Свободные колебания ограниченной струны. Метод отражений (метод продолжений)

Задача о свободных колебаниях ограниченной струны возникает, если оба конца струны находятся достаточно близко от рассматриваемого участка и влияют на его движение. В этом случае колебания описываются функцией , у которой  и . Уравнение свободных колебаний (3) должно быть теперь дополнено ГУ на обоих концах и НУ, заданными на . В результате возникает НКЗ

,

                   (33)

(или )                  

              (34)

Возможен также смешанный случай, когда на одном конце выполняется ГУ I рода, а на другом – II. Краевые условия III рода мы не рассматриваем.

Ход наших рассуждений будет таким же, как в предыдущем параграфе. Рассмотрим сначала случай однородных ГУ, т.е. струну с закрепленными или свободными концами:

        (35)

и решим задачу (3), (34), (35). Общее решение уравнения (3) описывается формулой Даламбера (18): , где

,  .

Исходно функции g₁ и g₂ определены только при . Наша задача – продолжить g₁ и g₂ (или  и ) с промежутка [0, l] на всю вещественную ось, т.е. определить такое начальное возмущение бесконечной струны, при котором ее кусок [0, l] будет колебаться так, как если бы его концы были закреплены (свободны), а остальная часть струны отброшена.

Подставим (18) в ГУ (35):

ГУ I рода:  ;

ГУ II рода:     ;

(постоянная интегрирования здесь опущена, так как потом при сложении она сокращается). Дальше рассматриваем ГУ I и II рода параллельно (верхний знак соответствует I роду, нижний – II). Обозначим ct = x, тогда

 и .

Последние два равенства позволяют однозначно продолжить g₁ и g₂ с [0,l] на всю вещественную ось. При  их правые части определены и, значит, определены g₁ при  и g₂ при . Теперь правые части тех же равенств определены при , что задает g₁ при  и g₂ при . Продолжая эту процедуру, определим g₁ при  и g₂ при . Рассмотрим теперь те же равенства при ; их левые части определены и, следовательно, определены g₁ при  и g₂ при . Дальнейшее повторение этой процедуры однозначно задает g₁ при  и g₂ при . Таким образом, функции g₁ и g₂ оказались определенными на всей вещественной оси, при этом

,

т.е. обе функции периодичны с периодом 2l.

Обратимся к начальным данным Коши  и ; для них:

;

Кроме того, из периодичности g₁ и g₂ следует, что  и  также периодичны с периодом 2l. Таким образом, при однородных ГУ I рода (II рода) начальные данные Коши должны быть продолжены с  на  по закону нечетности (четности) и дальше с периодом 2l на всю вещественную ось.

Наши построения показывают, что однородная НКЗ для ограниченной струны (3), (34), (35) эквивалентна задаче Коши для бесконечной струны:

где

здесь k- целое число; аналогично определяется  через . Решение исходной НКЗ совпадает с решением задачи Коши на промежутке :

Функция U(x,t) определяется формулой Даламбера:

.       (36)

Упражнение 9. Проверить прямой выкладкой, что функция U(x,t) при x = 0, x = l удовлетворяет ГУ (35).

Замечание. Если функции  и  таковы, что  имеет две и  одну непрерывные производные на всей оси, формула (36) дает классическое решение задачи (3, 34, 35), т.е. имеет место теорема существования. Теорема единственности следует из наших рассуждений, если проводить их строго. Устойчивость этой задачи также имеет место, на ее доказательстве мы не останавливаемся.

Физическая интерпретация решения. Отметим на оси x точки вида kl, где k - целое число, и проведем через них характеристики (рис. 9). Область I соответствует точкам струны, до которых в данный момент дошло возмущение только от исходных точек, т.е. фиктивно добавленные бесконечные части на их движение не влияют. В III приходит возмущение от исходной струны и обратная волна от фиктивного куска . Эта обратная волна задается функцией , причем точка (x,t) принадлежит области III. Для области III , поэтому

.

Видно, что обратная волна от фиктивной точки есть с точностью до знака прямая волна от реальной точки, симметричной относительно конца x = l. Прямая волна g₁ из точки  в момент  дошла до конца струны, отразилась (изменила свое направление) и в момент t пришла в точку .

Итак, в III есть волна от исходного возмущения и прямая волна, отразившаяся от конца x = l. В II есть волна от исходного возмущения и обратная волна, отразившаяся от конца x = 0. Следующие области соответствуют точкам, в которых в данный момент накладываются многократно отраженные волны.

Действие закрепленного (свободного) конца x = 0 или x = l приводит к отражению волны смещения от этого конца, связанному с изменением направления распространения волны на противоположное, с сохранением абсолютной величины смещения и переменой (сохранением) знака смещения.

Влияние граничного режима. При рассмотрении неоднородных ГУ ограничимся условиями I рода, т.е. будем предполагать, что концы струны движутся по известным законам. Решение задачи (3), (33), (34) следует искать в виде суммы

где  - решение I НКЗ с однородными ГУ (3, 35, 34), а функции  и  удовлетворяют НКЗ с нулевыми данными Коши:

(37)

Задачу (37) будем решать так же, как (29) в предыдущем параграфе. Построенное там решение

,   где   

удовлетворяет (37) при . Когда t достигает , нарушается ГУ на правом конце.

Пусть , волна, бегущая налево и колеблющаяся в точке  по закону , описывается функцией . Разность двух волн  дает решение задачи (37) при . Продолжая это рассуждение, получим для любого t решение задачи (37) в виде ряда

                   (38)

При любом фиксированном t сумма (38) содержит конечное число слагаемых. Физически решение (38) означает, что граничный режим создает волну, которая последовательно отражается от обоих концов; решение есть суперпозиция отраженных волн.

Аналогичные рассуждения позволяют построить для функции , удовлетворяющей НКЗ с неоднородным ГУ на правом конце отрезка, ряд

;      (39)

здесь функция  определяется через  аналогично .

Упражнение 10. Проверить прямой выкладкой, что функции  и  удовлетворяют поставленным НКЗ.

§6. Свободные колебания ограниченной струны.               Метод Фурье* (метод разделения переменных)

В этом разделе будет рассмотрен принципиально другой способ решения НКЗ о свободных колебаниях ограниченной струны с закрепленными или свободными концами. В данном частном случае он оказывается труднее, чем метод отражений, но зато он применим во многих других задачах, когда метод отражений не работает. Для определенности ниже рассматривается струна с закрепленными концами, переход к задаче со свободными концами очевиден.

Свободные колебания струны с закрепленными концами описываются уравнением (3) с НУ (34) и ГУ(35):

,

;    .

В предыдущих параграфах мы искали общее решение уравнения струны (3), а потом требовали, чтобы оно удовлетворяло НУ и ГУ. Будем теперь искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от x, а другая – только от t:

.                               (40)

Подставляя (40) в (3), приходим к равенству

,            .

В левой части последнего соотношения стоит функция, зависящая только от t, в правой – только от x; равенство между ними возможно, только если обе части не зависят ни от t, ни от x и равняются некоторой постоянной. Обозначим эту постоянную через , тогда

.

Видно, что исходное уравнение в частных производных (3) распалось на два ОДУ; в этом случае говорят, что переменные разделились.

Уравнение для функции X(x) нужно дополнить краевыми условиями, которые следуют из (35), в результате для X(x) возникает краевая задача для ОДУ второго порядка:

                                (41)

Необходимо найти все значения параметра , при которых задача (41) имеет нетривиальные решения, и сами эти решения. Такие значения  называются собственными значениями задачи (41), соответствующие решения – ее собственными функциями; сформулированная задача представляет собой простейший случай задачи Штурма − Лиувилля*.

Пусть , общее решение уравнения имеет вид

.

Для выполнения граничных условий необходимо , , откуда следует , т.е. задача имеет только тривиальное решение.

Аналогично при , ГУ дают ,  и, следовательно, .

При  общее решение уравнения

,

на концах выполняются условия , , нетривиальные решения возникают при , следовательно, , . Мы получили последовательность с/з  и соответствующих им с/ф:

,

где  (отрицательные k не рассматриваем, так как изменение знака k равносильно изменению знака произвольной постоянной ).

Найденные значения  подставим в уравнение для , общее решение которого имеет вид

.

В результате получен счетный набор частных (линейно независимых) решений уравнения (3), удовлетворяющих ГУ (35):

.

Переобозначим произвольные постоянные: заменим  на ,  на .

Благодаря линейности и однородности уравнения (3) и ГУ (35), любая линейная комбинация функций  также будет удовлетворять уравнению и этим условиям. Составим ряд

.     (42)

Сумма ряда  удовлетворяет уравнению (3) и ГУ (35). Подберем постоянные  и  так, чтобы она удовлетворяла также НУ (34). Прямая подстановка дает

.

Написанные ряды представляют собой разложения заданных функций  и  в ряды Фурье по синусам на промежутке . Коэффициенты этих разложений определяются по известным формулам:

.         (43)

Ряд (42) с коэффициентами (43) формально удовлетворяет всем условиям поставленной задачи (3), (34), (35).

Нетрудно проверить, что решение в виде ряда совпадает с тем, которое было получено в § 5 методом отражений. При применении формулы Даламбера к ограниченной струне с закрепленными концами мы продолжали функции  и , задающие НУ, с  на  по закону нечетности и потом с периодом 2l − на всю вещественную ось. Такой способ продолжения равносилен разложению этих функций в ряды Фурье по синусам.

Упражнение 11. Разложить продолженные функции ,  в ряды Фурье по синусам, подставить их в формулу Даламбера (36) и проверить, что полученное представление эквивалентно (42).

Упражнение 12. Решить методом Фурье задачу о свободных колебаниях ограниченной струны с двумя свободными концами и одним закрепленным, а другим свободным концом.

Об оправдании метода Фурье. Формально ряд (42) удовлетворяет уравнению и всем дополнительным условиям поставленной НКЗ. Возникает важный вопрос: при каких условиях на функции  и  сам этот ряд сходится и сходятся ряды его первых и вторых производных? Ссылаясь на теорию рядов Фурье, можно сформулировать следующие достаточные условия: если функция  дважды непрерывно дифференцируема и имеет кусочно-непрерывную третью производную, функция  один раз непрерывно-дифференцируема и имеет кусочно-непрерывную вторую производную и, кроме того, , , , ряд (42) сходится абсолютно и равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по x и t. Иными словами, ряд (42) дает классическое решение НКЗ (3), (34), (35) и его можно исследовать “в лоб”.

Во многих физически важных случаях параметры НКЗ не удовлетворяют сформулированным выше достаточным условиям (входящие в задачу функции не обладают достаточной гладкостью). Тем не менее, метод Фурье сохраняет свое значение, ряд (42) дает обобщенное решение задачи. В дальнейшем наша цель – изучить применение метода Фурье к решению задач различных типов и возникающие при этом ряды; вопросы сходимости рядов к классическому решению задачи обсуждаться не будут.

Физическая интерпретация метода Фурье: гармоники и стоячие волны. Преобразуем выражения для , введя амплитуды  и начальные фазы  гармонических колебаний:

,

где ; тогда ряд (42) принимает вид суммы гармоник:

.

Каждый член этого ряда описывает стоячую волну, в которой точки струны совершают гармонические колебания с одинаковой фазой и с амплитудой , зависящей от точки. При таком колебании струна издает звук, высота звука зависит от частоты колебаний , , эти частоты называются собственными для данной струны. Звук, соответствующий наименьшей частоте, , называется основным тоном струны, остальные гармоники образуют набор обертонов.

Таким образом, решение  складывается из основного тона струны и набора обертонов. Амплитуды  быстро убывают с ростом k, поэтому влияние обертонов на звук сводится к созданию тембра звука, различного для различных музыкальных инструментов и объясняемого именно наличием обертонов.

На рис.10 показаны положения струны в различные моменты времени, соответствующие двум первым гармоникам. Амплитуда колебаний k -й гармоники обращается в нуль в точках . Эти точки называются узлами k-й гармоники; точки , в которых амплитуда достигает наибольшей величины, называются пучностями. Если в струне возбуждена только k-я гармоника, струна колеблется так, как если бы состояла из k отдельных кусков, закрепленных в узлах. Если прижать струну посередине, в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуды основного тона и всех остальных нечетных гармоник, при этом четные гармоники останутся без изменения. В результате вместо своего обычного звука струна будет издавать звук с вдвое большей частотой, т.е. на октаву выше.

 

 

Рис.10

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: