Свободные колебания полубесконечной струны. Метод отражений (метод продолжений)

НКЗ для полубесконечной струны возникает, если один из ее концов находится далеко от исследуемого участка и не влияет на его колебания. Мы рассмотрим влияние другого, близкого, конца на распространение волны, изучим процесс отражения волн от него. Будем считать, что этот конец совпадает с точкой x = 0.

Свободные колебания струны задаются уравнением (3), в котором функция u(x,t) определяется при , . Уравнение нужно дополнить НУ на полуоси и ГУ при x=0. Мы будем рассматривать параллельно случаи, когда конец струны движется по известному закону и когда к нему приложена известная сила, т.е. ГУ I и II рода; соотношения, относящиеся к ГУ II рода, будут приводиться в скобках. Таким образом, решаем следующую НКЗ:

,

,       (24)

.                     (25)

Случай однородного ГУ возникает, если конец струны закреплен (свободен):

.    (26)

Рассмотрим сначала НКЗ (3), (25), (26). Формула Даламбера (18) дает общее решение уравнения (3), ее можно использовать и в данном случае. Но выражения

, 

определяют эти функции только для . (Постоянные C₁ и C₂ опустили, они все равно потом сокращаются.) Для применения метода Даламбера нужно продолжить  и  или, что то же самое,  и  с положительной полуоси на отрицательную. С физической точки зрения, это продолжение сводится к определению такого начального возмущения бесконечной струны, что движение ее половины  оказывается таким же, как если бы она была закреплена (свободна) на конце, а вторая половина отброшена.

Подставим (18) в (26): , следовательно, , , что определяет  и  при x<0. Поскольку  и , имеем

,

.

Видно, что функции  и  продолжаются с  на всю вещественную ось по закону нечетности (для ГУ II рода аналогичная выкладка приводит к четному продолжению  и ).

Мы получили, что задача (3), (25), (26) эквивалентна задаче Коши для бесконечной струны:

где для ГУ I рода;

для ГУ II рода.

Решение этой последней задачи дается формулой Даламбера (19).

Выпишем решение задачи (3), (25), (26) в терминах исходных функций:

ГУ I рода:

         (27)

ГУ II рода:

(28)

Легко проверить прямой подстановкой, что если  и  таковы, что  дважды и  один раз непрерывно дифференцируемы, то u(x,t) дважды непрерывно дифференцируема и является классическим решением задачи (3), (25), (26). Теорему единственности легко строго вывести из наших рассуждений. Устойчивость задачи также имеет место, на доказательстве мы не останавливаемся.

Физическая интерпретация решения. Пусть начальное возмущение отлично от нуля только на конечном промежутке . Проведем характеристики через точки  и , а также через точки  и ; в результате четверть плоскости  разобьется на девять областей (рис. 8).

Область I соответствует точкам, до которых в данный момент доходят и прямая, и обратная волны от исходного возмущения; области IV и V соответствуют точкам, до которых в данный момент возмущение еще не дошло; до точек области II дошла только обратная волна, до III – только прямая. В точках области VI     u = const, волна от исходного возмущения через них уже прошла, и теперь они покоятся. Области I – VI такие же, как в случае бесконечной струны.

Рис.8

Область VIII соответствует точкам, в которые приходит прямая волна от фиктивного возмущения: , здесь , следовательно, ; иными словами, в точки VIII приходит отраженная обратная волна. В областиVII есть обратная волна от исходного возмущения и отраженная обратная волна. Область IX соответствует точкам, через которые и исходная, и отраженная волны уже прошли, и они покоятся,         u = const.

Таким образом, действие закрепленного (свободного) конца   x = 0 свелось к отражению волны смещения, связанному с сохранением абсолютной величины смещения и переменой (сохранением) его знака.

Влияние граничного режима. В случае произвольного неоднородного ГУ решение задачи (3), (24), (25) следует искать в виде суммы , где  − уже построенное решение задачи (3), (25), (26), а  удовлетворяет НКЗ с нулевыми данными Коши. Для ГУ I рода задача для  имеет вид

           (29)

Общее решение уравнения дается формулой Даламбера (18); ясно, что граничный режим может создать только прямую волну: . Функцию  можно определить из ГУ: , следовательно,  и, окончательно

.

Полученная формула определяет  только при t > x/c, так как функция  определена для . Продолжим  на отрицательные аргументы нулем, тогда

,    где    .

Решение I НКЗ для свободных колебаний полубесконечной струны (3), (24_I), (25) имеет вид

(30)

Упражнение 7. Получить решение II НКЗ (3, 24_II, 25):

         (31)

Вынужденные колебания полубесконечной струны описываются НКЗ (10):

Решение следует искать в виде суммы , где  − решение НКЗ для свободных колебаний (3, 24, 25), оно описывается (30) или (31), а  − решение НКЗ для неоднородного уравнения с нулевыми НУ и ГУ:

  (32)

При t < x/c влияние граничного режима в точке x не сказывается и решение задачи (32) совпадает с решением задачи (21) для бесконечной струны, т.е. определяется формулой (22).

Упражнение 8. Прямой подстановкой проверить, что решение I начально-краевой задачи (32) для значений t > x/c задается интегралом

;

выписать окончательное решение задачи (10_I).

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: