Изучение нового материала. Свойства числа сочетаний.

Сочетания во множестве из n элементов отличаются от размещений тем, что в подмножестве, состоящем из k элементов, в размещениях порядокопределен, а в сочетаниях не важен.

Поэтому сочетаниями из n элементов по k называется неупорядоченное подмножество (выборка), состоящее из k элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов. Число сочетаний обозначается  (от фр. сombinaison - сочетание) [12].

Для подсчета числа сочетаний возьмем формулу размещений  и поделим ее на число перестановок в подмножестве (так как порядок в сочетаниях не важен). Тогда формула сочетаний без повторений имеет вид:
Отсюда видно, что

Отметим важные частные случаи: при k = 0  и k = n имеем ; при k = 1 ; при k = 2  [21].

Для числа сочетаний с повторениями из n элементов по k
используется обозначение . Для любого натурального k справедлива формула:  [30].

Рассмотреть решение задач 1-6 (см. прил. 5).

Свойства числа сочетаний.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Из первой и второй формулы можно последовательно вычислять . Вычисления записываются в виде треугольной таблицы:

…………………………………..

 Такая таблица называется треугольником Паскаля и имеет вид:

1

1 1

1 2   1

1 3  3 1

1 4 6  4 1

1 5 10 10 5 1

…………………………......

Основная закономерность образования строк в этом треугольнике состоит в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

Числа  при переменных m и k называются биноминальными коэффициентами. Они являются коэффициентами в разложении n-й степени бинома Ньютона, т.е.:

Из школьного курса математики известны формулы:

Любой член бинома, например (k+1)-й, находится по формуле:

 [19].

Применение данных формул показать на задачах 7, 8 из приложения 5.

Итог занятия

Итак, мы изучили три основных формулы комбинаторики: размещения, перестановки и сочетания. Применение формул облегчает подсчет числа возможных вариантов решений той или иной комбинаторной задачи. Однако чтобы воспользоваться формулой, необходимо определить вид комбинаций, о которых идет речь в задаче, что бывает сделать не очень просто. Разобраться поможет схема анализа комбинаторных задач (см. прил. 6).

Занятие 5. Преобразование комбинаторных выражений
алгебраическими методами

Цель: показать применение алгебраических методов к преобразованию комбинаторных выражений.

Задачи:

- учить решать уравнения и упрощать выражения, содержащие факториал и различные комбинаторные соединения;

- рассмотреть доказательство комбинаторных тождеств алгебраическими методами;

- развивать логическое мышление, грамотную математическую речь, интерес к математике.

Ход занятия

1. Сообщение темы и цели занятия

Нам уже известны различные комбинаторные соединения, правила их вычисления и свойства. Это занятие мы посвятим рассмотрению задач на доказательство комбинаторных тождеств, решению уравнений и вычислению значений выражений, содержащих факториал и изученные комбинаторные соединения.

Работа по теме занятия

Пример 1. Найти значение выражения: а) ;  б)  [18]

Решение.

а) ;

б) .

Пример 2. Сократить дробь: а) ; б) ; в)  [6].

Решение.

а) ;

б) ;

в) .

Остальные упражнения подробно рассмотрены в приложении 7.

Итог занятия

Таким образом, мы научились применять алгебраические методы к преобразованию комбинаторных выражений.

Тема: Математическая модель эксперимента
со случайным исходом

Занятие 1. Основные понятия теории вероятностей

Цель: изучение математического описания случайных событий.

Задачи:

- ввести понятия: случайный эксперимент (опыт), исходы эксперименты (элементарные события);

- учить описывать множество исходов эксперимента;

- изучить виды событий, операции над событиями и их свойства;

- развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике.

Ход занятия

Вводная беседа

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ – нужно было только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Практикой установлено, что в часто происходящих случайных явлениях существуют определенные закономерности. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятностей. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления, позволяет предвидеть, как эти явления будут протекать. В ходе изучения курса, вы научитесь вычислять вероятность случайных явлений в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать верные решения.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: