Остаток долга по заданной таблице

 

Задача 1

В июле 2018 года планируется взять кредит в банке на 4 года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц и год	Июль 2019	Июль 2020	Июль 2021	Июль 2022
Долг (в млн рублей)	0,8S	0,5S	0,1S	0

При каком наибольшем S общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей?

 

Решение

	1 год	2 год	3 год	год
ДОЛГ	1,15*S	1,15*0,8S	1,15*0,5S	1,15*0,1S
ВЫПЛАТА	1,15*S - 0,8S	1,15*0,8S - 0,5S	1,15*0,5S - 0,1S	1,15*0,1S
ОСТАТОК	0,8S	0,5S	0,1S	0

Найдем общую сумму выплат и сравним ее с 50 млн. руб.

(1,15*S - 0,8S) + (1,15*0,8S - 0,5S) + (1,15*0,5S - 0,1S) + (1,15*0,1S) < 50

1,36S < 50

S < 36,76

Так как по условию задачи S – целое число, то выбираем ближайшее.

Ответ: 36

 

Задача 2

15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

− 1-го числа месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число.

− Со 2-го по 14-е число необходимо выплатить часть долга.

− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль
Долг	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее r, при котором сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.

Решение

Переведем r из процентов в десятичную дробь: r/100. Тогда долг на начало февраля будет считаться как (1 +r/100)*1млн. = (1 +r/100), долг на начало марта (1 +r/100)*0,6 млн = 0,6*(1+r/100) и т.д.

После чего, как обычно, заполним графу ВЫПЛАТА = ДОЛГ - ОСТАТОК

	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль
ДОЛГ	(1 +r/100)	0,6*(1+r/100)	0,4*(1+r/100)	0,3*(1+r/100)	0,2*(1+r/100)	01*(1+r/100)
ВЫПЛАТА	(1 +r/100) - 0,6	0,6*(1+ r /100) - 0,4	0,4*(1+ r /100) - 0,3	0,3*(1+ r /100) - 0,2	0,2*(1+ r /100) - 0,1	01*(1+r/100)
ОСТАТОК	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

 

Осталось сложить все суммы выплат и сравнить с 1,2 млн.

(1 +r/100) - 0,6 + 0,6*(1+ r /100) - 0,4 + 0,4*(1+ r /100) - 0,3 + 0,3*(1+ r /100) - 0,2 + 0,2*(1+ r /100) - 0,1 + 01*(1+ r /100) < 1,2

Сгруппируем отдельно подчеркнутые и неподчеркнутые слагаемые.

(1+r/100)*(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 +0,1) - (0,6+0,4+0,3+0,2+0,1) < 1,2

(1+r/100) < (1,2 + 1,6)/2,6

r/100 < 0, 077

r < 7,7

По условию задачи r – целое число. Следовательно, r=7.

Ответ: 7

 

Задачи для самостоятельной работы

 

2.3.1

16 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. руб. По условиям договора: − 1-го числа месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число. − Со 2-го по 15-е число необходимо выплатить часть долга. − 16-го числа каждого месяца долг должен составлять сумму в соответствии с таблицей: Месяц Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Долг 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Найдите наибольшее r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн. руб.

Вклады

Сравнение выгоды

 

В задачах этого типа нужно представить себе весь процесс, «вжиться» в ситуацию и понять на каком этапе один вариант начинает перевешивать другой.

 

Задача 1

В начале 2018 года Юрий приобрел ценную бумагу стоимостью 25000 рублей. В конце каждого года цена бумаги увеличивается на 3000 рублей. В начале любого года Юрий может продать бумагу и сразу положить вырученные деньги на банковский счет. В этом случае каждый год сумма на счете будет расти на 10 %. Через сколько лет Юрий должен продать ценную бумагу, чтобы через 5 лет после ее покупки сумма на его банковском счете была наибольшей?

 

Решение

У Юрия альтернатива: либо получать ежегодно по 3000 руб., либо попытаться превысить это доход за счет процентов, начисляемых банком. Может оказаться, что в определенный момент проценты на вклад будут больше дохода в 3000 руб., но возможен и вариант, что стабильный доход в 3000 руб. будет выгоднее в течение указанного в условии промежутка времени.

Пусть через N лет после покупки ценной бумаги Юрий решается ее продать. К тому времени стоимость бумаги будет составлять 19000 + N*3000 руб.

Сколько Юрий заработает на процентах на следующий год? 0,1*(19000 +N*3000).

Вот эту величину и нужно сравнить с 3000 руб., которые Юрий рискнул потерять.

0,1*(19000 + N*3000) > 3000

N > (30000 – 19000)/3000

N > 3,3

Так как N – целое число, то Юрию будет достаточно 4 года.

Ответ: 4

 

Задача 2

Компания «Омега» работает с двумя банками под разные проценты годовых. В начале года она положила 60% прибыли в банк «Альфа», а оставшуюся часть - в банк «Бета». К концу 1 года сумма этих вкладов достигла 590 тыс. руб., а к концу 2-го года - 701 тыс. руб. Если бы компания первоначально положила 60% своей прибыли в банк «Бета», а оставшуюся часть в банк «Альфа», то по окончании 1-го года сумма вкладов стала бы равной 610 тыс.  руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу 2-го года?

 

Решение

Пусть S – сумма прибыли, которой распоряжается компания. Тогда в банк «Альфа» она положила 0,6S, а в банк «Бета» - 0,4S. Во втором случае деньги бы распределились 0,4S и 0,6S соответственно. Пусть x – проценты банка «Альфа», а y – проценты банка «Бета».

Под x и y понимаются величины (1 + r1/100) и (1 + r2/100), то есть коэффициенты (надбавки) на сумму остатка на счете. В задачах данного типа нет смысла «таскать хвост» из такого длинного выражения, поэтому будем упрощенно называть x и y процентами.

Тогда получим систему уравнений:

(1) 0,6*Sx + 0,4*Sy = 590

(2) 0,6*Sx² + 0,4*Sy² = 701

(3) 0,4*Sx + 0,6*Sy = 610

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Следовательно, система решаема. Как именно решать – дело вкуса, приведу вариант, который мне кажется менее трудозатратным.

 

Алгоритм:

1. Складываем (1) и (3): Sx + Sy = 1200

2. Выражаем Sx через Sy: Sx = 1200 – Sy и подставляем в (1): 0,6*(1200 - Sy) + 0,4Sy = 590

3. Находим Sy = 650. Соответственно, Sx = 1200 – 650 =550

4. (2) представляем в виде 0,6*x*Sx + 0,4*y*Sy = 701 и подставляем найденные Sx и Sy. В итоге получим y = 13x/11

5. Теперь y, Sx и Sy ставим в (1). Получаем 0,6*550*x +0,4*650*y = 701. Находим x=1,1, y=1,3

Интересующая нас сумма вкладов к концу 2 года при альтернативном выборе 0,4Sx² + 0,6Sy². Подставив все найденные значения, получим 749 (тыс. руб.).

Ответ: 749000

 

Задачи для самостоятельной работы

 

3.1.1

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

3.1.2

В начале года Алексей 5/6 всех своих денег положил в банк А, а 1/6 - в банк Б. К концу 1-го года сумма вкладов стала равна 670 тыс. руб., к концу 2-го – 749 тыс. руб. Если бы Алексей 5/6 суммы положил в банк Б, а 1/6 - банк А, то по окончании 1-го года сумма составила бы 710 тыс. руб. Какова была бы в этом случае сумма вкладов по окончании 2-го года?

Изменяющиеся проценты

 

Задача 1

В январе 2016 года предприниматель положил в банк некоторую сумму под х% годовых. Через год, в январе 2017 года, он снял 1/5 положенных денег, а оставшиеся деньги оставил в банке под у%. Известно, что (х+у)=30%. Каков должен быть х, чтобы в январе 2018 года сумма на счету предпринимателя была максимальной?

 

Решение

Рассмотрим, что происходит с суммой вклада S:

· 1 января 2017 года банк начислил х% за год хранения и сумма на вкладе стала S*(1 + x/100)

· Предприниматель снял 1/5 первоначальных денег, то есть осталось: S*(1 + x/100) – 1/5S

· 1 января 2018 года банк начислил у% за год хранения: (S*(1 + x/100) -1/5S)*( 1 + у/100)

Подставим у=30-х и после упрощения получим: S*(4/5 + х/100)*(130-х)/100 = S*(80+х)(130-х)/50000

Данное выражение является квадратной функцией от переменной х. Возьмем производную, приравняем ее к нулю и найдем точку максимума: -2х+50=0 => X=25

 

Ответ: 25%

Задачи для самостоятельной работы

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: