Физическая интерпретация решения Даламбера

1. Рассмотрим решение в точке  в момент времени ; оно зависит от начального смещения  в двух точках  и  и от начальных скоростей  на промежутке . Этот интервал вырезается на оси x прямыми , которые называются характеристиками уравнения (3) для точки , рис. 6. Начальные условия на остальной струне на решение в этой точке вообще не влияют. Именно поэтому в пределах некоторого времени можно не учитывать влияние удаленных концов струны на движение ее среднего участка.

 

 

 

Рис.6

 

2. Пусть начальные скорости точек струны равны нулю, , струну отклонили и плавно отпустили, тогда

.

Предположим, что начальное возмущение отлично от нуля лишь в конечном промежутке ; проведем через точки  и  характеристики, в результате полуплоскость (x , t) разобьется на шесть областей (рис. 7). Область I соответствует точкам, до которых в данный момент времени доходят и прямая, и обратная волны; II − только обратная, III – только прямая. До областей IV и V к данному моменту времени возмущение еще не дошло; до точек VI возмущение успело дойти и пройти через них, теперь они покоятся в равновесном положении.

Можно описать эту ситуацию несколько иначе: будем наблюдать за возмущением в некоторой точке . До момента  она покоится, после момента  возмущение в точке исчезает;  и  – моменты прохождения переднего и заднего фронтов через точку .

3. Пусть начальные отклонения точек струны равны нулю, , струну толчком вывели из положения равновесия, в этом случае

, где ,

т.е. по-прежнему имеем дело с распространением прямой и обратной волн. Если  лишь в конечном промежутке , можно повторить рассуждения предыдущего пункта. Для областей I – V выводы совпадают; в области VI

 

.

Рис.7

 

Таким образом, действие начального импульса приводит к тому, что с течением времени точки струны сдвигаются на одинаковый отрезок и после прохождения заднего фронта остаются неподвижными в этом новом положении.

Упражнение 5. Пусть u(x,t) – решение задачи Коши (17). Выберем в качестве начального момент времени  и рассмотрим задачу Коши для уравнения (3) с начальными условиями

. (20)

С помощью формулы Даламбера следует показать, что решение задач Коши (17) u(x,t) и (3, 20)  совпадают при . Т.е. можно произвольный момент времени выбрать за начальный, взяв в качестве НУ возмущение, достигнутое к этому моменту. Именно это утверждает принцип Гюйгенса*.

Задача Коши для вынужденных колебаний бесконечной струны. Вынужденные колебания бесконечной струны описываются задачей (9):

Решение этой задачи можно найти как сумму решений задачи о колебаниях свободной струны (17) и задачи о вынужденных колебаниях струны, в начальный момент невозмущенной:

;

здесь  - решение задачи (17), задаваемое формулой Даламбера;  определяется задачей

.       (21)

Мы могли бы построить сейчас решение (21) в виде интегральной формулы; метод, который при этом используется, будет продемонстрирован в дальнейшем, при решении аналогичной задачи Коши для многомерного волнового уравнения. Там мы вернемся к решению (21), а сейчас объявим результат:

;                (22)

(23)

Упражнение 6. Прямой подстановкой проверить, что если  дважды непрерывно дифференцируема,  и  один раз непрерывно дифференцируемы, то функция u(x,t) (23) имеет непрерывные вторые производные и удовлетворяет всем условиям задачи (9), т.е. является ее классическим решением. Таким образом, справедлива теорема существования.

Теорема единственности для задачи (9) очевидна, так как разность двух решений удовлетворяла бы свободному уравнению с нулевыми НУ и тождественно равнялась нулю.

Корректность задач математической физики. Пример некорректной задачи

Поскольку задачи матфизики описывают реальные процессы в природе, они должны удовлетворять некоторым требованиям.

Определение . Математическая задача поставлена корректно, если

− решение задачи существует;

− задача имеет единственное решение;

− решение задачи устойчиво, т.е. оно непрерывно зависит от исходных данных.

Требование устойчивости означает, что всякий физически определенный процесс должен непрерывно зависеть от начальных и граничных условий и от неоднородного члена в уравнении, т.е. должен характеризоваться функциями, которые мало меняются при малых изменениях исходных данных. В противном случае, например, двум системам практически одинаковых НУ (различие которых лежит в пределах точности измерений) могли бы соответствовать существенно разные процессы. Такие процессы не являются физически определенными. Устойчивость важна также для приближенного решения задач.

Математическую формулировку требования устойчивости покажем на примере задачи Коши (17), попутно докажем, что она устойчива.

Утверждение. Для любого промежутка времени  и любого  найдется такое , что всякие два решения уравнения (3)  и  в течение промежутка  будут различаться меньше чем на :

,

если только НУ различаются меньше чем на :

и   ,

.

Для доказательства используем формулу Даламбера (19):

и положим .

Пример Адамара* – пример некорректной задачи. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Лапласа**:

Функции ;  (n – параметр) удовлетворяют уравнению Лапласа и начальным условиям:

.

Для любого  при достаточно большом n разность НУ окажется меньше . При этом для любого заданного  значения  могут быть сколь угодно большими, так как. они растут с ростом n .

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: