Изучение нового материала. Итог занятия

Одним из видов размещений являются перестановки.

Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов. Их число обозначают Pn (от фр. permutation – перестановка).

Например, P3 = 6, так как из элементов 1, 2, 3 можно составить шесть различных перестановок:

(1; 2; 3), (2; 1; 3), (2; 3; 1),

(3; 2; 1), (3; 1; 2), (1; 3; 2).

Для нахождения числа Р_n заметим, что перестановка без повторений из n элементов – это то же самое, что размещение без повторений из n элементов по n, то есть . Поэтому для отыскания значения Р_n в формуле  положим k = n:

 [30].

Очевидно,  Такая формула называется рекуррентной и дает возможность подсчитывать число перестановок во множестве  элемента через перестановки во множестве n элементов.

Заметим, что , а . Если множество содержит один элемент, то и вариант составления кортежей тоже единственный, но если во множестве нет элементов, то это тоже единственный вариант: «кортеж длины 0» [21].

Если в кортеже имеются повторяющиеся элементы, то формула  уже неприменима, поскольку при переставлении одинаковых элементов кортеж не изменится. Размещения с повторениями, имеющие один и тот же состав и отличающиеся друг от друга лишь порядком компонент, называются перестановками с повторениями данного состава.

Пусть дан кортеж длины n, состоящий из элементов множества
А = {a₁, a₂, …, a_m} . Отсортируем в кортеже элементы: каждому числу k  ставится в соответствие число n_k , показывающее сколько раз элемент a_k встретился в этом кортеже. Тогда  Очевидно, что перестановка одинаковых элементов внутри некоторого k-го сорта не изменит кортежа, то есть среди n! всех перестановок будет n_k! тождественных. Уменьшим число перестановок из n (n!), убрав повторяющиеся кортежи обратным действием (разделив на n₁!, n₂!, …, n_m!). Тогда число перестановок с повторениями, имеющих такой состав, найдем по формуле:

  [10].

Рассмотреть задачи из приложения 4.

Итог занятия

Итак, мы узнали, что одним из видов размещений являются перестановки. Вывели формулы нахождения числа перестановок. Научились решать задачи с использованием данных формул.

Занятие 4. Сочетания

Цель: знакомство с основными формулами комбинаторики.

Задачи:

- познакомить учащихся с сочетаниями (без повторения и с повторением), а также соответствующими формулами для вычисления числа сочетаний;

- учить применять изученные формулы при решении задач;

- изучить свойства числа сочетаний, что такое треугольник Паскаля и формулу бинома Ньютона;

- развивать комбинаторное мышление, математическую речь, интерес к предмету.

Ход занятия

1. Сообщение темы и цели занятия

Ранее мы изучили два вида комбинаторных соединений: размещения и перестановки. На этом занятии речь пойдет о сочетаниях.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: