Оптимисты и пессимисты в мире автоматов

Рассмотрим еще один способ введения неоднород­ности в коллектив автоматов, решающий некоторую задачу. Как всегда, начнем с некоторой содержатель­ной интерпретации задачи.

Пусть некто решил жениться. Но поскольку же­нитьба — шаг серьезный, то жених намеревается принять решение только после того, как он будет иметь некоторую информацию о своей будущей спут­нице жизни. Пусть для него жизненно важны две

100

вещи: наличие квартиры у его избранницы и умение ее готовить вкусные обеды. Такой меркантилизм не должен смущать читателя. Авторы книги вовсе не идеализируют героя этой истории, а может быть, и осуждают его за невнимание к вещам куда более серьезным, чем жилплощадь и пища. Но что подела­ешь. Иногда для наглядности приходится мириться с некоторыми недостатками героя примера. Степень информированности жениха об интересующих его предметах будем выражать следующим образом. Если квартира у избранницы есть, то Х₁ = 1, в про­тивном случае Х₁ = 0. Если же жених пока не обла­дает сведениями о наличии у своей избранницы от­дельной квартиры, то полагаем X₁ = 0,5. Аналогично считаем, что умение готовить обеды приводит к Х₂ = 1, неумение — к Х₂ = 0, а значение Х₂ = 0,5 свидетельствует об отсутствии у жениха необходимой информации. Введем еще переменную Y, которая бу­дет отражать решение жениха. Если он твердо решил жениться, то Y=1. Значение Y = 0 свидетельствует об его отказе от избранницы, а Y = 0,5, означает, что жених колеблется, не зная, что ему делать.

Составим отражающую эту ситуацию табл. 3.4. Она задает пять функций троичной логики, завися­щих от двух аргументов X₁ и Х₂. Наиболее проста из них функция Y₁ Как видно из таблицы, Y₁=min(X₁,X₂). В логике такую функцию принято называть конъюнкцией. Если жених использует для принятия своих решений эту функцию, то он согла­шается на брак только при условии выполнения двух своих требований: наличия квартиры и умения гото­вить вкусные обеды. Если хотя бы одно из этих усло­вий не выполнено, то он отказывается от брака. При наличии неопределенности в условиях, когда осталь­ные требования выполнены, или в условиях полной неопределенности (X₁ = 0,5; X₂ = 0,5) жених медлит с решением и не говорит ни да, ни нет. По-видимому, он ждет новой порции информации. Такое поведение жениха можно назвать объективным или бесстраст­ным.

Остальные функции в нашей таблице описывают способ принятия решений несколько иного типа. Функции Y₂ и Yз отражают пессимистическую точку зрения. Жених такого типа всегда предполагает, что мир устроен не лучшим образом и всегда надо ждать

101

 

Таблица 3.4

X1	X2	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5
0	0	0	0	0	0	0
0	0,5	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
0,5	0	0	0	0	0	0
0,5	0,5	0,5	0	0	0,5	1
0,5	1	0,5	0	0,5	1	1
1	0	0	0	0	0	0
1	0,5	0,5	0	0,5	1	1
1	1	1	1	1	1	1

 

от него подвоха. Поэтому он склонен интепретировать незнание как отрицательную оценку. Такой же­них — пример явного пессимиста. При этом, если он руководствуется функцией Y₂, то его пессимизм до­стигает крайней степени. При наличии любой неопре­деленности происходит отказ от дальнейшего накоп­ления информации, и общение жениха с невестой прекращается. В случае функции Yз пессимизм не столь категоричен. Лишь в случае полной неопреде­ленности жених прекращает свои попытки устроить свою личную жизнь. При частичной неопределенно­сти он стремится продолжить сбор интересующей его информации.

Оставшиеся две функции характеризуют противопо­ложный взгляд на мир. Это взгляд оптимиста, всегда надеющегося, что природа принесет ему неожидан­ную удачу. Оптимист, руководствующийся в своем выборе функцией Y₅, представляет собой случай крайнего (пожалуй, даже «оголтелого») оптимиста, ибо в своих рассуждениях он заменяет все оценки 0,5 оценками, равными 1. Функция Y₄ характеризует более осторожного оптимиста, который склонен заме­нять единицей не более одной оценки 0,5.

Таким образом, подобно рангам рефлексии можно ввести ранги пессимизма — оптимизма. Будем счи­тать, что бесстрастный жених имеет ранг, равный нулю. Жених, заменяющий т и более оценок 0,5 на 0, имеет ранг пессимизма п —m+1, где п —число, учитываемых условий, а жених, заменяющий т и ме­нее оценок 0,5 на 1,—ранг оптимизма т. В случае двух аргументов, который отражен в нашей таблице,

102

возможны ранги пессимизма и оптимизма 1 и 2. Число возможных рангов растет линейно с ростом числа аргументов n.

При принятии своего решения о браке жених мо­жет руководствоваться и несколько иными соображе­ниями, чем было описано выше. Весьма возможно, что он не такой уж и экстремист и готов жениться и в том случае, когда у его избранницы есть либо квартира, либо она относится к числу хозяек, готовя­щих весьма вкусные обеды. Наличие того и другого одновременно рассматривается таким претендентом на ее руку как редкая удача. Описание процесса принятия решений о браке таким женихом можно представить в виде табл. 3.5.

Таблица 3.5

X1	X2	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
О	0	0	0	0	0	0
0	0,5	0,5	0	0,5	1	1
0	1	1	1	1	1	1
0,5	0	0,5	0	0,5	1	1
0,5	0,5	0,5	0	0,5	0,5	1
0,5	1	1	1	1	1	1
1	0	1	I	1	1	1
1	0,5	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

 

 Функция Z1=max(X1,Х2) в логике называется дизъюнкцией. Она определяет бесстрастный выбор жениха, согласного на выполнение хотя бы одного своего требования. Функции Z2 и Z3, отражают пес­симистическую точку зрения, a Z4 и Z5 — оптимисти­ческую точку зрения при дизъюнктивном выборе. По­добно тому как при конъюнктивном выборе мы ввели в рассмотрение ранги пессимизма —оптимизма, их можно ввести и при дизъюнктивном выборе. Введен­ные нами функции, кроме Y1 и Z1, можно соответственно называть пессимистическими или оптимистиче­скими квазиконъюнкциями и квазидизъюнкциями тех или иных рангов пессимизма — оптимизма.

Для иллюстрации воздействия введенных нами ха­рактеристик на коллективное поведение автома­тов рассмотрим модель, являющуюся, известным

103

 

обобщением модели игры в размещения, которая обсуждалась для однородного коллектива автоматов в начале данной главы.

Каждое утро пастух, выгоняющий стадо на выпас, решает довольно сложную оптимизационную задачу:

куда гнать стадо? Он знает п участков, пригодных для выпаса. Но и другие пастухи, пасущие свои стада в том же районе, осведомлены о них не хуже его. И вполне может случиться, что, пригнав свое стадо в прекрасную долину недалеко от деревни, он увидит, что кто-то уже опередил его еще накануне и вся пища уже уничтожена. А в более высокогорной котловине травы может быть совсем немного, ибо дожди в по­следнее время были редки и трава, по всей видимости, не набрала там силу. Есть, правда еще одно прекрасное место, но там почти наверное придется де­лить его с соседями и животным его стада придется съесть меньше, чем они бы смогли.

Как же пастуху добиться своей цели: увеличить живой вес своего стада? Говорят, что в соседнем рай­оне пастухи договорились между собой и составили план выпаса. Но в их районе об этом только погова­ривают. И о чем только думает районное начальство, которое должно заботиться о суммарном весе всего поголовья животных в стадах района?

Оставим на время пастуха с его нелегкими раз­думьями. Формализуем постановку задачи о поиске наиболее благоприятного места для выпаса стада. Вместо пастуха с его стадом будем рассматривать некий автомат, который имеет п различных действий, смысл которых сводится к выбору одного из п участ­ков для выпаса. Каждый такой участок автомат ап­риорно оценивает двумя оценками: оценкой вероят­ности наличия в этом месте достаточного количества пищи для того, чтобы животные не голодали X₁ⁱ (i здесь номер участка), и оценкой посещаемости уча­стка, отражающей прогноз о среднем числе автома­тов, которые могут одновременно с ним оказаться на участке с номером i(X₂ⁱ). Эти две оценки могут фор­мироваться за счет накопления некоторого предше­ствующего опыта, знания о характере участков и по­годных условий или на основании «голого эмпириз-ма». Несколько огрубляя задачу, будем считать, что все оценки имеют троичный характер. Тогда X₁ⁱ=1

104

означает, что на участке i имеется достаточно пищи для прокорма стада, X₁ⁱ=" 0 — что пищи на участке i явно мало, a X₁ⁱ==0,5 — что у автомата нет информации о вероятности нахождения на участке i достаточ­ного количества пищи. Вторые оценки имеют следующий смысл: X₂ⁱ== 1 — на участке с номером i предполагается такое количество одновременно пасущихся автоматов, которое при равном распределении ресур­сов (пропорционально числу пасущихся автоматов, пришедших на этот участок) обеспечивает нашему автомату необходимое количество пищи; X₂ⁱ==0 озна­чает, что пищи при дележе с соседями по участку будет явно недостаточно, а X₂ⁱ==0,5 свидетельствует об отсутствии информации по этому вопросу.

Таким образом, при принятии решения о выборе участка автомат может действовать как наш гипоте­тический жених, принимающий решение о браке. Что же показали результаты моделирования на ЭВМ? Коллектив автоматов выходил на оптимум с точки зрения районного начальства лишь при определенных распределениях рангов пессимизма — оптимизма. При этом, если в модели допускалось «вымирание» автоматов — т. е. они в течение некоторого числа тактов распределений по участкам не набирали по­рогового значения количества пищи, то с течением времени моделирования в коллективе возрастал про­цент умеренных пессимистов, которые оказывались более жизнеспособными, чем оптимисты всех рангов. Процентный состав пессимистов и оптимистов в кол­лективе, распределение их по рангам во многом за­висят от истинных параметров среды. Но в любом случае крайние пессимисты и оптимисты приносят мало пользы коллективу и при наличии вымирания быстро из него исчезают. Наиболее устойчивыми в среднем оказываются совокупности, в которых около 40 % бесстрастных автоматов, около 40 % умеренных пессимистов и 20 % умеренных оптимистов.

Этот феномен связан с тем, что в однородных кол­лективах без организации какого-либо взаимодей­ствия между автоматами (например, общей кассы или случайного парного взаимодействия) все автоматы кучно переходят от одного выбора к дру­гому. Если же в коллективе имеются различные автоматы, то пессимисты и оптимисты выбирают те

105

 

участки, которые не выбрали бы бесстрастные автоматы, что приводит к «размазыванию» коллектива автоматов по участкам. Тот же эффект, как было показано, достигается введением общей кассы в од­нородном коллективе автоматов, решающем задачу размещения.

В рассмотренной нами модели «игроки» оперировали не с самими значениями тех или иных параметров среды, а с их оценками. В одном из эксперимен­тов, например, предлагалось, что X₁ⁱ==1, если вероят­ность наличия нужного количества пищи на участке с номером i больше 0,75. Если она была меньше 0,25, то полагалось, что X₁ⁱ=0. В остальных случаях принималось, что X₁ⁱ=0,5. Для второго параметра X₂ⁱ=1> если на i-м участке было менее 1/4 всех стад, имеющихся в районе. А когда это количество увеличивалось до 3/4 или превосходило это число, полагалось, что X₂ⁱ=0. В остальных случаях оценка второго параметра была равна 0,5. Субъективизм. этих границ очевиден. Люди в своей практике при­нятия решения в конфликтных ситуациях используют многие виды таких субъективных оценок.

На рис. 3.18 показаны кривые, характеризующие отношения игрока-человека к получаемым им в про­цессе игры выигрышам. По оси абсцисс на графиках отложены величины выигрыша — проигрыша игроков, а по оси ординат—субъективные оценки этих значений игроком. Названия, приведенные на рисун­ке, говорят сами за себя. Дж. Кемени и Дж. Томпсон, проанализировав эти функции оценок, показали, что в коллективе из игроков с различной психологи­ческой доминантой решения, принимаемые ими в одних и тех же условиях, могут быть весьма различными. Приведем одну из моделей, предложенную ими.

Пусть некто устраивает лотерею. Он выбирает такую стоимость одного лотерейного билета s, при­обретя который участник лотереи может с вероят­ностью g выиграть некоторую сумму l. Математиче­ское ожидание проигрыша для устроителя лотерея равно g{-l)+(l-g)s. Конечно, он не захочет про­игрывать и сделает так, чтобы выполнялось неравен­ство       0<g<s/(l+s)

106

Величина g мала, так как l велико по сравнению с s. Пусть человек, купивший лотерейный билет, оцени­вает свои выигрыши и проигрыши с помощью одной из тех оценочных функций f, которые показаны на рис. 3.18. Тогда он оценивает математическое ожидание полезности покупки лотерейного билета как  

 

Естественно считать, что человек покупает лоте-рейный билет только в том случае, когда эта оценка положительна. Тогда разные типы игроков примут

107

различные решения. Легко представить себе, что при определенных значениях s, l и g их решения распре­делятся следующим образом: решение играть примут азартный игрок и бедняк; заурядный игрок будет играть в лотерею лишь при малых значениях l, а от­чаянный при l, большем, чем абсцисса точки раз­рыва; объективный, осторожный, выигрывающий и богач откажутся от участия в лотерее; заурядный откажется при больших значениях l, а отчаянный — если l меньше абсциссы точки разрыва на графике его оценочной функции.

Материал двух последних параграфов свидетель­ствует о том, что в моделях коллективного поведения введение неоднородности служит тем же целям, что и дополнительные механизмы по целенаправленному воздействию среды на участников коллектива. Поэто­му можно считать, что разнородность, столь часто встречающаяся в природе и технических системах, не является чем-то случайным, «нарушающем гармо­нию», а отражает фундаментальную идею о лучшем функционировании разнородных коллективов, решаю­щих общую задачу в условиях децентрализации, по сравнению с однородными коллективами, решающи­ми ту же задачу.

Еще три простые модели

D животном мире и мире растений неоднород­ность помогает регулировать соотношение тех или иных видов в биоценозах и фитоценозах. В качестве иллюстрации приведем две простенькие модели, хо­рошо известные в экологии.

На рис. 3.19,а показана ситуация, сложившаяся в среде, где живут бактерии, изображенные в виде овалов. В некоторые из них проникли частицы, назы­ваемые плазмидами. Эти органические образования стоят на грани живого и неживого. Плазмиды самовоспроизводятся и имеют обмен с внешней для них средой. Этой средой служат для них тела бактерий. В условиях неперенаселенности, когда бактерии име­ют достаточное количество пищи, плазмиды выделя­ют в окружающую их среду вещество, называемое иммунопротеином. На рис. 3.19, а плазмиды показаны зачерненными кружками, а иммунопротеин — точка­ми. Но вот количество бактерий увеличилось на

108

столько, что они начинают испытывать голод. Голодают и плазмиды. Это приводит к тому, что плазмиды, оказавшиеся за граничным значением голодания, начинают вырабатывать не иммунопротеин, безвредный для бактерии-хозяина, а комицин. На рис. 3.19,6 показана такая ситуация, когда одна из плазмид начинает вырабатывать комицин (зачерненные квад­ратики в теле бактерии). Комицин убивает бактерию и плазмиду. Но комицин, попадая во внешнюю сре­ду, убивает в определенной окрестности все бактерии, не содержащие в своем теле иммунопротеин (рис. 3.19, б), после чего в среде остается уже мень­шее число бактерий (рис. 3.19,г), Если их все еще слишком много, то найдется такая плазмида, кото­рая опустится ниже «порога жизни" и начнет сра­батывать комицин, что приведет к дальнейшему со­кращению популяции бактерий. Плазмиды же де­лятся вместе с бактериями только тогда, когда пищи становится «слишком много", выше некоторого

109

 

порога, превышение которого вызывает деление у «чистых» бактерий.

Эту реальную модель саморегулирования численности организмов можно представить и в виде неод­нородного коллектива автоматов, живущего в некоторой среде, в которой поддерживается постоянный уровень пищи. Вся пища делится поровну между чле­нами коллектива. Автоматы - плазмидоносители делят­ся в том случае, когда количество поглощаемой ими пищи превышает некоторый порог Q₁. Остальные автоматы производят деление при более низком по­роге Q₂. Когда автомат - плазмидоноситель получает пищи меньше, чем Q₃ < Q₂, то он погибает и унич­тожает все обычные автоматы, которые находятся от него на определенном расстоянии (например, на торе в клетках, отстоящих от данной на расстоянии, не превышающем 5-кратного размера клетки). Для того чтобы одновременно не погибли все автоматы - плазмидоносители в модели, случайным образом выби­рается один из них. Если после этого уровень пищи все еще не превосходит Q₃, то случайным образом выбирается еще один автомат, способный уменьшить величину популяции. Моделирование такого процесса на ЭВМ показало почти точное совпадение процесса регулирования с тем, что происходит в природе у бактерий.

Вторая модель регулирования численности чуть-­чуть сложнее. Пусть члены коллектива могут исполь­зовать друг относительно друга при столкновениях (например, при случайных парных взаимодействиях) две стратегии: агрессивную и угрожающую. Если оба члены коллектива применяют агрессивную стратегию, то это напоминает драку двух петухов или схватку оленей. Оба противника наращивают усилия и не же­лают уступать друг другу. И лишь гибель или позор­ное бегство одного из них выявляет победителя. Если один из членов коллектива применяет агрессивную стратегию, а другой лишь угрожающую, то при дости­жении определенного уровня агрессивности тот, кто придерживался угрожающей стратегии, спасается бег­ством. Встреча собаки и кошки — яркий пример этой ситуации. Собака сначала всегда придерживается аг­рессивной стратегии, а кошка отвечает ей угрожаю­щей (выгибает спину, издает шипение и т. д.). Если собака пугается и переходит на угрожающую страте-

110

гию, то после взаимных угрожающих поз животные расходятся. Если же собака продолжает наращивать усилия в рамках агрессивной стратегии, то кошка спасается бегством.

Противники с самого начала могут оба придержи­ваться угрожающих стратегий. Они принимают раз­личные ритуальные угрожающие позы, и этот про­цесс продолжается до тех пор, пока один из них не признает себя побежденным (для этого он, как пра­вило, принимает специальную ритуальную позу под­чинения). Подобное соперничество можно наблюдать у собак, серых гусей, тетеревов и многих других животных.

Рассмотрим модель подобного соперничества. Агрессивную и угрожающую стратегии будем обо­значать соответственно буквами А и У. Составим таблицу, в которой оценены все возможные комбина­ции парного соперничества (табл. 3.6).

Таблица 3.6

		Вто	рой
		А	У
Первый	А	(-5, -5)	(+10, 0)
	У	(0, +10)	(+2, +2)

 

На пересечении строк и столбцов таблицы стоят пары чисел. Это условные оценки выигрышей — про­игрышей соперников при выборе той или иной стра­тегии поведения. Если, например, один из них (пер­вый) выбрал стратегию А, а второй — стратегию У, то первый получает выигрыш, равный 10 условным единицам, а второй остается при «своем интересе». Поясним теперь, как возникли эти оценки. Сначала мы условно оцениваем победу при соперничестве как выигрыш, равный +10, серьезное повреждение или гибель, которые могут произойти при наращивании усилий в стратегиях А, оцениваем как (—20). По­скольку при встрече двух агрессоров исход поединка мы считаем равновероятным, то математические ожидания поощрения — наказания при паре страте­гий (А,А) есть 0,5*10+0,5*(—20)= --5. Аналогич­но для встречи со стратегиями (У,У) это ожидание

111

 

вычисляется как 0,5*10+(—3)=2. Здесь оценка (—3) есть плата за нервное напряжение в длитель­ном конфликте при стратегии У. Эта стратегия приводит к значительному расходу нервных и других ре­сурсов животного. Таким образом, таб. 3,6 задает платежную матрицу некоторой игры.

Рассмотрим организм, который может по своему желанию менять свою стратегию в зависимости от обстоятельств. Этот организм можно смоделировать в виде автомата с двумя состояниями, соответствую­щими стратегиям А и У, использование которых оп­ределяется вероятностями Р_A и Ру . При этом, ко­нечно, Р_A+Ру=1. Рассмотрим коллектив, состоя­щий из подобных автоматов, и предположим, что он неоднороден, причем неоднородность задается раз­личными значениями Р_A. В частности, при Р_A==1 автомат является чистым агрессором. Он во всех случаях жизни придерживается стратегии А. При Р_A==0 автомат всегда придерживается стратегии У.

Как и в предшествующей модели, зададим неко­торые пороги Q1 и Q2. Если автомат накапливает выигрыш, превышающий Q1, то он «размножается». Вместо него появляются два автомата с тем же зна­чением Р_A у каждого. Если же накопленное нака­зание становится по абсолютной величине больше Q2, то автомат «вымирает». Возникает вопрос об оптимальном значении Р_A при случайном парном взаимодействии автоматов в коллективе. При моде­лировании на ЭВМ было показано, что коллектив из достаточно большого количества описанных автома­тов, в котором значения Р_A имели распределение, близкое к равномерному, эволюционирует в сторону однородного коллектива, для которого Р_A прибли­жается к значению 8/13. Из теории игр следует, что смешанная стратегия, при которой стратегии А и У выбираются с вероятностями 8/13 и 5/13, является для игрока в определенном смысле наилучшей. Она обеспечивает игроку максимально возможный гаран­тированный выигрыш (при самых наихудших для него действиях противника). Интересно было бы по­лучить экспериментальные данные из наблюдений за животными (например, кошками), которые давали бы оценки частоты выбора ими стратегий А и У при встрече с противником, равным по силе. К сожале­нию, такими данными мы не располагаем.

112

Вернемся к тому, с чего мы начали настоящую главу. События в Арбатове побудили нас рассмотреть ряд моделей коллективного взаимодействия и согла­шений. Эти модели, будь дети лейтенанта Шмидта образованными в области децентрализованного уп­равления, позволили бы им извлекать из участков куда больший доход, чем тот, которого они достигли. И в этом сила моделей, с которыми мы познако­мились.

В заключение укажем еще на одну модель рас­пределения участков, которой можно было бы вос­пользоваться при экспансии детей лейтенанта Шмид­та на территориях, на которых они никогда не быва­ли и сведений о которых у них нет. Такие участки кажутся равноценными, и распределение их вряд ли кого-нибудь взволнует. Жеребьевка их чисто фор­мальна. Но вот участники дележа разъехались на места и начали «работу». Через некоторое время они уже могут оценить средний доход с доставшегося им участка. Повторный съезд участников конвенции должен восстановить справедливость (например, за счет отступных или общей кассы). Но владельцам богатых участков этого не хочется. Они не альтруис­ты. Тогда можно использовать механизм направлен­ной лжи. При вопросе о среднем доходе с участка спрашиваемый говорит истинную цифру лишь тем, чей доход выше, или тем, кому невыгодно переходить на его участок. Остальным он врет, снижая истин­ный доход до того уровня, когда переход для спра­шивающего становится невыгодным. В этой модели участники должны располагать различной информа­цией о реальных доходах других участников.

При этом увеличение объема информация способ­ствует улучшению условий функционирования дан­ного автомата. Обратим внимание читателей на это важное свойство обсуждаемой модели. В модели рефлексивного поведения такая прямая зависимость не наблюдается.

Все модели, которые мы предложили в данной главе, обладают одной особенностью. Если рассмат­ривать коллектив автоматов как прообраз некоторой биологической, социальной или технической системы, то эта система функционирует в параллельном режи­ме, все ее подсистемы действуют независимо друг от друга и им не приходится ждать каких-либо

113

 

результатов работы других подсистем. Такое положение дел встречается не столь уж часто. В сложных системах работа подсистем часто взаимоувязана, су­ществуют определенные временные зависимости, отражающие порядок срабатывания подсистем. Эти зависимости могут носить как вероятностный, так и детерминированный характер. Поэтому в последую­щих двух главах мы рассмотрим децентрализованное управление, осуществляемое при таких дополнитель­ных ограничениях.

Г л а в а 4 КОГДА "ВСЕ ПО СПРАВЕДЛИВОСТИ"

 

«Мы холодны душой к нелепым чудесам.

И лишь возможное всегда по вкусу нам».

 Буало

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: