Частные случаи вынужденных колебаний струны с закрепленными концами.

1. , т.е. на струну действует постоянная распределенная сила; например, горизонтальная струна находится в однородном поле силы тяжести. В этом случае решение НКЗ (2), (34), (35) проще искать в виде суммы , где функция  удовлетворяет уравнению (2) и ГУ (35), т.е.  определяется краевой задачей для ОДУ:

.

Решение этой задачи, описывающее статический прогиб струны, найдено в упражнении 1: .

Функция  должна быть решением однородного уравнения (3) с однородными ГУ (35) и неоднородными НУ:

.

 описывает свободные колебания струны около положения равновесия, эта задача решена в § 6.

2. Действующая на струну распределенная сила постоянна во времени, но может меняться от точки к точке, . Отличие от предыдущего случая состоит только в том, что для функции  возникает более сложная КЗ:

.

Упражнение 14. Получить решение задачи для  в виде

.

3. Приложенная к струне распределенная сила меняется по гармоническому закону: . Решение НКЗ (2), (34), (35) будем искать в виде суммы (50), в которой функция  - частное решение уравнения (2), удовлетворяющее ГУ (35). Функция  будет тогда решением однородного уравнения (3) с теми же ГУ (35) и произвольными НУ; такое решение построено в § 6.

Вид функции  зависит от того, совпадает или нет частота внешнего воздействия  с одной из собственных частот струны . При совпадении частот, , возможно возникновение резонанса, при котором амплитуда колебаний с частотой вынуждающей силы неограниченно возрастает пропорционально времени.

Упражнение 15. Построить частное решение уравнения (2) с ГУ (35), рассмотреть три случая:

1) . Частное решение следует искать в виде

,                            (51)

его подстановка в (2) и (35) дает краевую задачу для ОДУ:

.      (52)

Выше мы уже строили общее решение такого уравнения, с точностью до обозначений оно имеет вид (47). Учет ГУ даст для  следующее выражение:

;

2)  при некотором k и выполняется условие

.                        (53)

Частное решение по-прежнему можно искать в виде (51), где  − решение задачи (52). Для  можно получить в этом случае более простое выражение:

;

3)  при некотором k и условие (53) не выполняется. Для частного решения можно получить

,

где  − коэффициент разложения функции  в ряд Фурье по синусам на промежутке , функция  обладает тем свойством, что для нее интеграл (53) равен нулю. Видно, что второе слагаемое описывает колебание с частотой , амплитуда которого неограниченно возрастает пропорционально t.

 

Задачи

Постановка начально-краевых задач

В задачах 1 − 13 описаны некоторые физические процессы. Следует выбрать функцию, характеризующую указанный процесс, вывести для нее дифференциальное уравнение, сформулировать для этой функции начальные и граничные условия. Все необходимые параметры системы предполагаются известными.

1. Сформулировать задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня постоянного сечения S длины l при произвольных начальных отклонении и скорости. Рассмотреть следующие случаи:

а) к концам нерастянутого стержня  и , начиная с момента  приложены силы  и , действующие вдоль стержня;

б) концы стержня закреплены упруго, т.е. на них действуют силы, пропорциональные их отклонению;

в) конец стержня  испытывает сопротивление, пропорциональное скорости, а конец  закреплен жестко;

г) конец стержня  закреплен, а конец  свободен и к нему прикреплена точечная масса m;

д) стержень закреплен на конце  и растянут силой F, приложенной к другому концу; в момент  действие силы внезапно прекращается;

е) стержень (на единицу длины) испытывает действие пропорциональной скорости силы сопротивления отклонению, а концы стержня двигаются по заданным законам  и ;

ж) начиная с момента , стержень испытывает действие направленной вдоль оси x силы объемной плотности , а концы стержня свободны. (Такую силу можно создать, например, с помощью магнитного поля.)

2. Начиная с момента , один конец прямолинейного упругого однородного стержня совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому концу приложена сила , направленная по оси стержня. В момент  стержень был неподвижен и находился в равновесном положении. Поставить задачу для определения его малых продольных колебаний.

3. Сформулировать задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня переменного сечения  длины l при произвольных начальных отклонении и скорости для случая, когда стержень имеет форму усеченного конуса с радиусами оснований r и R , причем основания закреплены жестко.

4. Сформулировать задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня переменного сечения  длины l при произвольных начальных отклонении и скорости для случая, когда конец стержня  закреплен упруго, а к концу , начиная с момента , приложена продольная сила  на единицу площади сечения.

5. Поставить задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, предполагая, что

а) концы струны закреплены жестко;

б) один конец свободен, а на другой действует переменная поперечная сила .

6. Однородная струна с закрепленными концами находится во внешнем поперечном магнитном поле с индукцией B. Поставить задачу о колебаниях этой струны, если по ней течет переменный ток I(t).

7. Поставить задачу о продольных колебаниях однородного упругого вертикального стержня, пренебрегая действием силы тяжести на частицы стержня, если верхний конец стержня закреплен жестко, а к нижнему концу прикреплен груз массой M, причем за начальное состояние принимается ненапряженное состояние стержня (т.е. в начальный момент времени из-под груза убирается подставка и он начинает растягивать стержень).

8. Верхний конец упругого однородного вертикально подвешенного тяжелого стержня жестко прикреплен к потолку свободно падающего лифта, который, достигнув скорости v, мгновенно останавливается. Поставить задачу о продольных колебаниях этого стержня.

9. Поставить задачу о поперечных колебаниях тяжелой однородной струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен.

10. Неоднородная струна линейной плотности  совершает поперечные колебания около горизонтального положения в поле силы тяжести. В точках  струны укреплены шарики массами . Описать движение струны при произвольных начальных условиях для случаев:

а) левый конец струны свободен, правый движется по закону ;

б) левый конец струны закреплен, к правому приложена сила .

11. Однородная струна при вращении вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью  находится в горизонтальной плоскости, причем один конец струны прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В момент  точкам струны сообщают малые вертикальные отклонения и скорости. Поставить задачу для определения отклонений точек струны от плоскости равновесного движения. Силой тяжести пренебречь.

12. Два полуограниченных упругих однородных стержня с одинаковыми поперечными сечениями S соединены торцами и составляют один неограниченный стержень. Пусть  и  - плотность и модуль упругости одного из них, а  и  - другого. Поставить задачу для определения отклонений сечений стержня от их положения покоя, если заданы их начальные отклонения и скорости.

13. Решить предыдущую задачу, считая, что между торцами составляющих стержней закреплена жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины с массой m.

Решение задач о свободных колебаниях струны методом Даламбера и методом отражений

В задачах 14 − 19 указаны начальные возмущения струны при . Решить задачи о свободных колебаниях струны графически; изобразить форму струны в моменты времени , где ; найти формулы, описывающие профиль струны в эти моменты.

14. Бесконечная струна возбуждена локальным отклонением, изображенным на рис.11 (оттянута за одну из своих точек), и отпущена без начальной скорости.

 

Рис. 11

15. Бесконечной невозмущенной струне сообщена на отрезке  поперечная начальная скорость ; вне этого отрезка начальная скорость равна нулю.

16. Полубесконечная струна, закрепленная на конце , возбуждена начальным отклонением, изображенным на рис.12. Начальные скорости струны равны нулю.

Решить эту задачу для случая, когда конец  свободен.

 

 

 

Рис.12

17. Полубесконечной невозмущенной струне в начальный момент с помощью поперечного удара передается импульс I в малой окрестности точки x₀. Рассмотреть случаи, когда конец  закреплен или свободен.

18. В начальный момент времени струна длины l с закрепленными концами была оттянута за одну из своих внутренних точек x₀ и отпущена без начальной скорости. Рассмотреть случаи .

19. Концы струны  и  жестко закреплены, струна находится в положении равновесия. В начальный момент времени малой окрестности точки  сообщается скорость .

Решить эту задачу для случаев, когда оба конца струны свободны и когда один конец закреплен, а другой свободен.

Решение начально-краевых задач методом Фурье

В задачах 20 – 35 решение  следует представить в виде ряда Фурье, как это показано в примере 1. В некоторых частных случаях ряд может содержать конечное число слагаемых.

Пример 1. Решить I НКЗ для однородного уравнения струны:

, , ,

, , , .

Решение следует искать в виде суммы (50): , где  - произвольная функция, удовлетворяющая ГУ. Выберем ее линейной по x: ; подстановка в ГУ дает

;  ; ;

окончательно .

Подставляя сумму (50) в исходную задачу, получаем НКЗ для функции :

,  ,   ,

, .

Видно, что  удовлетворяет неоднородному уравнению с нулевыми ГУ и неоднородными НУ. Решение такой задачи построено в § 7, его следует искать в виде суммы , где  удовлетворяет однородному уравнению с ненулевыми НУ,  - неоднородному уравнению с нулевыми НУ:

, ,  , ;

, , .

Обе функции  и  определяются в виде рядов Фурье по  (в нашей задаче ). Выпишем разложения в ряды Фурье по синусам на промежутке  для входящих в задачу функций:

;    .

Ряд Фурье для функции  имеет вид (42) (в задаче ):

;

подстановка его в начальные условия дает

;   ,

следовательно, , , .

Функция  задается рядом (45): , подставляя его в уравнение и НУ, получаем

,

следовательно,

; , .

Общее решение этого уравнения

;

из начальных условий следует: ;  

и окончательно .

Таким образом, получены разложения в ряды для решений  и ; суммируя их и , приходим к окончательному ответу:

Прямой выкладкой нетрудно проверить, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям поставленной задачи.

Пример 2. Решить смешанную НКЗ для неоднородного уравнения:

Решение будем искать в виде суммы (50): , где функция  удовлетворяет ГУ задачи. Ее можно выбрать линейной: ; подстановка в граничные условия дает равенства , , следовательно, ,  и окончательно получаем .

Для функции  возникает следующая НКЗ с нулевыми ГУ:

Решение смешанной НКЗ в виде ряда Фурье предлагалось построить в упражнении 12. Повторяя рассуждения § 6, разделим переменные, т.е. будем искать решение соответствующего однородного уравнения  в виде произведения функций (40): . Подстановка произведения в однородное уравнение приводит к равенству , из которого, с учетом ГУ задачи, выводится следующая КЗ для X(x): .

Нетрудно получить набор собственных функций и собственных значений этой задачи:

, , .

Решение как однородного, так и неоднородного уравнений следует искать в виде рядов Фурье по :

.

Подстановка ряда в уравнение и НУ дает равенства

; .

 является первым членом ряда Фурье по  при , поэтому, приравнивая коэффициенты Фурье, мы получаем различные задачи для  и :

;

Вторая задача имеет только тривиальное решение: , следовательно, ряд для функции  состоит из одного первого слагаемого. Общее решение уравнения для : , с учетом НУ получаем

.

Для функции  имеем ;

ответ исходной задачи:

.

Решение этой задачи можно было несколько сократить. Установив, что функция  представима рядом Фурье по , и заметив, что все входящие в задачу функции содержат только один член  этого ряда, можно было сразу искать  в виде произведения: .

Пример 3. Решить вторую НКЗ для однородного уравнения струны:

Решение задачи будем искать в виде суммы (50): , при этом попытаемся подобрать функцию , одновременно удовлетворяющую уравнению и ГУ; обычно это удается, если в задаче фигурируют const, exp, sin, cos. Функцию  будем искать в виде , где , . Подстановка в уравнение дает , для  получаем уравнение .Его общее решение имеет вид , из начальных условий следует, что . В результате получаем

и .

Подставим сумму  в исходную задачу:

Для функции   возникла задача из однородного волнового

 

уравнения с однородными НУ и ГУ, которая имеет только тривиальное решение: . Ответ исходной задачи:

.

Отметим, что в общем случае при таком методе решения для функции  возникает задача из однородного уравнения с однородными граничными и неоднородными начальными условиями. Для граничных условий II рода ее решение следует искать в виде ряда:

.

20. Однородная струна со свободным концом  и закрепленным концом  имеет в начальный момент форму квадратичной параболы: . Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

21. Однородная струна, закрепленная на конце  и свободная на конце , находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени  она получает в точке x ₀ удар от молоточка, который сообщает этой точке скорость v _0. Описать свободные колебания струны. Молоточек считать плоским, шириной :

22. Однородная струна, свободная на конце  и закрепленная на конце , находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени  она получает в точке x ₀ удар от молоточка, который сообщает этой точке скорость v _0. Описать свободные колебания струны. Молоточек считать выпуклым, шириной :

23. Описать продольные колебания цилиндрического стержня, один конец которого свободен, а к другому с момента  приложена сила , направление которой совпадает с осью стержня. (Считать, что  не совпадает с собственными частотами стержня.)

24. На струну длиной l действует внешняя возмущающая сила, плотность которой равна  (  не совпадает с собственными частотами струны). Найти закон колебаний струны, если начальные отклонения и скорости равны нулю, левый конец струны закреплен, а правый свободен.

В задачах 25 – 28 функция  определена при , .

25. , , , , .

26. , , , , .

27. , , , .

28. , , , .

В задачах 29–32 функция  определена при , .

29. , , .

30. , , .

31.                 ,

, , , .

32.             ,

, , , .

В задачах 33–35 функция  определена при , .

33.             ,

, , , .

34.                 ,

, , , .

35.                    ,

                , , .

Для домашних заданий удобно использовать богатый набор однотипных нетрудных задач из сборника [5], глава XI. Задачи для уравнения свободных колебаний струны с однородными ГУ полезно решать двумя способами: методом отражений и методом Фурье и сравнивать результаты.

Библиографический список

1. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. 2-е изд. М., 1985.

2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 3-е изд. М., 1980.

3. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., 2003.

4. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 13-е изд. СПб., М., 2003.

5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М., 1994.

6. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. 2-е изд. М., 1973.

7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. 21-е изд. М., 1974.

8. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. 6-е изд. М., 1975.

9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 5-е изд. М., 1977.

 

 

 

О г л а в л е н и е

 

Введение. 3

§1. Вывод уравнения колебаний струны, постановка задач. 4

§2. Задача Коши для свободных колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера 11

§3. Корректность задач математической физики. Пример некорректной задачи. 17

§4. Свободные колебания полубесконечной струны. Метод отражений  (метод продолжений) 18

§5. Свободные колебания ограниченной струны. Метод отражений (метод продолжений) 23

§6. Свободные колебания ограниченной струны. Метод  Фурье (метод разделения переменных) 28

§7. Вынужденные колебания ограниченной струны. Метод Фурье (метод разделения переменных) 33

Задачи. 38

Постановка начально-краевых задач. 38

Решение задач о свободных колебаниях струны методом Даламбера и методом отражений 40

Решение начально-краевых задач методом Фурье. 41

Библиографический список. 48

 

Рыбакина Елена Альбертовна

Начально-краевые задачи

Математической физики

Редактор Г.М.Звягина

Подписано в печать 07.06.2005. Формат бумаги 60х84/16. Бумага документная.

Печать трафаретная. Усл. печ.л. 3. Тираж 150 экз. Заказ №           

Балтийский государственный технический университет

Типография БГТУ

190005, С-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д.1

*Исаак Ньютон (1643-1727) – английский физик, математик, астроном.

*Огюстен Луи Коши (1789-1857) – французский математик.

*Роберт Гук (1635-1703) – английский ученый.

* Томас Юнг (1773-1829) – английский ученый.

** Жан Д’Аламбер (1717-1783) – французский математик и механик.

* Христиан Гюйгенс (1629-1695) – нидерландский ученый.

* Жак Адамар (1865-1963) − французский математик.

** Пьер Лаплас (1749-1827) − французский математик, физик, астроном

* Жан Батист Фурье (1768-1830) − французский математик и физик.

* Жак Шарль Штурм (1803-1855) – французский математик.

Жозеф Лиувилль (1809-1882) − французский математик

* Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) − французский математик и механик.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: