Краткая теория решения банковских задач

Краткая теория решения банковских задач

(математика профильного уровня, ЕГЭ №17)

I. Задачи на дифференцированные платежи

Одной из основных целей при решении «банковских» задач является то, что нужно выбрать к какому виду относится данная задача. Для этого нужно выделить «ключевую» фразу: долг уменьшается на одну и ту же величину, каждый раз клиент выплачивает набежавшие проценты за период и 1/n часть основного долга(n- срок, на который берется кредит).

Чаще всего периодом является месяц, причем

-если кредит взят на 1 год, то выплачиваются проценты за период и 1/12 часть основного долга;

- если кредит взят на 2 года, то выплачивается 1/24 часть основного долга.

Получается, что наибольший платеж приходится на первый месяц и разумеется, наименьший платеж – на последний месяц. Можно легко вычислить, как будет погашаться основной долг. Надо сумму кредита разделить на число месяцев. Например, если кредит составляет 1200000 рублей на два года, то получим 1200000:24 = 50000 руб. ежемесячное погашение основного долга. Но к этой сумме нужно еще прибавить набежавшие проценты. Если кредит взят под 10% годовых, то проценты будут 1200000 · 0,1 = 120000 рублей. Отсюда получим сумму наибольшего платежа 50000 + 120000 = 170000 рублей.

Схема решения

А- первоначальная сумма кредита (основной долг)

n-период (количество месяцев , лет)

р- проценты (годовая ставка)

S- сумма платежей за определенный период

Таблица

Период	Основной долг, А	Набежавший %         S%	Платежи	Остаток
1	А	Ар
2
3
-----------	------------	----------------	-----------------	----------------
n				0
Формула		S%=	S=

Запомнить следующие формулы

Формула 1 Нахождение суммы , выплаченных процентов	S%=
Формула 2 Нахождение количества месяцев кредита	n=
Формула 3 Нахождение процентной ставки	P=
Формула 4 Нахождение первоначальной суммы кредита	A=

 

1.Для того, чтобы найти сумму всех процентов выплаченных по кредиту, нужно найти сумму в столбике «Набежавшие %».

2.Прибыль банка будет равна сумме выплаченных процентов.

3.Для того , чтобы найти сумму всех выплат по кредиту, нужно найти сумму в столбике «Платежи» (Можно сделать проще: к«Набежавшим %» прибавить основной долг.

4. Для того, чтобы найти наибольший или наименьший платеж, нужно знать, что максимальный платеж это первый платеж, а минимальный платеж это последний платеж.

Задача 1.

Анна взяла в кредит 12 млн. руб. на 24 месяца. По договору она должна возвращать часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга должна возрастать на 3%, а затем уменьшаться на сумму, оплаченной Анной банку в конце месяца. Суммы,  выплачиваемые Анной, подбираются так, что сумма долга уменьшалась равномерно, т.е. на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Анна вернет банку в течение первого года кредитования по сравнению со вторым годом?

Дано:

А=12

P=3%

n=24

Решение:

Период	Основной долг А	Набежавший %         S%	Платежи	Остаток
1	А	Ар
2
3
-----------	------------------	-----------------------	-----------------	----------------
12
------------	----------------	-----------------------	---------------	---------
24				0

 

1.Найдем сумму процентов за первый год по сумме третьего столбца «Набежавший %»

Ар +  +  + -----+  =A р (1+ + +-------+ )=    =  = A p∙ = = =3,33  за первый год.

24+23+22+------+13 сумма арифметической прогрессии ( = )

2  найдем, используя формулу S%= =  (за 24 месяца)

=4,5-3,33=1,17 за второй год.

Разница 3,33-1,17=2,16

Ответ:2,16

Схема решения

		Долг	Остаток
Кредит	А	A
Платеж ежегодный (ежемесячный)	S	S
Процент	Р
1год		А(1+р)	А(1+р)- S
2год		А -S(1+ р)	А - S(1+p)-S
згод		-(1+p+	-(1+p+
-------	-------		----------------------
n год		-(1+p+	0

Используем формулу из таблицы «столбик» - долг:

-(1+p+ и

обозначим (1+р)=g ,то получим формулу:

Это формула для нахождения:

 n – срок кредита, S – ежегодная сумма выплаты кредита, А-сумма взятого кредита.

Некоторые

 Задачи на дифференцированные платежи.

Вариант 2.

15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

-со 2-го по14 –е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 –е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Дано:

Р =1%

n=15

Найти: S.

 Решение

 1 способ

Пользуясь таблицей - столбик «платежи» восьмой выплаты имеем:

 тыс.

А(8р+1)=1620тыс.

А= =1500тыс=1500000 руб. взят кредит 1,5 млн. руб.

Пользуясь таблицей - столбик «платежи» суммой всех выплат имеем:

S=A

S=1,5+  = 1,5+0,12=1,62млн. руб. выплата банку в течении всего срока кредитования.

Ответ: 1620000 руб.

 2-й способ

Пусть ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Тогда сумма кредита составляет 15Х рублей (без процентов). Процентная ставка p % составляет 1% или 0,01.

 S-сумма выплаты кредита в течение всего срока

S=15Х+(15Х+14Х+13Х+….+Х)·0,01=15Х+ +15·0,01·(15Х+Х)/2)=15Х+1,2Х=16,2Х, где

15Х+14Х+13Х+….+Х – сумма арифметической прогрессии ( = )

Пусть S ₈– сумма, которую составляют проценты на восьмой месяц кредитования.

Тогда по условию задачи восьмая выплата будет равна: 108 000 = Х + S ₈ ,

За восемь месяцев сумма кредита составит 8Х руб.

На восьмой месяц проценты составят S ₈ = 8Х·0,01 = 0,08Х (руб.).

Тогда 108 000 = Х + 0,08Х;

 108 000 = 1,08Х;

Х = 100 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).

Сумма кредита составляет 100 000·15 = 1 500 000(руб.)

3) Следовательно, S=16,2·X=16,2·1000000=1620000 руб.

Ответ: 1620 000

Вариант 3

31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1млн. в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540 тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите a.

Дано:

А=1 млн. рублей

1 выплата =540 тыс. рублей

2 выплата=649,6 тыс. рублей

n=2

Найти: a

Решение:

1. К концу первого года долг становится: 1000000+1000000·0,01a – 540000= 1000000+10000a- 540000=460000 + 10000a.

2. Через год остаток после выплаты будет: (460000 + 10000a) + ( 460000 + 10000a)·0,01a – 649600=0

460000+10000 a+4600a+100 - 649600 =0

100 +14600a-189600 =0

+146a -1896=0

-73 ±  = -73± = -73 ±85

=12

Вариант 11.

31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587250 рублей, то за 2 года. Найдите a.

Дано:

1) Платеж- 328050 рублей

n=4

Найти:a

2) Платеж- 587250 рублей

n=2

Найти:a

Решение:

 

- формула из таблицы,

Применим эту формулу для нахождения a при n=4 и при n=2

,где A-основной долг ( то есть кредит) и g=1+a ,то есть a=g-1.

 

1) n=4, то

  

  

  

2) n=2, то

 . Получим систему:

Умножим обе части первого уравнения на . Получим систему:

Получили уравнение:

259200

g=1,125

a=g-1

a=1,125-1

a=0,125

Ответ: 12,5%     

Задача2.  Определение срока кредитования

Источник: ЕГЭ 2017. Математика. 50 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под ред. Ященко И.В./ М.: Издательство «Экзамен», 2017.- 247.

   Вариант 36                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

Дано:

А=1,1 млн. рублей

Р=1%

S 275000 рублей

Найти: n

Решение:

100%+1%=1 0 1%=1, 0 1

	Долг	Остаток
Кредит	1100000
1месяц	1100000·1,01=1111000	1111000-275000=836000
2 месяц	836000·1,01=844360	844360-275000=569360
3 месяц	569360·1,01=575053,6	575053,6-275000=300053,6
4 месяц	300053,6·1,01=303054,136	303054,136-275000=28054,136
5 месяц	28054,136·1,01=28334,67736	0

Ответ: 5 месяцев

 

 

Краткая теория решения банковских задач

(математика профильного уровня, ЕГЭ №17)

1234Следующая ⇒

Поделиться: