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте трудятся 100 рабочих по 7 часов в сутки. При этом один рабочий добывает в час 1 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте трудятся 300 рабочих по 7 часов в день. При этом один рабочий добывает в час 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Весь добытый металл отправляется на переплавку, где производится сплав из соотношения алюминий : никель =2:1. Какое наибольшую массу сплава можно изготовить в сутки?

 

Окупаемость

 

Задача 1

Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5х²+х+9) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх – 0,5(х²+х+9). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

Решение

Прибыль за 1 год рх – 0,5(х²+х+9) = -0,5х² +х*(р-1) – 9. Получили функцию F(х), которая показывает зависимость годовой прибыли от количества продукции. Чтобы найти наибольшее значение прибыли, возьмем производную: F ^’ ( x )=- x + p – 1, то есть при х= p -1 прибыль максимальна и равна ( p -1)²/2 – 9.

За пять лет прибыль составит 5*(( p -1)²/2 – 9). Эта цифра должна быть не менее 115 тыс.руб.

Получим: 5*(( p -1)²/2 – 9)≥115

( p -1)²)≥64

Решая квадратное уравнение, получим 2 корня: р=-7 и р=9. Неравенству удовлетворяют интервалы р≥9 и р≤-7. Цена может быть только положительной величиной, поэтому оставляем только интервал р≥9. Очевидно, что минимальная цена р=9.

Ответ: 9

Задачи для самостоятельной работы

 

4.2.1

Строительство нового завода стоит 122 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5х2 -2х+10) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх – 0,5(х2-2х+10). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?

5. Пример оформления 17 задачи на экзаменационном бланке

 

В феврале 2018 года на Независимой диагностике (ЕГЭ математика, профильный уровень) это оформление задачи не вызвало нареканий у проверяющих. Соответственно, рекомендую и вам, уважаемые читатели, придерживаться стиля оформления с таблицей и кратким пояснением.

Задача

Дмитрий думает, на сколько лет взять кредит в банке под 20% годовых: на 2 или на 4 года. Условия кредита: выплачивать ежегодно равными платежами. Сумма кредита 2013000 руб. Какова будет переплата Дмитрия, если он возьмет кредит на 4 года?

 

Ответы

 

Ответы к задачам для самостоятельной работы

 

2.1.1	9282000
2.1.2	7
2.2.1	822000
2.2.2	60
2.2.3	19
2.3.1	9
3.1.1	8
3.1.2	841
3.2.1	6
4.1.1	9
4.1.2	5400
4.2.1	7

 

Список используемой литературы

 

1. Под ред. Ященко И.В. «ЕГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Профильный уровень. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ».

2. Материалы образовательного портала ege.sdamgia.ru

3. Материалы образовательного портала infourok.ru

4. Прокофьев А.А. «Рекомендации по подготовке к выполнению задания №17 (финансово-экономические задачи) ЕГЭ профильного уровня».

Баланов А.Б.

_______________________________________________________________________________________

 

Методическая разработка для учащихся 10-11 классов и учителей математики общеобразовательных школ

_______________________________________________________________________________________

 

Решение «экономических» задач при подготовке к ЕГЭ

 

 

2018

Введение

 

В экзаменационных заданиях по математике (профильный уровень) задача с экономическим содержанием присутствует во 2 части работы и, как правило, содержится под №17. Она относится к повышенному уровню сложности и оценивается максимально в 3 балла.

Для успешного решения подобных задач требуется не только владеть определенным математическим инструментарием, но и уметь строить простейшие математические модели по заданным условиям.

В отличие от других экзаменационных заданий, «экономические» задачи не отличаются большим разнообразием и встречаются лишь нескольких типов. В данной методической разработке разобраны все типы задач №17, которые предлагаются разработчиками ЕГЭ для подготовки к выпускным экзаменам в 2018 году.

Кроме того, для понимания учащимися требований оформления экзаменационных работ в разработке размещено решение 17-ой задачи, предоставленное автором на независимой диагностике учителей математики в 2018 году.

 

Оглавление

Введение.. 2

Отзывы.. 4

Языком цифр.. 5

1. Типы задач с экономическим содержанием... 6

2. Кредиты.. 8

2.1 Погашение кредита равными долями.. 8

2.2 Равномерное уменьшение долга по сравнению с предыдущим периодом... 10

2.3 Остаток долга по заданной таблице.. 13

3. Вклады.. 15

3.1 Сравнение выгоды.. 15

3.2 Изменяющиеся проценты.. 16

4. Задачи на оптимальный выбор.. 17

4.1 Производительность. 17

4.2 Окупаемость. 18

5. Пример оформления 17 задачи на экзаменационном бланке.. 19

6. Ответы.. 20

7. Список используемой литературы.. 20

 

Отзывы

 

Задачи о вкладах и кредитовании, а также задачи оптимизации производства товаров и услуг сравнительно недавно включены во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня и вызывают значительные затруднения у абсолютного большинства выпускников. В действующих в 10-11 классах учебниках нет материала по решению задач с экономическим содержанием. Автор делает весьма удачную попытку классифицировать и систематизировать типы «экономических» задач и методы их решения. Хорошо, что в разработке по каждой теме представлены задания для самостоятельного решения. Данная методическая разработка очень своевременна и полезна и для учащихся, и для учителей, занимающихся подготовкой к ЕГЭ.

Бугаенко Елена Анатольевна, учитель математики высшей категории

Мы, инженеры, сегодня не просто что-то разрабатываем, налаживаем, ремонтируем, но и постоянно просчитываем экономическую составляющую. Что выгоднее – починить или заменить, предложить новую модель или модернизировать старую, научить клиента обслуживать оборудование или взять на себя. Я считаю, что задачи на оптимальный выбор нужно начинать решать уже в школе. В конце концов, и в профессии, и в жизни сделать правильный выбор – очень важно!

123456Следующая ⇒

Поделиться: