Для интерполяционного метода

Алгоритм:

 

Рисунок 4.2: Переходные процессы в аналоговом и цифровом ( ) фильтрах для интерполяционного метода.

Посчитаем среднеквадратичное отклонение  переходного процесса в цифровом фильтре от переходного процесса в аналоговом фильтре:

. Здесь:

 — функция выхода аналогового фильтра, определённая выражением (3.26),

 — её устоявшееся (достигнутое к десятой секунде) значение,

 — n-ый отсчёт функции выхода цифрового фильтра, определённой страницу назад сформированным алгоритмом.

Алгоритм оправдал наши ожидания: построенный по нему цифровой фильтр достаточно точно повторил свой аналоговый прототип.

Для экстраполяционного метода

Алгоритм:

Рисунок 4.3: Переходные процессы в аналоговом и цифровом ( ) фильтрах для экстраполяционного метода.

Посчитаем среднеквадратичное отклонение  переходного процесса в цифровом фильтре от переходного процесса в аналоговом фильтре:

Алгоритм оправдал наши ожидания: построенный по нему цифровой фильтр достаточно точно повторил свой аналоговый прототип.

 

Замкнутая система с цифровым фильтром

Для формирования алгоритма моделирования замкнутой системы с цифровым фильтром, рассмотрим временную диаграмму:

Рисунок 4.4: Временная диаграмма цифрового фильтра в составе замкнутой системы.

Рассмотрим момент времени . В этот момент АЦП измеряет входной сигнал . В памяти ЦВМ при этом хранятся значения  и , а так же вычисленные на прошлом шаге промежуточные величины  и . По этим параметрам (с учётом только что снятых с АЦП показаний) ЦВМ вычисляет значение  в соответствии с алгоритмом, описанном в предыдущем пункте. Но выставлено на ЦАП оно будет лишь в момент времени , где , — запаздывание, — складывается из чистого запаздывания (время срабатывания АЦП и ЦАП и время собственно вычисления) и введённого при необходимости искусственного запаздывания.

При отсутствии помех ( ), уравнение объекта в произвольный момент времени имеет вид:

.                                                                                                              (4.15)

На интервале времени от  до  величина  постоянна и равна , и с помощью формул Тейлора мы получаем:

                                   (4.16)

На интервале времени от  до  величина  так же постоянна, но равна уже , тогда с помощью (4.16) мы вычисляем значения следующего отсчёта:

                                                  (4.17)

Для завершения построения модели осталось добавить к полученным уравнениям ещё одно, уравнение обратной связи:

.                                                                                                                   (4.18)

Выбор шага дискретизации

С помощью модели, полученной в предыдущем пункте, построим график переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром в сравнении с графиком переходного процесса в замкнутой системе с аналоговым фильтром при отсутствии внешнего возмущения ( ) и запаздывания в цифровом фильтре ( ) при различных шагах дискретизации. На вход системы подадим единичное ступенчатое воздействие (  при ). Построение будем вести на интервале времени от 0 до 0.6 (которому соответствует интервал отсчётов от 0 до ), к концу которого переходный процесс гарантированно закончится. Для каждого построенного переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром определим:

· Среднеквадратичное отклонение  от переходного процесса в замкнутой системе с аналоговым фильтром по формуле:

, где:                                                              (4.19)

 — функция выхода замкнутой системы с аналоговым фильтром, определённая выражением (3.16),

 — её устоявшееся (достигнутое к десятой секунде) значение,

 — n-ый отсчёт функции выхода замкнутой системы с цифровым фильтром, определённой моделью, построенной в предыдущем пункте.

· Перерегулирование , как:

.                                                                                               (4.20)

· Время переходного процесса , как момент вхождения переходного процесса в пятипроцентный -коридор своего устоявшегося значения.

При построениях:

Сплошной линией будем обозначать график переходного процесса в замкнутой системе с аналоговым фильтром.

Жирными точками — график переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром, работающем по полуаналитическому интерполяционному методу

 Жирными треугольниками — график переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром, работающем по полуаналитическому экстраполяционному методу

 

 

Рисунок 4.5: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

 

Рисунок 4.6: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

Рисунок 4.7: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

Рисунок 4.8: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

Рисунок 4.9: Переходный процесс в замкнутой системе при , .

 

Занесем результаты в таблицу:

Метод	▲ Интерполяционный					● Экстерполяционный
	0.0005	0.001	0.004	0.008	0.016	0.0005	0.001	0.004	0.008	0.016
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0.660	1.310	4.993	9.422	16.826	0.139	0.264	0.821	1.196	Неустойчива
	0.171	0.161	0.112	0.072	0.0344	0.180	0.178	0.166	0.148
	0.264	0.264	0.246	0.264	0.144	0.263	0.264	0.268	0.264

Таблица 4.1: Характеристики переходного процесса при различных значениях .

Выберем следующие значения  исходя из условия :

Интерполяционный метод: , при этом

Экстерполяционный метод: , при этом

Влияние запаздывания

Выясним, какое влияние на характер переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром оказывает величина запаздывания . Для этого построим график переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром в сравнении с графиком переходного процесса в замкнутой системе с аналоговым фильтром при отсутствии внешнего возмущения ( ), выделенных в предыдущем пункте значениях шага  и разных значениях запаздывания в цифровом фильтре. Как и прежде, на вход системы подадим единичное ступенчатое воздействие, а построение будем вести на интервале времени от 0 до 0.6. Для каждого построенного переходного процесса в замкнутой системе с цифровым фильтром определим характеристики , ,  методами, описанными в предыдущем пункте.

Обозначать графики так же будем в соответствии с ранее принятым правилом .

Рисунок 4.10: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.11: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.12: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.13: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.14: Переходный процесс в замкнутой системе для интерполяционного метода при при , .

 

Рисунок 4.15: Переходный процесс в замкнутой системе для экстерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.16: Переходный процесс в замкнутой системе для экстерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.17: Переходный процесс в замкнутой системе для экстерполяционного метода при при , .

Рисунок 4.18: Переходный процесс в замкнутой системе для экстерполяционного метода при при , .

 

Метод	▲ Интерполяционный					● Экстерполяционный
	0.0023	0.0023	0.0023	0.0023	0.0023	0.0097	0.0097	0.0097	0.0097
					0				0
	4.459	1.063	1.247	2.072	0.295	16.876	6.895	3.393	2.965
	0.289	0.204	0.168	0.152	0.137	0.489	0.319	0.227	0.140
	0.267	0.266	0.266	0.264	0.265	0.563	0.301	0.281	0.261

Таблица 4.2: Характеристики переходного процесса при различных значениях .

Для обоих методов увеличение запаздывания увеличивает среднеквадратичное отклонение и перерегулировние.

 

 

Выводы

· Для обеспечения степени устойчивости  и минимального перерегулирования в переходном процессе заданного объекта, передаточная функция аналогового фильтра должна иметь вид:

   

· Передаточная функция замкнутой системы :

   

· Параметр  можно было искать из разных соображений:

o  Пытаясь получить минимальную статическую ошибку. В этом случае , а статическая ошибка отсутствует.

o Пытаясь получить минимальное перерегулирование. В этом случае , и статическая ошибка равна -0.349. Это значение и было выбрано, в согласии с техническим заданием.

· Длительность переходного процесса составляет 0.263 с; это значение укладывется в 0.4 с, установленные в техническом задании.

· Система с цифровым фильтром была построена с использованием двух методов:

o интерполяционного полуаналитического метода с обрывом ряда Тейлора на второй производной

o экстраполяционного полуаналитического метода с обрывом ряда Тейлора на второй производной

· Исходя из условия 3% верхней границы среднеквадратичного коэффициента отклонения выбраны шаги:

o Для интерполяционного метода:

o Для экстраполяционного метода:

· Интерполяционный метод требует длинну шага меньше, чем экстраполяционный, для достижения одной и той же верхней границы среднеквадратичного коэффициента отклонения. Однако на всех рассмотренных шагах у интерполяционного метода лучше перерегулирование, и он более устойчив. На точность построенной системы с цифровым фильтром существенно влияет запаздывание. При его увеличении, увеличиваются среднеквадратичный коэффициент отклонения и перерегулирование.

 

Список использованной литературы

1. Боевкин В.И. Проектирование одноконтурных систем управления с цифровым фильтром: учебное пособие по курсу "Управление в технических системах". — М.: МГТУ, 1996.

2. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами. — М.: МГТУ, 1993.

3. Белодедов М.В. Методы проектирования цифровых фильтров: учебное пособие. — Волгоград: ВГУ, 2004.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: