Назначение системы управления

Цель работы

Спроектировать цифровую систему управления с заданным быстродействием для объекта с известной передаточной функцией.

2 Техническое задание

Назначение системы управления

Система предназначена для отслеживания входного сигнала  и компенсации внешнего возмущения .

Структурная схема системы управления

Рисунок 2.1: Структурная схема системы управления.

Исходные данные

Передаточная функция объекта:

, где:

.

Передаточная функция фильтра:

.

2.4 Динамические требования к системе управления

Длительность переходного процесса:

Степень устойчивости системы:

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

, где:

 — уравнение главных корней,

 — уравнение дополнительных корней,

.

Метод перехода от аналогового фильтра к цифровому

Полуаналитический с вычислением производных по входу:

интерполяционным методом:

и

экстраполяционным методом:

              

Проектирование аналоговой системы управления

Теоретическая часть

Найдём параметры аналогового фильтра.

Передаточная функция фильтра, выраженная через физические параметры:

.                                                                                                                         (3.1)

Передаточная функция объекта, выраженная через физические параметры:

.                                                                                                                          (3.2)

Найдём передаточную функцию разомкнутой системы как произведение передаточных функций объекта и фильтра:

.                                                                                                       (3.3)

Подставляя (3.1) и (3.2) в (3.3), получаем передаточную функцию разомкнутой системы, выраженную через физические параметры:

.                                                                                           (3.4)

Передаточная функция замкнутой системы определяется из передаточной функции разомкнутой системы как:

.                                                                                                               (3.5)

Подставляя (3.4) в (3.5), получаем передаточную функцию замкнутой системы, выраженную через физические параметры:

, откуда после упрощения:

.                                                     (3.6)

Знаменатель полученного выражения является характеристическим уравнением замкнутой системы, выраженным через физические параметры:

.                                                     (3.7)

С другой стороны, характеристическое уравнение замкнутой системы можно выразить через желаемые корни:

.                                                                                                              (3.8)

Здесь уравнение главных корней имеет вид:

.                                                                                                    (3.9)

А уравнение дополнительных корней имеет вид:

.                                                                                        (3.10)

Подставляя (3.9) и (3.10) в (3.8), получаем:

, откуда после упрощения:

.               (3.11)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях правых частей уравнений (3.7) и (3.11), получаем систему:

                                                                                                (3.12)

В этой системе 3 известных нам величины (в техническом задании заданы: , , ) и 5 неизвестных (физические параметры фильтра: , , , , ). Т.к. в системе 4 уравнения, найти мы можем лишь 4 из 5^и неизвестных величин, а оставшуюся, — пусть это будет параметр , — мы будем варьировать.

Решая систему (3.12), находим:

                                                                                                         (3.13)

Подставляя (3.13) в (3.1) и (3.6), получаем передаточные функции фильтра и замкнутой системы зависящими от параметра :

,                                                                          (3.14)

.                                                 (3.15)

Исследовательская часть

Путём варьирования параметра , найдём его оптимальное значение , при котором перерегулирование  в переходном процессе замкнутой системы минимально.

Переходный процесс, — по определению, — реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействия. Для построения графика переходного процесса необходимо умножить передаточную функцию (3.15) замкнутой системы на величину  (подача единичного ступенчатого входного воздействия) и применить к полученному выражению обратное преобразование Лапласа. В результате мы получим значение выходного сигнала , — реакцию системы, — как функцию времени. Сделаем это:

, откуда после расчёта:

     (3.16)

Выражение (3.16) получено при условии отсутствия внешнего возмущения ( ).

Построим график переходного процесса замкнутой системы (график функции , описываемой выражением (3.16)) при 10 экспериментальных значениях : от 23 до 32 с шагом 1. В предположении, что к десятой секунде переходный процесс устоится, для каждого ( -того) полученного графика определим перерегулирование  как

, итак:

t

Рисунок 3.1: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

 

t

Рисунок 3.2: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

 

t

Рисунок 3.3: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

t

Рисунок 3.4: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

 

t

Рисунок 3.5: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

 

t

Рисунок 3.6: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

t

Рисунок 3.7: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

 

t

Рисунок 3.8: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

 

t

Рисунок 3.9: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

t

Рисунок 3.10: Переходный процесс замкнутой системы при .

, ,

При всех рассмотренных значениях  устоявшееся значение переходного процесса , т.к. входное воздействие является единичным ступенчатым, и, как видно из (3.16), .

Сведём полученные значения перерегулирования  в таблицу:

	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
	0.193	0.189	0.186	0.183	0.18176	0.18152	0.183	0.185	0.189	0.194

Таблица 3.1: Экспериментальная зависимость

Обозначив данные точки на плоскости , построим по ним аппроксимирующую функцию :

g2

Рисунок 3.11: Экспериментальная и аппроксимирующая её зависимости .

Минимизируя полученную функцию , находим оптимальное значение параметра  равным

                                                                                                                                                     (3.18)

Подставляя (3.18) в (3.14) и (3.15), получаем вид оптимальных передаточных функций фильтра и замкнутой системы:

;                                                                                               (3.19)

.                                                          (3.20)

Расчётно-графическая часть

Построим графики переходных процессов в замкнутой системе и фильтре при значениях варьируемого параметра , равных ,  и .

Общее

Структурная схема цифрового фильтра изображена на рисунке 4.1:

Рисунок 4.1: Структурная схема цифрового фильтра в составе системы управления.

Заданный в техническом задании метод цифровой реализации фильтра с общей передаточной функцией вида (3.1), где числовые коэффициенты определены (3.13) и (3.25), предполагает численное решение дифференциального уравнения

.                                                                                    (4.1)

Решение же дифференциального уравнения (4.1), по существу, сводится к решению вспомогательного дифференциального уравнения с промежуточной переменной :

,                                                                                                                  (4.2)

которому соответствует промежуточная передаточная функция

.                                                                                                         (4.3)

Имея решение по  и её производным, легко сформировать решение по , которое имеет вид:

.                                                                                                          (4.4)

Решение  уравнения (4.2) на шаге  с заданными начальными условиями  и  можно представить в виде:

, где:                                                                                       (4.5)

 — общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (4.2),

 — частное решение уравнения (4.2).

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (4.2):

, его корни:

,                                                                                                   (4.6)

Т.к. корни действительные, то общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (4.2), имеет вид:

, где                                                                                          (4.7)

,  — константы, определяемые начальными условиями.

Частное решение уравнения (4.2) зависит от вида внешнего возмущения , которое можно представить в виде ряда Тейлора:

.                                                                                (4.8)

При такой форме входного возмущения частное решение уравнения (4.2) можно искать в виде:

                                                                                      (4.9)

Подставляя (4.9) и (4.8) в (4.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  до второго порядка включительно, получаем систему:

                                                                                              (4.10)

Решая (4.10), находим:

                                  (4.11)

Подставляя (4.9) и (4.7) в (4.5), получаем:

                                                   (4.12)

Подставляя в первые два уравнения (4.12) начальные условия ( ), получаем систему:

                                                                                                 (4.13)

Решая (4.13), находим коэффициенты  и :

                                                                                   (4.14)

Полученные выше соотношения позволяют построить алгоритм вычисления выхода  фильтра на шаге :

1. Из предыдущих шагов известны , ,  а также измеренная величина .

2. По заданному в техническом задании алгоритму вычисляем приближённые значения производных по входу  и .

3. По (4.11) вычисляем ,  и .

4. По (4.14) вычисляем  и .

5. По (4.12) вычисляем ,  и .

6. По уравнению (4.4) вычисляем искомое значение  выхода фильтра.

 

Для проверки корректности полученного алгоритма, построим по нему график переходного процесса в цифровом фильтре при шаге  на количестве отсчётов  и сравним его с графиком переходного процесса в аналоговом фильтре.

Сплошной линией обозначим график переходного процесса в аналоговом фильтре, точками — график переходного процесса в цифровом фильтре.

Выбор шага дискретизации

С помощью модели, полученной в предыдущем пункте, построим график переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром в сравнении с графиком переходного процесса в замкнутой системе с аналоговым фильтром при отсутствии внешнего возмущения ( ) и запаздывания в цифровом фильтре ( ) при различных шагах дискретизации. На вход системы подадим единичное ступенчатое воздействие (  при ). Построение будем вести на интервале времени от 0 до 0.6 (которому соответствует интервал отсчётов от 0 до ), к концу которого переходный процесс гарантированно закончится. Для каждого построенного переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром определим:

· Среднеквадратичное отклонение  от переходного процесса в замкнутой системе с аналоговым фильтром по формуле:

, где:                                                              (4.19)

 — функция выхода замкнутой системы с аналоговым фильтром, определённая выражением (3.16),

 — её устоявшееся (достигнутое к десятой секунде) значение,

 — n-ый отсчёт функции выхода замкнутой системы с цифровым фильтром, определённой моделью, построенной в предыдущем пункте.

· Перерегулирование , как:

.                                                                                               (4.20)

· Время переходного процесса , как момент вхождения переходного процесса в пятипроцентный -коридор своего устоявшегося значения.

При построениях:

Сплошной линией будем обозначать график переходного процесса в замкнутой системе с аналоговым фильтром.

Жирными точками — график переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром, работающем по полуаналитическому интерполяционному методу

 Жирными треугольниками — график переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром, работающем по полуаналитическому экстраполяционному методу

 

 

Рисунок 4.5: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

 

Рисунок 4.6: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

Рисунок 4.7: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

Рисунок 4.8: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

Рисунок 4.9: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

 

Занесем результаты в таблицу:

Метод	▲ Интерполяционный					● Экстерполяционный
	0.0005	0.001	0.004	0.008	0.016	0.0005	0.001	0.004	0.008	0.016
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0.660	1.310	4.993	9.422	16.826	0.139	0.264	0.821	1.196	Неустойчива
	0.171	0.161	0.112	0.072	0.0344	0.180	0.178	0.166	0.148
	0.264	0.264	0.246	0.264	0.144	0.263	0.264	0.268	0.264

Таблица 4.1: Характеристики переходного процесса при различных значениях .

Выберем следующие значения  исходя из условия :

Интерполяционный метод: , при этом

Экстерполяционный метод: , при этом

Влияние запаздывания

Выясним, какое влияние на характер переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром оказывает величина запаздывания . Для этого построим график переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром в сравнении с графиком переходного процесса в замкнутой системе с аналоговым фильтром при отсутствии внешнего возмущения ( ), выделенных в предыдущем пункте значениях шага  и разных значениях запаздывания в цифровом фильтре. Как и прежде, на вход системы подадим единичное ступенчатое воздействие, а построение будем вести на интервале времени от 0 до 0.6. Для каждого построенного переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром определим характеристики , ,  методами, описанными в предыдущем пункте.

Обозначать графики так же будем в соответствии с ранее принятым правилом .

Рисунок 4.10: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.11: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.12: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.13: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.14: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

 

Рисунок 4.15: Переходный процесс в замкнутой системе для экстерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.16: Переходный процесс в замкнутой системе для экстерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.17: Переходный процесс в замкнутой системе для экстерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.18: Переходный процесс в замкнутой системе для экстерполяционного метода при при , .

 

Метод	▲ Интерполяционный					● Экстерполяционный
	0.0023	0.0023	0.0023	0.0023	0.0023	0.0097	0.0097	0.0097	0.0097
					0				0
	4.459	1.063	1.247	2.072	0.295	16.876	6.895	3.393	2.965
	0.289	0.204	0.168	0.152	0.137	0.489	0.319	0.227	0.140
	0.267	0.266	0.266	0.264	0.265	0.563	0.301	0.281	0.261

Таблица 4.2: Характеристики переходного процесса при различных значениях .

Для обоих методов увеличение запаздывания увеличивает среднеквадратичное отклонение и перерегулировние.

 

 

Выводы

· Для обеспечения степени устойчивости  и минимального перерегулирования в переходном процессе заданного объекта, передаточная функция аналогового фильтра должна иметь вид:

   

· Передаточная функция замкнутой системы :

   

· Параметр  можно было искать из разных соображений:

o  Пытаясь получить минимальную статическую ошибку. В этом случае , а статическая ошибка отсутствует.

o Пытаясь получить минимальное перерегулирование. В этом случае , и статическая ошибка равна -0.349. Это значение и было выбрано, в согласии с техническим заданием.

· Длительность переходного процесса составляет 0.263 с; это значение укладывется в 0.4 с, установленные в техническом задании.

· Система с цифровым фильтром была построена с использованием двух методов:

o интерполяционного полуаналитического метода с обрывом ряда Тейлора на второй производной

o экстраполяционного полуаналитического метода с обрывом ряда Тейлора на второй производной

· Исходя из условия 3% верхней границы среднеквадратичного коэффициента отклонения выбраны шаги:

o Для интерполяционного метода:

o Для экстраполяционного метода:

· Интерполяционный метод требует длинну шага меньше, чем экстраполяционный, для достижения одной и той же верхней границы среднеквадратичного коэффициента отклонения. Однако на всех рассмотренных шагах у интерполяционного метода лучше перерегулирование, и он более устойчив. На точность построенной системы с цифровым фильтром существенно влияет запаздывание. При его увеличении, увеличиваются среднеквадратичный коэффициент отклонения и перерегулирование.

 

Список использованной литературы

1. Боевкин В.И. Проектирование одноконтурных систем управления с цифровым фильтром: учебное пособие по курсу "Управление в технических системах". — М.: МГТУ, 1996.

2. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами. — М.: МГТУ, 1993.

3. Белодедов М.В. Методы проектирования цифровых фильтров: учебное пособие. — Волгоград: ВГУ, 2004.

Цель работы

Спроектировать цифровую систему управления с заданным быстродействием для объекта с известной передаточной функцией.

2 Техническое задание

Назначение системы управления

Система предназначена для отслеживания входного сигнала  и компенсации внешнего возмущения .

1234Следующая ⇒

Поделиться: