Погашение кредита равными долями

 

Задача 1

31 декабря 2017 года Сергей взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

 

Решение

1 января 2018 года Сергей будет должен банку не только 2648000 руб., но и 10% от этой суммы, т.е. 2648000 + 0,1*2648000 = 1,1*2648000 руб. Затем Сергей выплачивает х руб. и остается должен (1,1*2648000 – х) руб.

1 января 2019 года Сергей будет должен банку оставшуюся сумму плюс проценты на нее, то есть (1,1*2648000 – х) + 0,1*(1,1*2648000 – х) = 1,1*(1,1*2648000 – х). Затем выплачивается снова сумма в х руб., и остаток долга будет составлять (1,1*(1,1*2648000 – х) – х) руб.

Наконец, 1 января 2020 года банк еще раз начисляет проценты на остаток долга, в результате чего Сергей должен (1,1*(1,1*2648000–х)–х)+0,1*(1,1*(1,1*2648000–х)–х)=1,1*(1,1*(1,1*2648000 – х)-х) руб. В течение года Сергей в последний раз выплачивает х руб., после чего кредит считается погашенным (то есть остаток долга равен 0).

 

Приведенные рассуждения удобно представить в виде таблицы ДОЛГ-ВЫПЛАТА-ОСТАТОК

	1 год (2018)	2 год (2019)	3 год (2020)
ДОЛГ	1,1*2648000	1,1*(1,1*2648000 – х)	1,1*(1,1*(1,1*2648000 –х) – х)
ВЫПЛАТА	х	х	х
ОСТАТОК долга	1,1*2648000 – х	1,1*(1,1*2648000 –х) - х	0

 

Обычно числа в задачах подобраны так, чтобы сумма кредита хорошо делилась на коэффициент при Х. Если у Вас так не происходит – проверьте еще раз вычисления, велика вероятность арифметической ошибки!

В приведенной таблице ОСТАТОК = ДОЛГ ­­- ВЫПЛАТА. Из данных правого столбца составим уравнение: 1,1*(1,1*(1,1*2648000 –х) – х) – х = 0

1,1* (1,1*1,1*2648000 – 1,1х – х) – х = 0

1,1*1,1*1,1*2648000 – 1,21х – 1,1х – х = 0

1,331*2648000 = 3,31х

Х=1064800

Ответ: 1064800 руб.

 

Задача 2

В сентябре Федор взял кредит в 1,5 млн. руб. По условиям договора:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по август каждого года Федор выплачивает часть долга.

На какое минимальное количество лет может взять кредит Федор, чтобы не выплачивать более 450 тыс. руб. в год?

 

Решение

В явном виде нам не указано, что гасить кредит нужно равными долями, однако, это тот же тип задачи. Во-первых, логично, что чем больше мы выплачиваем, тем быстрее погасим кредит, а, во-вторых, у нас есть верхнее ограничение по сумме выплат – 450 тыс. руб. Значит, будем выплачивать по максимуму в 0,45 млн., чтобы расплатиться как можно быстрее.

Составим таблицу, как в предыдущей задаче (для удобства все суммы будем считать в млн. руб.):

	1 год	2 год	3 год
ДОЛГ на январь	1,1*1,5	1,1*(1,1*1,5 – 0,45)=1,12 - 0,45*1,1	1,1*(1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45)=1,13*1,5 ­­- 0,45*1,12 - 0,45*1,1
ВЫПЛАТА с февраля по август	0,45	0,45	0,45
ОСТАТОК долга	1,1*1,5– 0,45	1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45 = 1,12 - 0,45*1,1 – 0,45	1,1*(1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45)=1,13*1,5 ­­- 0,45*1,12 - 0,45*1,1 – 0,45
	4 год	(n-1) год	n год
ДОЛГ на январь	1,1*(1,1*(1,1*(1,1*1,5 –0,45) – 0,45) – 0,45) = 1,14*1,5 – 0,45*1,13 - 0,45*1,12 – 0,45*1,1	1,1n-1*1,5 – 0,45*1,1n-2 - 0,45*1,12 – 0,45*1,1	1,1n*1,5 – 0,45*1,1n-1 - 0,45*1,12 – 0,45*1,1
ВЫПЛАТА с февраля по август	0,45	0,45	0,45
ОСТАТОК долга	1,1*(1,1*(1,1*(1,1*1,5 –0,45) – 0,45) – о,45) -0,45 = 1,14*1,5 – 0,45*1,13 - 0,45*1,12 – 0,45*1,1 – 0,45	1,1n-1*1,5 – 0,45*1,1n-2 - 0,45*1,12 – 0,45*1,1 – 0,45	0

После n лет Федор расплатится по кредиту, то есть его остаток долга будет равен 0 (при решении может получиться и отрицательное число, это означает, что в последний год Федору необязательно выплачивать 450 тыс. руб., а достаточно меньшей суммы). Из данных правого столбца для n-го года составим уравнение:

1,1ⁿ*1,5 – 0,45*1,1^n-1 - 0,45*1,1² – 0,45*1,1 – 0,45 = 0

1,1ⁿ*1,5 – 0,45*(1+1,1+1,1²+….+1,1^n-1)=0

Выражение в скобках – это сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом b₁=1 и последним членом b_n=b₁*q^n-1. Применяя формулу для вычисления суммы n членов геометрической прогрессии, получим:

1,1ⁿ*1,5 – 0,45*(1,1ⁿ-1)/(1,1-1)=0

1,1ⁿ*1,5 – 4,5*1,1ⁿ +4,5=0

1,1ⁿ = 1,5

4<n<5

Значит, Федор погасит кредит за 5 лет.

Ответ: 5.

Несмотря на явную простоту такого подхода, имеется «подводный камень»: не всегда учащимся удается доказать свое умение строить математическую модель, есть риск, что при проверке задание могут не зачесть или зачесть не полностью. Поэтому обязательно опишите, откуда взялось число 1,1 и почему мы продолжаем вычисления до появления отрицательного числа.

Иногда подобные задачи можно решить, не выводя формулу для n лет. Достаточно последовательно посчитать остаток долга в цифрах – после 1 года, 2 года и т.д. Как только остаток долга станет 0 или отрицательным, значит, искомый год найден.

В нашей задачe получим:

· после 1 года: 1,1*1,5 – 0,45 = 1,2

· после 2 года 1,1*1,2 – 0,45 = 0,87

· после 3 года 1,1*0,87 – 0,45 = 0,507

· после 4 года 1,1*0,507 – 0,45= 0,1077

· после 5 года 1,1*0,1077 – 0,45 = -0,33153

Получив отрицательное число, делаем вывод, что на 5 году кредит будет полностью выплачен.

 

 

Ознакомьтесь с оформлением подобной задачи в разделе 5.

Задачи для самостоятельной работы

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: