Задача 3. Довести співвідношення

                                          

Розв ’ язання. Нехай незалежними змінними будуть параметри  і . Тоді  та

                                  (1)

З іншого боку, основне рівняння термодинаміки (3.13) можна записати у вигляді

.                                       (2)

Оскільки ми вважаємо:  розписуючи повні диференціали  і підставляючи їх в (2), знайдемо:

                (3)

Порівнюючи коефіцієнти в рівностях (1) і (3) при , отримуємо потрібний результат.

 

Задача 4. Показати, що теплоємність  газу Ван-дер-Ваальса не залежить від об’єму.

Розв ’ язання. За визначенням маємо

                                            (1)

Треба довести

                                                 

Розглянемо співвідношення (3.19):

                                            

Диференціюючи його за  при V = const, отримаємо

                     (2)

Оскільки для 1 моля газу Ван-дер-Ваальса  то для нього

.                                                

Підставляючи цей результат в (2), знаходимо

,                                                  

тому й , що й потрібно було довести.

 

Задача 5. Визначити рівняння адіабати газу Ван-дер-Ваальса в змінних .

Розв ’ язання. Диференціальне рівняння адіабати (2.13) можна записати як

                                  (1)

Використовуючи формулу (3.21) для , перепишемо (1) у вигляді

                                    

або (після очевидних скорочень)

                                      (2)

З рівняння Ван-дер-Ваальса для 1 моля маємо

                                       (3)

Тоді з урахуванням (3) і після розділення змінних рівняння (2) набере вигляду

                                    (4)

Інтегруючи (4), після алгебраїчних перетворень знаходимо

                                         

Якщо вважати , результат спрощується і рівняння адіабати набирає вигляду

                                             

Відзначимо, що в наближенні, коли  це рівняння перетворюється на рівняння адіабати ідеального газу.

 

Задача 6. Яку роботу  здійснює один моль газу Ван-дер-Ваальса при адіабатному процесі, коли його об’єм міняється від  до ? Початкова температура дорівнює . Вважати

Розв ’ язання. З першого начала термодинаміки для адіабатного процесу  маємо  або в розгорненому вигляді:

                            (1)

Беручи до уваги результати задачі 2 цього розділу, елементарну роботу , що здійснюється одним молем газу Ван-дер-Ваальса, можна записати як

                                     (2)

Інтегруючи (2), знаходимо шукану роботу

                        

де кінцева температура. Значення  знайдемо з рівняння адіабати газу Ван-дер-Ваальса (див. попередню задачу), згідно з яким

 ,                                           

звідки

                                               

 

Задача 7. Два ідеальних гази з фіксованими об’ємами і постійними теплоємностями  і  знаходяться в початкових станах з температурами  і  відповідно. Вони адіабатно ізольовані один від одного. Яку роботу  можна утворити, використовуючи перший газ у ролі джерела тепла, а другий у ролі поглинача до тих пір, доки не встановиться їх однакова температура ? Знайти вираз для .

Розв’язання. Спочатку визначимо вираз для . Через адіабатну ізольованість газів зміна їх ентропії  в цілому (при рівноважних процесах утворення шуканої роботи) дорівнюватиме нулю:

                                     (1)

де  і  – зміна ентропій першого і другого газів відповідно від свого початкового стану до стану з температурою . З формули (3.4) і з урахуванням  знаходимо

                                 (2)

Підставляючи (2) в (1) і інтегруючи, отримаємо

                                           

звідки

                                                 

Потрібну роботу  можна отримати з закону збереження енергії як повне зменшення внутрішньої енергії газів. Дійсно, оскільки , внутрішня енергія , віддана першим газом у вигляді теплоти, дорівнюватиме

,                                           

а внутрішня енергія , отримана другим газом у вигляді теплоти, дорівнюватиме

                                          

Отже,

                           

 

Задача 8. Використовуючи властивості якобіанів (1.4), (1.6), довести співвідношення

                                  

Розв’язання. Ліву частину цієї рівності можна зобразити у вигляді  Розглядаючи внутрішню енергію  як функцію  і , запишемо

                                      

Порівнюючи з формулою (3.13) знаходимо, що    і

Отже, маємо

            

Використовуючи результат задачі 1 цього розділу, остаточно отримуємо

                                        

що й потрібно було довести.

 

Задача 9. Довести, що для системи, внутрішня енергія якої не залежить від об’єму , сам об’єм залежить лише від відношення .

Розв ’ язання. Згідно з (3.19), враховуючи умову  маємо

                                             (1)

Вважатимемо об’єм  функцією   і . Тоді

                                     

Підставляючи цю похідну в (1), знаходимо:  Використовуючи результати задачі 2 з розділу 1, для трійки змінних  можна записати

                                        

звідки одразу отримуємо (через те, що )

                                                  

Аналогічно, розглядаючи  як функцію   і , переконуємося, що

                                                  

З двох останніх рівностей випливає, що в умовах задачі об’єм  є строго функцією .

 

Задача 10. Для ізотермічного  і адіабатного  модулів пружності довести співвідношення

                                                    

Розв ’ язання. За визначенням (0.27) і (0.28) маємо  і  Отже,

                                                     

Мовою якобіанів цю рівність можна представити у вигляді

                                         (1)

З іншого боку, відношення  на підставі результатів задачі 1 цього розділу дорівнює

                                                 

або, використовуючи якобіани,

                                         (2)

Порівнюючи праві частини в (1) і (2), переконуємося в шуканій рівності

                                                          

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: