Понятие о моделях и моделировании. Свойства моделей. Классификация моделей.

Понятие о моделях и моделировании. Свойства моделей. Классификация моделей.

Модель в общем смысле есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта – оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом.

Свойства любой модели таковы:

· конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

· упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;

· приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;

· адекватность: модель успешно описывает моделируемую систему;

· информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.

Каждая модель характеризуется тремя признаками:

q принадлежностью к определённому классу задач (по классам задач)

q указанием класса объектов моделирования (по классам объектов)

q способом реализации (по форме представления и обработки информации).

Рассмотрим более подробно последний вид классификации. По этому признаку модели делятся на материальные и идеальные.

Материальные модели:

a) геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно- геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);

b) основанные на теории подобия субстратно подобные, воспроизводящие с масштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель, (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);

c) аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).

Аналоговое моделирование основано на том, что свойства и характеристики некоторого объекта воспроизводятся с помощью модели иной, чем у оригинала физической природы. Целый ряд явлений и процессов существенно различной природы описывается аналогичными по структуре математическими выражениями. Описываемые аналогичными математическими структурами разнородные объекты можно рассматривать как пару моделей, которые с точностью до свойств, учитываемых в математическом описании, взаимно отображают друг друга, причем коэффициенты, связывающие соответственные (сходственные) параметры, являются в этом случае размерными величинами.

1.	¶ Т	= α ×		¶² T
	¶ t			¶ х²

2.	¶ С	= D ×		¶² T
	¶ t			¶ х²

3.	¶ u	=	1	×	¶² T
	¶ t		RC		¶ х²

1- уравнение теплопроводности (закон Фурье), 2- уравнение диффузии (закон Фика), 3-уравнение электропроводности (закон Ома).

Идеальные модели

a) неформализованные модели, т.е. системы представлений об объекте оригинале, сложившиеся в человеческом мозгу;

b) частично формализованные:

вербальные – описание свойств и характеристик оригинала на некотором естественном языке (текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента);

графические иконические – черты, свойства и характеристики оригинала, реально или хотя бы теоретически доступные непосредственно зрительному восприятию (художественная графика, технологические карты);

графические условные – данные наблюдений и экспериментальных исследований в виде графиков, диаграмм, схем;

c) вполне формализованные (математические) модели.

Билет №2

Методы построения математических моделей: аналитические модели, модели идентификации.

Аналиические

На практике теоретические модели выступают в двух основных ролях. Прежде всего, они образуют структурную основу и являются главным исходным материалом всех без исключения теоретических построений. Любая теория, относящаяся к сфере точных наук, есть не что иное, как система взаимосвязанных аналитических моделей, подчиненная регулятивным принципам и универсальным зависимостям более высокого уровня.

В поисковых областях научного знания теоретические модели, предназначенные для объяснения и описания явлений, не укладывающихся в существующие теоретические представления, играют роль главного инструмента познания.

Вместе с тем, модели этого класса являются основой для решения множества конкретных прикладных задач, в частности инженерно-технического характера, относящимся к хорошо изученным, не слишком сложным объектам и носящих типовой или рутинный характер. Расчет прочностных характеристик конструкций, расчеты параметров и характеристик электрических цепей. В каждом конкретном случае модель исследуемого явления строится с учетом специфики природы и свойств объекта. Вместе с тем можно указать и некоторые общие методы и приемы.

В основе аналитических моделей, как правило, лежат так называемые балансовые соотношения, связывающие входные и выходные переменные или некоторые функционалы от этих переменных, имеющие смысл обобщенных сил, обобщенных потоков или координат. Типичные примеры: условие равновесия сил или моментов, действующих на некоторую механическую систему, равенство масс исходных и конечных продуктов некоторой химической реакции, равенство нулю суммы ЭДС и падений напряжений в электрической цепи и т.п. Все эти и прочие им подобные соотношения по существу представляют собой частные проявления законов сохранения вещества и энергии. К этой основе добавляется необходимая дополнительная информация, не вытекающая из этих соотношений, источником которой может быть либо специфическая для данного класса объектов теория, либо эксперимент.

Идентифицируемые модели

. Задача заключается в том, чтобы по наблюдаемым данным о входах и выходах выявить внутренние свойства объекта или, иными словами, построить модель. Решение задачи допускает применение двух стратегий:

1. Осуществляется активный эксперимент. На вход подаются специальные сформированные тестовые сигналы, характер и последовательность которых определена заранее разработанным планом. Преимущество: за счет оптимального планирования эксперимента необходимая информация о свойствах и характеристиках объекта получается при минимальном объеме первичных экспериментальных данных и соответственно при минимальной трудоемкости опытных работ. Но цена за это достаточно высока: объект выводится из его естественного состояния (или режима функционирования), что не всегда возможно.

2. Осуществляется пассивный эксперимент. Объект функционирует в своем естественном режиме, но при этом организуются систематические измерения и регистрация значений его входных и выходных переменных. Информацию получают ту же, но необходимый объем данных существенно, на 2-3 порядка больше, чем в первом случае.

Билет №5

Билет №13

Билет №14

Билет №15

Поток событий. Простейший поток и его свойства.

При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто бывает удобно представить себе процесс так, как будто переходы системы из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени. (Поток вызовов на телефонной станции; поток неисправностей (сбоев) ЭВМ; поток грузовых составов, поступающих на станцию; поток посетителей; поток выстрелов, направленных на цель). Будем изображать поток событий последовательностью точек на оси времени ot. Положение каждой точки на оси случайно. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени (редко встречается на практике). Рассмотрим специального типа потоки, для этого введем ряд определений. 1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси ot расположен этот участок (однородность по времени) – вероятностные характеристики такого потока не должны меняться от времени. В частности, так называемая интенсивность (или плотность) потока событий (среднее число событий в единицу времени) постоянна.

2. Поток событий называется потоком без последствия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков). Отсутствие последствия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного события (события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д.).

Поток событий, обладающий всеми тремя свойствами, называется простейшим (или стационарным пуассоновским). Нестационарный пуассоновский поток обладает только свойствами 2 и 3. Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и нестационарный) тесно связан с известным распределением Пуассона. А именно, число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона. Поясним это подробнее.

Рассмотрим на оси о t, где наблюдается поток событий, некоторый участок длины t, начинающийся в момент t ₀ и заканчивающийся в момент t ₀ +t. Нетрудно доказать (доказательство дается во всех курсах теории вероятности), что вероятность попадания на этот участок ровно m событий выражается формулой:

( m =0,1…),

где а – среднее число событий, приходящееся на участок t.

Для стационарного (простейшего) пуассоновского потока а= l t, т.е. не зависит от того, где на оси ot взят участок t. Для нестационарного пуассоновского потока величина а выражается формулой

и значит, зависит от того, в какой точке t ₀ начинается участок t.

Рассмотрим на оси ot простейший поток событий с постоянной интенсивностью l. Нас будет интересовать интервал времени T между событиями в этом потоке. Пусть l - интенсивность (среднее число событий в 1 времени) потока. Плотность распределения f ( t ) случайной величины Т (интервал времени между соседними событиями в потоке) f ( t )= l e ^- ^l ^t ( t > 0). Закон распределения с такой плотностью называется показательным (экспоненциальным). Найдем численные значения случайной величины Т: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию .

Промежуток времени Т между соседними событиями в простейшем потоке распределен по показательному закону; его среднее значение и среднее квадратичное отклонение равны , где l - интенсивность потока. Для такого потока вероятность появления на элементарном участке времени ∆t ровно одного события потока выражается как . Эту вероятность мы будем называть «элементом вероятности появления события».

Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка Т уже не будет показательным. Вид этого закона будет зависеть, во первых, от того, где на оси ot расположено первое из событий, во вторых, от вида зависимости . Однако, если меняется сравнительно медленно и его изменение за время между двумя событиями невелико, то закон распределения промежутка времени между событиями можно приближенно считать показательным, полагая в этой формуле величину равной среднему значению на том участке, который нас интересует.

Билет №16

Билет №17

Билет №18

Билет №19

Билет №20

Билет №21

Билет №22

Билет №23

Билет №27

Обобщение сетей Петри.

Цветные сети Петри. Появление сетей этого класса связано с концепцией использования различных меток. Ранее все метки предполагались одинаковыми. Механизм функционирования сетей был связан только лишь с количествами меток во входных позициях переходов и определялся общими для всех меток условиями возбуждения переходов и правилами изменения различных позиций при выполнении сети. В цветных сетях каждая метка получает свой цвет. Условия возбуждения и правила срабатывания переходов для меток каждого цвета задаются независимо. Множество используемых при реализации цветных сетей красок выбирается конечным или бесконечным (например, счётным). При моделировании систем цветные сети чаще всего используются для построения компактных формальных и графических представлений, в составе которых имеются однотипные по структуре и характеру функционирования группы объектов.

Сети Петри со сдерживающими дугами. Сдерживающая дуга из позиции p_i в переход tj имеет маленький кружок (а не стрелку). Кружок означает отрицание (“не”). Правила запуска изменяются следующим образом: переход является разрешённым, когда фишки присутствуют во всех его (обычных) входах и отсутствуют в сдерживающих входах. Переход запускается удалением фишек из всех его (обычных) входов. Так можно описывать переходы, «исключающее ИЛИ». В обычных СП переход запускается, когда все его входы имеют фишки (логика И). Переход “исключающее ИЛИ” запускается тогда и только тогда, когда только один из его входов имеет фишки, а все другие фишек не имеют. Когда переход запускается, он удаляет фишку только из входа с фишками.

Имеются ещё два других важных расширений СП. Переходам могут быть поставлены в соответствие приоритеты так, что если t_i и t_k оба допустимы, то переход с высшим приоритетом будет запущен первым. Механизм назначения приоритетов может устанавливать порядок срабатывания переходов при возникновении конфликтов. Во-вторых, используют временные сети Петри. Во временных сетях Петри каждому переходу t_j сопоставляются два момента времени τ_1,_j и τ_2,_j. Переход t_j может быть запущен, только если он был разрешён к моменту времени τ_1,_j. Если он является разрешённым, то должен быть запущен до наступления момента времени τ_2,_j. Рассмотрим временные сети более подробно.

Формально временные сети задаются набором (P, T, I, O, μ°, Z), где P, T, I, O, μ имеют обычный смысл, а Z: P→R⁺ функция времени задержки меток в позициях сети. Работа временных сетей подчиняется следующим правилам:

▪ метки в позициях могут быть доступными или же недоступными;

▪ переходы считаются возбуждёнными, если все их входные позиции имеют метки и эти метки доступные;

▪ переходы срабатывают мгновенно в тот самый момент, как только будут выполнены условия их возбуждения. Правила перехода меток во временных сетях совпадают с аналогичными правилами для сетей Петри;

▪ каждая метка, совершившая переход из в , будет недоступной в в течении времени , начиная с момента её появления в . По истечению времени метка становится доступной.

Одним из интересных применений временных сетей являются задачи анализа периодических режимов функционирования систем. В сети можно обеспечить периодический режим работы с минимальным периодом. Такой режим достигается при использовании специального расписания включения переходов сети.

Характерным для имитационных моделей формализующим фактором является применённый в них новый механизм описания состояния сети. Метки в расширенных сетях Петри являются носителями определённого количества атрибутов, в качестве которых могут выступать числа, логические переменные, текстовые конструкции, массивы, таблицы. Атрибуты меток могут быть функциями времени. Переходы меток при выполнении сети сопровождаются изменениями значений атрибутов. Эти изменения подчиняются специально определяемым в модели правилам (процедурам перехода). В расширенных сетях Петри средства описания процессов синхронизации событий значительно более развиты, чем рассмотренный ранее механизм блокировки меток во временных сетях.

Билет №28

Билет №29

Билет №30

Операторы выходов агрегата.

Во множестве Z состояний z(t) агрегата выделим класс подмножеств {Z_y}, обладающих следующими свойствами. Выходной сигнал y выдается в момент t¢ в тех случаях, когда: 1) z(t¢)ÎZ_y; z(t¢-0)ÏZ_y и 2) z(t¢+0)ÎZ_y, но z(t’)ÏZ_y. Тогда, оператор G можно представить в виде совокупности 2 операторов: G¢, вырабатывающего выходной сигнал

y=G¢[z(t¢),u_s] (11.7)

и G¢¢, проверяющего для каждого t принадлежность z(t) к одному из подмножеств Z_y. Заметим, что в общем случае, оператор G¢ является случайным оператором. Это значит, что данным t,z(t),u ставится в соответствие не одно определенное значение выходного сигнала, а некоторое множество значений y с соответствующим распределением вероятностей, задаваемых оператором G¢.

В некоторых случаях в качестве одной составляющих z(t), например z₁(t), можно рассматривать время, оставшееся до выдачи выходного сигнала. Тогда оператор G¢¢ проверяет неравенство z₁(t)>0.

Билет №31

Билет №32

Билет №33

Билет №34

Современное содержание терминов «имитация», «имитационная модель», «имитационная система»

Итак, термины «имитация» и «имитационный эксперимент» появились сначала в теории вероятностей и математической статистике как способ вычисления статистических характеристик интересующих нас случайных величин посредством воспроизведения реализаций соответствующего случайного процесса с помощью его математической модели. Воспроизведение реализаций случайного процесса и есть то, что естественно называть имитационным экспериментом, поскольку реальные эксперименты с измерением интересующих нас случайных величин как бы заменяются их имитацией с помощью математической модели данного процесса.

Вскоре после начала использования методов прикладной математики в управлении экономикой, планировании, исследовании операций, проектировании термины «имитация», «имитационный эксперимент» приобрели в этих областях смысл, не совпадающий с их первоначальной трактовкой. Этими терминами стали обозначать способ выбора рационального управления сложным процессом (рационального плана, рациональной конструкции проектируемого изделия), состоящий в следующем. Некоторым образом разрабатываются варианты управлений (планов, конструкций). Затем эти варианты сравниваются. Для этого при каждом таком варианте процесс (функционирование проектируемого изделия) воспроизводится с помощью его математической модели. Сравнение может происходить по некоторым формальным критериям, а может носить неформальный характер, причем чем сложнее используемая модель, чем больше она содержит реальных факторов, влияющих на принятие решений, тем более естественна неформальная оценка сравниваемых результатов. Математические модели, ориентированные на такое их использование, получили название имитационных, процесс их составления стал называться имитационным моделированием, а каждая акция воспроизведения процесса (функционирования проектируемого изделия) - имитационным экспериментом.

Билет №35

Приемы построения и эксплуатации дискретных имитационных моделей.

При создании имитационных моделей в настоящее время используется два подхода: дискретный и непрерывный. Выбор подхода в значительной мере определяется свойствами объекта-оригинала и характером воздействия на него внешней среды. Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) – можно рассматривать как частный случай дискретных вероятностных имитационных моделей. При использовании дискретного подхода к созданию имитационных моделей обычно применяются абстрактные системы (математические схемы) трех основных типов: автоматные системы, системы массового обслуживания и агрегативные системы. В случае непрерывного подхода моделируемый объект независимо от его природы формализуется в виде непрерывной абстрактной системы, между элементами которой циркулируют потоки той или иной природы. Структура такой системы представляется графически в виде диаграммы (схемы) потоков. Основными элементами непрерывной системы рассматриваемого типа являются абстрактные «бункеры» (емкости, резервуары), а также элементы задержки.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами. Результаты исследования имитационной модели, как правило, представляют собой оценки функциональных характеристик той системы, поведение которой имитируется. Так, например, при имитационном моделировании любой СМО практический интерес могут представить такие показатели, как средняя продолжительность обслуживания заявки, средняя длина очереди, доля времени простоя и т.д.

Первый шаг к созданию имитационной модели состоит в описании реально существующей системы с использованием характеристик основных событий. Событие определяется как точка во времени, в которой происходят изменения характеристик системы. Обычно изменения имеют место в тех случаях, когда кончается один процесс (или несколько процессов) и начинаются другие. Для получения требуемых результатов моделирования достаточно наблюдать систему в те моменты, когда происходят события.

Для иллюстрации рассмотрим пример СМО с одним каналом (СМО с ожиданием). Оценка характера функционирования: среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы. Эти характеристики могут менять свои значения либо в момент поступления дополнительного требования на обслуживание, либо при завершении обслуживания (возможны различные ситуации). Можно получить необходимую информацию, наблюдая различные условия, которые возникают при наступлении того или иного события.

Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть минута, месяц и т.п. (для аэропорта крупного города – минута, небольшого города – час).

Допустим, что надо моделировать работу системы в течение Т единиц времени. Работа начинается с данными, относящимися к нулевому моменту времени и отмечаются соответствующие события на шкале времени в хронологическом порядке. Т.о., модель функционирует, перепрыгивая от одного события к другому, непосредственно за ним следующему. Каждое событие сопровождается корректировкой протокола, отражающей возможные изменения в показателях функционирования.

Резкие переходы (скачки), совершаемые моделью при переходе от одного события к другому, указывают на то, что процесс протекает в дискретном времени, откуда появилось название «дискретное моделирование».

В случае дискретного моделирования между реальным временем и временем работы модели нет ничего общего (время функционирования модели обычно значительно меньше реального).

Билет №39

Основные понятия теории нечетких множеств. Операции над нечеткими множествами.

Нечеткое (расплывчатое) множество состоит из неопределенного числа элементов x: признаки включения не позволяют однозначно отделить принадлежащие множеству элементы. Некоторые элементы можно считать как относящимися к множеству, так и не входящими в него.

Важным понятием – функция принадлежности . 0 £ £ 1 выражает степень принадлежности: =0; =1 – крайние градации (непринадлежность, полная принадлежность). Может быть частичная принадлежность.

Нечетким множеством называется совокупность упорядоченных пар A ={( x , } Функция задается как отображение универсального множества x на отрезок [0,1] Форма записи (+ - знак объединение) или , если непрерывная функция от x . Носитель нечеткого множества:

Небольшой запас деталей на складе:

Значение функции принадлежности для элемента xÎ X будем называть степенью принадлежности. Интерпретацией степени принадлежности является субъектная мера того, насколько элемент x Î X соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством А.

Высокая скорость автомобиля:

m_A₍_x₎ 1 0 x(км\час) 40 60 80 100

Нечеткое множество называется нормальным, если верхняя граница принадлежности равна 1

Если

, то множество называется субнормальным. Пустое множество:

Непустое субнормальное множество можно привести к нормальному виду:

Множеством уровня a нечеткого множества А называется четкое подмножество универсального множества Х:

aÎ[0,1]

m_А(х) 1 a

Операции над нечеткими множествами: Равенство множеств А и В:

. Включение нечеткого множества А в множество В:

(очень большие числа Í большие числа).

Дополнение: A ¢ называется дополнением к

Высокие люди – невысокие люди могут являться дополнением (при соответствующем определении) (соответствует логическому отрицанию).

Пересечение : (соответствует логической связке «и»).

Объединение: (соответствует логической связке «или»).

Удобно определить составные множества, которые соответствуют конкретным арифметическим операциям над . Алгебраическое произведение множеств АВ: .

Алгебраическая сумма : .

Билет №40

Нечеткие отношения

Отношения могут быть заданы перечислением всех пар ( u_i , u_j ) Î U ´ U, для которых выполняется отношение R : u ₁ R u ₂ (отношение R на множестве U).

Четкие отношения: