Уравнения поля в дифференциальной форме.

Использование уравнений электромагнитного поля в интегральной форме для анализа электромагнитных процессов возможно лишь для весьма ограниченного числа случаев, когда имеет место симметрия объектов. Для практического решения задач более удобной является дифференциальная форма уравнений поля.

В уравнении (2.8) возьмем на поверхности s некоторую фиксированную точку с направлением нормали  и осуществим предельный переход s ® 0, сохраняя малую окрестность вокруг рассматриваемой точки, разделив обе части уравнения на величину поверхности:

.                     (3.1)

Видно, что правая часть полученного равенства представляет проекцию вектора плотности полного тока на направление . Левая часть поэтому также может интерпретироваться как проекция некоторого вектора на это же направление. Этот вектор называется ротором или вихрем поля , а выражение для его проекции, следующее из (3.1) может быть взято за определение:

.                  (3.2)

Сам rot  может быть однозначно определен по трем проекциям на координате оси какой-либо системы координат. Выбирая в качестве  последовательно орты декартовой системы координат  и в качестве поверхностей s соответствующие прямоугольники DуDz, DхDz, DуDх легко вычислить проекции ротора на декартовы оси координат. В частности, проекция на ось х равна:

.                               (3.3)

Тогда сам rot может быть представлен в виде:

.   (3.4)

Эта формула сворачивается в символической форме в векторное произведение символического вектора

и вектора

                    (3.5)

С помощью (3.1) от уравнения (2.8) можно перейти к закону полного тока в дифференциальной форме:

.                          (3.6)

Уравнение (2.9) можно записать в векторной форме по аналогии:

.                                (3.7)

Дифференциальная форма закона Гаусса также может быть получена из (2.10) с помощью соответствующего предельного перехода. Устремим к нулю объем V, сохраняя внутреннюю точку наблюдения, разделив на V обе части (2.9):

.

Предел в левой части называется дивергенцией вектора :

.                                   (3.8)

Взяв в качестве объема V прямоугольный параллелепипед DхDуDz, ориентированный вдоль осей декартовой системы координат получим выражение для дивергенции через проекции вектора :

.                 (3.9)

Таким образом, уравнения (2.10) (2.11) приобретают соответственно вид:

,                                       (3.10)

.                                            (3.11)

Градиент потенциала может с помощью символического векторного оператора Ñ записан как произведение вектора на скаляр:

grad j = Ñj.

Дифференциальные операторы rot, div, grad могут применяться повторно для получения дифференциальных уравнений более высокого порядка. Непосредственным вычислением можно установить, например:

rot grad j º 0,                                    (3.12)

div rot  º 0,                                    (3.13)

div grad j = .          (3.14)

где Ѳ = Ñ - т.н. оператор Лапласа.

rot rot  = grad div  - Ѳ .                  (3.17)

Последняя из приведенных формул справедлива только в декартовой системе координат, а оператор Лапласа в ней действует на декартовы составляющие вектора . Взяв оператор дивергенции от обеих частей (3.6) и учитывая (3.13) и (3.10) устанавливаем важное соотношение, закон сохранения заряда:

.                                 (2.28)

 

Контрольные вопросы

1. Как определяется проекция ротора векторного поля на фиксированное направления?

2. Как выражается ротор векторного поля через свои проекции в декартовых координатах?

3. Дайте определение дивергенции векторного поля?

4. Как записываются операторы ротора, дивергенции и градиента через символический оператор ?

5. Как записывается закон полного тока в дифференциальной форме?

6. Как записывается обобщенный закон Фарадея в дифференцмальной форме?

7. Как записывается обобщенный закон Гаусса в дифференциальной форме?

8. Как записывается закон непрерывности магнитной индукции в дифференциальной форме?

9. Как записывается закон сохранения заряда в дифференциальной форме?

 

 

Лекция 4

Материальные уравнения

Уравнения поля как в интегральной так и дифференциальной форме не содержат в явном виде параметров материальной среды. Свойства среды учитываются дополнительными связями между векторами поля:

                                     (4.1)

Эти связи могут быть весьма сложными. Поляризация среды в некоторой точке может зависеть от значения поля ее окрестности и при этом может происходить ее запаздывание, так что

.      (4.2)

К счастью в подавляющем большинстве случаев смещение  полностью определяется напряженностью  в той же точке и в тот же момент времени. Аналогичны и зависимости  и . Поэтому можно записать:

,                                      (4.3)

,                                      (4.4)

.                                     (4.5)

Если физические свойства среды в окрестности данной точки изменяются одинаково во всех направлениях, то вектора  и , и ,  и  попарно параллельны и e, m, s являются просто коэффициентами пропорциональности. e и m называются соответственно диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью, а s - удельной проводимостью. Такие среды называются изотропными.

В однородных средах эти параметры являются константами. В системе единиц СИ e имеет размерность ф/м, m - генри/м, а s - [1/(Ом/м)] или [См/м]. Электрофизические свойства сред принято сравнивать со свойствами вакуума, для которых эти параметры имеют следующие значения: e₀ @ 10^-9 / (36p), m₀ @ 4p×10^-7, s = 0. А для характеристики сред вводят относительную диэлектрическую проницаемость e_r=e/e₀ и относительную магнитную проницаемость m_r =m/m_0, не имеющие размерность.

В некоторых случаях вектор  не совпадает по направлению с электрическим полем . Точно также направление вектора  может не совпадать с направлением , а  с . Такие среды называются анизотропными. Тогда соответствующие параметры не могут быть коэффициентами, а являются матрицами третьего порядка и называются тензорами (например, тензор диэлектрической проницаемости e). Если параметры e, m, s не зависят от полей, то среды называются линейными. В противном случае среды называются нелинейными.

Для полей, изменяющихся по гармоническому любые сложные линейные зависимости, учитывающие инерционность могут быть представлены в виде (4.3) (4.4) (4.5), хотя при этом параметры e, m, s могут быть и комплексными.

Дифференциальные уравнения поля – закон полного тока и закон Фарадея вместе с материальными уравнениями описывают электромагнитные процессы в областях пространства, где параметры среды e, m, s непрерывны и можно предполагать, что векторные границы , , ,  непрерывны и имеют по крайней мере первые производные. На поверхностях, где свойства среды изменяются скачком векторные функции претерпевают разрывы. Если не оговаривать величину этих разрывов, то система уравнений поля окажется недоопределенной. Математические зависимости, устанавливающие связи полей по разные стороны границ раздела сред, называются граничными условиями. Граничные условия могут быть получены непосредственно из уравнений поля в интегральной форме. Возьмем, например, вблизи границы s с нормалью  раздела двух сред плоский контур малых размеров l´2h с направлением нормали d к его плоскости, определяемыми соотношением

.

Записывая закон полного тока для для введенной системы и учитывая малость размеров контура запишем:

где ниже индексы l и r относятся к вкладам в циркуляцию поля левого и правого вертикальных участков контура. Совершая здесь предельный переход h®0 устанавливаем, что все члены уравнения за исключением первого стремятся к нулю. Откуда получаем:

,

где  - становится единичным вектором касательной к поверхности раздела s. В виду произвольного выбора этого вектора получаем общие условия непрерывности касательной составляющей при переходе через границу раздела s:

.                         (4.6)

Проводя аналогичные рассуждения для закона Фарадея получаем условие непрерывности касательной составляющей электрического поля:

 

 

.                         (4.7)

 

 

 

 

Граничные условия для нормальных составляющих электромагнитного поля могут быть получены из закона Гаусса и закона непрерывности магнитной индукции в интегральной форме.

Подсчитаем предел потока вектора D через малый цилиндр высотой 2h, части которого находятся по разные стороны границы раздела s двух сред (рис.2.2.):

.

Предел потока по боковой поверхности и объемный интеграл стремятся к нулю вместе с высотой h.Поэтому получаем:

.                                  (4.8)

Аналогично и для вектора магнитной индукции:

.                                  (4.9)

В общем случае решение уравнений поля с использованием приведенных граничных условий представляет достаточно сложную задачу. К счастью во многих случаях возможно использование приближенных граничных условий. Если вторая среда – хороший проводник, то рассматриваются идеализированные граничные условия в предположении s₂ ® ¥. Поле во второй среде оказывается равным нулю. Заряды и токи существуют при этом в бесконечно тонком слое близи границы второй среды. Для удобства вводят понятия поверхностной плотности тока  и поверхностной плотности заряда , как функции точки границы s. Повторяя вывод граничных условий с учетом того что полные токи через поверхность контура не равны нулю и интеграл от объемных зарядов с уменьшением объема цилиндра имеет конечный предел, а поле во второй среде отсутствует, получаем:

,                                       (4.10)

,                                      (4.11)

,                                       (4.12)

.                                            (4.13)

Отметим, что приведенные условия избыточны и в конкретных задачах используется часть из них в зависимости от конкретного содержания задачи.

 

Контрольные вопросы

1. Какими соотношениями учитываются свойства среды в теории электромагнитного поля?

2. Какие среды называются изотропными?

3. Какую размерность имеет диэлектрическая проницаемость?

5. Какие среды называются анизотропными?

6. Как связаны касательные составляющие векторов электромагнитного поля по разные стороны границы раздела двух однородных сред?

7. Как связаны нормальные составляющие векторов электрического смещения и магнитной индукции по разные стороны границы раздела двух однородных сред?

8. Какие граничные условия для векторов поля выполняются вблизи границы идеального проводника?

 

 

Лекция 5

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: