Коэффициент Пуассона, или как работают наши артерии

 

Сердце - это, по существу, насос, который вгоняет кровь в артерии посредствомдовольно резких пульсаций. Работа сердца облегчается тем обстоятельством(которое идет и на благо организма в целом), что в нагнетательной, илисистолической, фазе сердечного цикла справиться с избытком крови высокогодавления помогает упругое растяжение аорты и больших артерий. Это сглаживаетколебания давления и в целом улучшает циркуляцию крови. В действительностиупругость артерий во многом играет ту же роль, что и воздушный рессивер,который конструктор часто ставит в системе, содержащей механический поршневойнасос. В этом простом устройстве волна давления, которая сопровождает нагнетательныйход поршня, сглаживается за счет того, что нагнетаемой жидкости временноприходится сжимать воздух, удерживаемый над жидкостью в закрытом сосуде.Когда после окончания нагнетательного хода поршня клапан насоса закрывается(то же происходит и в диастолической фазе сердечного цикла), жидкость продолжаетдвижение в гидросистеме за счет расширения сжатого воздуха (рис. 54).

 

 

Рис. 54. Упругое растяжениеаорты и артерий играет ту же роль в сглаживании колебаний давления, чтои наличие воздушного рессивера в поршневом насосе.

Это ритмичное чередование расширения артерий и их возвращения в исходноесостояние благотворно и необходимо. Если с возрастом стенки артерий становятсяболее жесткими и менее эластичными, то давление крови повышается и сердцуприходится производить большую работу, что может отрицательно сказатьсяна его состоянии. Об этом знает большинство из нас, но о имеющейся здесьсвязи с деформациями стенок артерий задумываются немногие.

Как мы нашли в гл. 5, осевое напряжение в цилиндрической оболочке, такой,как стенка артерии, составляет ровно половину окружного напряжения. Этосправедливо всегда, независимо от материала оболочки или трубы. Поэтомуесли бы закон Гука выполнялся в приведенной выше грубой формулировке, тоосевая деформация также составляла бы половину окружной и общее удлинениеартерии происходило бы в соответствующих пропорциях к ее первоначальнымразмерам.

Вспомним теперь, что главные артерии, такие, как артерии ног, могутиметь диаметр где-то около сантиметра, а длину около метра. Если упомянутыедеформации действительно относились бы как два к одному, то, как показываетпростой расчет, изменению диаметра артерии на 0,5 мм, которое без труда"умещается" в организме, соответствовало бы изменение длины на 25 мм.

Очевидно, что такого порядка изменения длины с частотой 70 раз в минутуневозможны и их на самом деле нет. Если бы такое происходило, наше теловообще не могло бы функционировать. Достаточно только представить себе,что такое происходит с сосудами мозга.

К счастью, на самом деле продольные удлинения в находящихся под давлениемтрубах всех видов и размеров много меньше, чем можно было бы ожидать илиопасаться. Доказательством того, что дело обстоит именно таким образом,является так называемый коэффициент Пуассона.

Если вы натянете резиновую ленту, она станет заметно тоньше, то же самоепроисходит и со всеми другими твердыми телами, хотя для большинства материаловэто не так бросается в глаза. Напротив, если вы уменьшите длину куска материала,сжав его, поперечные размеры увеличатся. И то и другое происходит благодарядействию упругих сил, и первоначальная форма тела восстанавливается приснятии нагрузки.

Мы не замечаем этих поперечных перемещений в таких веществах, как стальили кость, в силу малости как продольной, так и поперечной деформаций,но фактически и здесь дело обстоит точно так же. То обстоятельство, чтоподобные эффекты характерны для всех твердых тел и такое поведение существеннодля практических задач, было впервые отмечено французом С.Д. Пуассоном(1781-1840). Он родился в очень бедной семье и в детстве не получил сколько-нибудьсистематического образования, но в возрасте тридцати одного года стал академиком,а во Франции это одна из наивысших почестей, и он удостоился ее за своиработы в области теории упругости. Как было сказано в гл. 2, закон Гукагласит, чтомодуль Юнга = E = (напряжение / деформация) = s/e .

Поэтому, если мы приложим к плоской пластинке растягивающее напряжениеs₁  ,она удлинится упругим образом, так что в направлении растяжения деформациябудет иметь величину e₁    = s₁ /E  .

Однако, кроме того, пластинка сократится в поперечном направлении (то есть внаправлении под прямым углом к напряжению s₁  ), и величинусоответствующей деформации мы обозначим e₂  . Пуассон обнаружил, чтодля каждого материала отношение деформаций e₁   и e₂   естьвеличина постоянная, и это отношение теперь принято называть коэффициентомПуассона. Ниже мы всюду будем использовать для этой величины обозначение ν .Таким образом, для данного материала, подвергаемого простому одноосномунагружению напряжением s₁  , ν =e₂ /e₁ = коэфициентПуассона[56]

Деформацию e₁   в направлении напряжения s₁  можно назвать первичной деформацией, а деформацию e₂  ,вызванную напряжением s₁   в перпендикулярном емунаправлении, - вторичной деформацией (рис. 55). Согласно этому,e₂ = νe₁  ,а так как e₁ = s₁ / E   (это - закон Гука),то e₂ = νs₁ / E  .

 

 

Рис. 55. При одноосном нагружениитвердого тела растягивающим напряжением s₁ тело испытывает в направлении этого нагружения деформацию e₁ ,а в поперечном направлении сокращается, при этом деформация равна e₂ .

Таким образом, если мы знаем значения величин ν и E  , мы можем вычислить и первичную, и вторичную деформации.

Для материалов, используемых в технике, таких, как металлы, камень и бетон,значения ν лежат всегда между 1/4 и 1/3. Для твердых биологическихматериалов значения коэффициента Пуассона обычно выше, и часто они лежат вблизи1/2. Преподаватели элементарной теории упругости сказали бы вам, чтокоэффициент Пуассона не может принимать значений больше 1/2, иначе происходилибы разного рода абсурдные и неприемлемые вещи. Это справедливо лишь отчасти, изначения коэффициента Пуассона для некоторых биологических материалов являютсяочень высокими, часто они больше единицы[57]. Экспериментальное значение коэффициента Пуассона для моегоживота, измеренное недавно мною в ванне, составляет примерно единицу (см.сноску выше).

Таким образом, как сказано выше, благодаря коэффициенту Пуассона, еслимы растягиваем в каком-либо одном направлении кусок материала, такой, какпленка или стенка артерии, он удлиняется в этом направлении, но одновременносокращается в перпендикулярных. Поэтому в случаях, когда растягивающеенапряжение действует не в одном, а в двух взаимно перпендикулярных направлениях,возникающие деформации будут разностью тех деформаций, которые создалобы каждое из этих напряжений в отдельности, и окажутся поэтому меньше последних.

При одновременном действии напряжений s₁   и s₂   суммарнаядеформация в направлении действия s₁   будет e₁ = (s₁ -νs₂ )/E  , а суммарная деформация в направлении действия s₂  будет e₂ = (s₂ - νs₁ )/E  .

Отсюда, используя результаты, приведенные в гл.5[58], с учетом коэффициента Пуассона получаем, что продольная деформациястенок трубы, находящейся под внутренним давлением и сделанной из материала,подчиняющегося закону Гука, будет e₂ = (rp/2tE )(1 - 2ν) , гдеr   - радиус, р   - давление, t   - толщина стенок.

В результате увеличение длины трубы оказывается значительно меньшим, чем можнобыло бы ожидать; для гуковского же материала с коэффициентом Пуассоны, равным1/2, продольные перемещения вообще отсутствуют. В действительности, какговорилось выше, материал стенок артерий не подчиняется закону Гука, в то жевремя коэффициент Пуассона для него, вероятно, больше 1/2. Возможно, эти двафактора взаимно компенсируются, поскольку соответствующие удлинения, фактическинаблюдаемые в эксперименте, очень малы[59].Несомненно, тот факт, что артерии постоянно находятся в организме в натянутомсостоянии, свидетельствует о мерах предосторожности, принятых Природой противлюбых возможных остаточных удлинений кровеносных сосудов.

Эффекты, связанные с коэффициентом Пуассона, по-видимому, играют важнуюроль в поведении тканей животных; но они важны и в технике, о чем свидетельствуютвсе новые факты, возникающие, как правило, неожиданно и в самых разныхсочетаниях.

Возможно, следует также добавить, что, в то время как аорта и главныеартерии расширяются и сокращаются упругим образом в такт с биением сердца,с артериями меньшего размера дело обстоит несколько иначе. Стенки этихартерий соединены с мышечной тканью, которая может увеличивать их эффективнуюжесткость и таким образом, ограничивая диаметр этих артерий, влиять наколичество крови, подводимое к каждому из участков тела. Таким путем регулируетсякровоснабжение тела.

 

Надежность, или о вязкости тканей животных

 

У животных довольно часто случаются переломы костей и разрывы сухожилий;упругие свойства костей и сухожилий отличаются от свойств тканей, рассматриваемыхв этой главе. Примечательно, однако, что механические разрушения мягкихтканей животных происходят довольно редко. На это имеется несколько причин.Шкура и мягкие части тела животного, будучи очень нежесткими, могут неполучить серьезных повреждений при ударе; подвергаясь большим деформациям,животное отделывается только синяками. Более интересен, однако, вопросо концентрации напряжений, поскольку мягкие ткани животных практическине боятся концентрации, этой главной причины катастроф инженерных сооружений.Ткани животных не требуют большого коэффициента запаса, поэтому конструктивнаяэффективность, то есть выдерживаемая конструкцией нагрузка, приходящаясяна единицу веса конструкции, может быть очень высокой.

Такой иммунитет к концентрации напряжений определяется отнюдь не мягкостьютканей и малым модулем Юнга. Резина тоже мягкая, и ее модуль Юнга тожеочень мал, однако все мы помним с детства, как выпущенные в сад воздушныешарики очень скоро с шумом лопались, наткнувшись на шипы первого же куста.Детьми мы не понимали, что из-за концентрации напряжений и малой величиныработы разрушения от прокола в натянутой резине очень быстро распространяетсятрещина, а если бы и понимали, то вряд ли это уменьшило бы наши огорчения.Перепонка же крыла летучей мыши ведет себя иначе, хотя также сильно натягиваетсяв полете. При проколе крыла разрыв от этого места распространяется редкои повреждение скоро заживает, несмотря на то что мышь не перестает летать.

Объяснение этого кроется, я думаю, в существенных различиях упругихсвойств и величин работы разрушения резины и биологических тканей. В настоящеевремя данные о работе разрушения мягких биологических тканей, по существу,отсутствуют, однако зависимости напряжения от деформации в большинствеслучаев известны очень хорошо, а между формой этих зависимостей и работойразрушения, по-видимому, имеется тесная связь.

Интересный пример составляет пленка куриного яйца - пленка, которуюмы видим за завтраком сразу под скорлупой вареного яйца. Это одна из немногихбиологических мембран, которые подчиняются закону Гука, в данном случае- вплоть до деформаций около 24%, когда происходит разрыв пленки. Простой(правда, грозящий легкими неприятностями) эксперимент с сырым яйцом показывает,что эта пленка легко рвется. Так, конечно, и должно быть, поскольку иначецыпленку было бы трудно вылупиться из яйца. Между прочим, округлая формасамой скорлупы такова, что ее трудно разрушить снаружи, но легко разбитьизнутри.

Яичная пленка - ткань, по-видимому, исключительная; по самому своемупредназначению она подлежит разрушению после того, как сделает свое дело,сохранив в яйце влагу и защитив его от инфекции. Вероятно, именно по этойпричине она обладает, как мы говорили, особыми упругими свойствами. Однакоупругие свойства подавляющего большинства мягких тканей совершенно другие, иххарактеризует зависимость, показанная на рис. 53, и, для того чтобы выполнятьсвое назначение, большинству из этих тканей необходимо быть "вязкими". Напрактике оказывается, что материалы с зависимостью напряжения от деформацииподобного типа рвутся с очень большим трудом; следует заметить, что внутренниепричины этого не вполне ясны. Одна из причин, возможно, состоит в том, чтозапасаемая упругая энергия, которая может идти на развитие трещины (а онадается площадью под кривой деформирования - см. гл. 4), меньше, чем для другихтипов кривой деформирования[60].

Как мы уже говорили, упругое поведение большинства тканей животных близкок показанному на рис. 53. Должен сознаться, когда я впервые обратил наэто внимание, мне показалось, что это некая странность или причуда Природы,которая, увы, не смогла придумать ничего лучшего, не получив приличногоинженерного образования. Однако после довольно путаных попыток исследоватьпроблему на основе грубых расчетов мне становится все более ясным, чтов случаях, когда конструктивная система должна надежно работать, испытываядействительно большие обратимые деформации, такая зависимость напряженияот деформации - единственно приемлемая. Появление тканей животных с такоготипа кривой деформирования было весьма важным для эволюции и существованиявысших форм жизни. Биологам это полезно иметь в виду.

 

Строение мягких тканей

 

Отчасти, возможно, по указанным причинам молекулярная структура тканейживотных редко напоминает структуру резины или синтетических полимеров.Строение большинства тканей животных очень сложное, чаще всего они являютсясоставными (композитными) и включают по крайней мере два компонента. Вих состав входит сплошная фаза, или матрица, в которой распределены армирующиеее прочные нити, или волокна, из другого вещества. Во многих случаях этасплошная фаза содержит вещество, называемое эластином, который имеет оченьмалый модуль Юнга и кривую деформирования такого типа, как показана нарис. 56. Другими словами, по своим упругим свойствам эластин лишь на однуступеньку отличается от жидкостной пленки с поверхностным натяжением. Эластин,однако, армирован прочными зигзагообразными волокнами коллагена (рис. 56а),представляющего собой разновидность протеина - вещества, близкого к веществусухожилий и имеющего большой модуль Юнга и почти гуковское поведение. Вследствиетого что армирующие волокна сильно перекручены, они вносят очень малыйвклад в сопротивление материала растяжению при малых деформациях, и упругоеповедение материала в этом случае весьма близко к поведению эластина. Однакопо мере того, как композитная ткань вытягивается, коллагеновые волокнапостепенно становятся все более туго натянутыми, и, таким образом, модульЮнга материала в растянутом состоянии будет определяться модулем Юнга коллагена.Описанное поведение материала более или менее соответствует кривой, изображеннойна рис. 53.

 

 

Рис. 56. Примерный вид кривых деформирования эластина и коллагена.

 

 

Рис. 56а. Поперечный разрез артерии под микроскопом. Упругие свойстваартерии обеспечивает эластин, укрепленный перекрученными коллагеновыми нитями.(Артерии, освобожденные от крови, делаются плоскими.)

Роль коллагеновых волокон не сводится только к увеличению жесткоститкани при больших деформациях, они, по-видимому, нужны и для того, чтобыобеспечить "вязкость" ткани, то есть ее трещиностойкость. Когда на живойткани возникает порез в результате травмы или под действием скальпеля,на первой стадии процесса заживления на заметных расстояниях вокруг раныколлагеновые волокна временно исчезают. Только после того, как полостьраны заполняется эластином, коллагеновые волокна образуются вновь и восстанавливаетсяполная первоначальная прочность ткани. Этот процесс может продолжаться3 или 4 недели, и пока он не закончится, величина работы разрушения тканив окрестности раны чрезвычайно мала. Поэтому, если в течение двух-трехнедель после хирургической операции требуется вновь вскрыть зашитую полость,в этом месте бывает трудно наложить надежные швы.

Коллаген существует в различных формах, в частности, он может состоять изперекрученных нитей протеиновых молекул. Его сопротивление деформированиюопределяется главным образом натяжением связей между атомами в молекулах, ипотому он ведет себя, по Гуку, подобно нейлону или стали. А почему эластинведет себя почти так же, как пленки жидкости с поверхностным натяжением?Краткий ответ на этот вопрос состоит в том, что на самом деле этого никто незнает. Однако профессоры Вейс-Фог и Андерсен выдвинули предположение, что такоеповедение может быть обязано некоей модифицированной форме поверхностногонатяжения. Согласно их гипотезе эластин состоит из сети гибких длинных цепочекмолекул, находящихся внутри эмульсии. Капельки жидкости в составе эмульсиисмачивают эти молекулярные цепочки, в то время как основное вещество эмульсииих не смачивает. В связи с этим молекулярным цепям энергетически выгодно почтипо всей их длине свернуться в клубки внутри капелек жидкости (рис. 57, а ).При действии растягивающих нагрузок они вытягиваются из капель и распрямляются(рис. 57, б )[61].

 

 

Рис. 57. Предполагаемое строение эластина. а - недеформированноесостояние, цепи молекул находятся главным образом в скрученном состоянии внутрикапелек; б - деформированное состояние, цепи молекул вытянуты из капелек.

Наше тело состоит по большей части из мышц, являющихся биологически активнойтканью, способной сокращаться и тем самым вызывать растяжения сухожилийи других тканей. Мышцы, однако, содержат коллагеновые нити, упругие свойствакоторых могут играть только пассивную роль. Если растягивать умерщвленнуюмышцу, получается зависимость напряжения от деформации, опять-таки оченьпохожая на приведенную на рис. 53, и представляется вероятным, что коллагенв мышце несет функцию ограничения ее растяжения в расслабленном состоянии.Другими словами, он действует как некий тормоз, обеспечивающий безопасность.

Как мы уже говорили, другое назначение коллагеновых волокон в тканях- это обеспечить сравнительно большую величину работы разрушения. Для животныхэто хорошо, но это неудобно для людей, которые едят мясо. Другими словами,именно коллаген делает мясо "вязким". Однако представляется, что Природане на стороне вегетарианцев, поскольку она, к ее мудрости, устроила так,что коллаген превращается в желатин - вещество, обладающее в жидком состояниималой прочностью, при такой температуре, которую еще выдерживает эластин,или мышечная ткань. Поэтому процесс приготовления пищи заключается в превращениибольшей части коллагеновых волокон в желатин (представляющий собой желеобразнуюмассу) с помощью жарения, варки или кипячения. Таким образом, мы имеемздесь дело с наукой, укрепляющей веру в мудрость Природы.

 

⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒

Поделиться: