Распределение суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин

1. Пусть имеем две случайные величины X и Y; известна совместная плотность распределения их . Требуется найти плотность распределения суммы .

Рассмотрим преобразование , откуда , .

Тогда по формуле (4.1.3) совместная плотность вероятности имеет вид

.

Найдем теперь одномерную (маргинальную) плотность случайной величины :

 

или

                                                                              (4.2.1)

Если X и Y – независимые случайные величины, то формулу (4.2.1) можно переписать в следующем виде:

                            (4.2.2)

Распределение суммы независимых величин X и Y называют композицией распределений этих величин.

2. Пусть Z = X - Y, требуется найти . Рассмотрим преобразование

, откуда ,  

Тогда ; , или, обозначая , имеем

.                               (4.2.3)

Для независимых X и Y получаем

                     (4.2.4)

3. Пусть , найдем .

Рассмотрим преобразование: откуда

Тогда . Имеем далее .

Обозначая , получим .                        (4.2.5)

Для независимых случайных величин X и Y последняя формула переписывается в виде

.                         (4.2.6)

4. Наконец, пусть . Найдем .

Рассмотрим преобразование: , откуда , .

Тогда . Имеем далее .

Обозначая , имеем

.                      (4.2.7)

В случае независимых случайных величин X и Y, формулу (4.2.7) можно переписать в виде

.                             (4.2.8)

Задача 4.2.1. Найти закон распределения суммы  независимых нормально распределенных случайных величин X и Y с параметрами .

Решение. Плотности вероятностей случайных величин X и Y имеют вид

, .

Используя формулу (4.2.2) для композиции этих случайных величин, имеем

Последняя функция является плотностью нормального распределения с параметрами .

Можно показать, что имеет место более общий результат относительно суммы (композиции) любого конечного числа независимых случайных величин с нормальным распределением.

Теорема 4.2.1. Пусть   - независимые случайные величины, каждая из которых имеет нормальное распределение с параметрами  соответственно. Тогда композиция этих случайных величин является также нормальным распределением с параметрами:

;                              (4.2.9)

Приведем также без доказательства обратную теорему.

Теорема 4.2.2 (Крамер). Если сумма n независимых случайных величин  имеет нормальное распределение, то каждая из величин  распределена по нормальному закону.

Таким образом, верно не только то, что нормальное распределение воспроизводит само себя, но, кроме того, то, что нормальное распределение не может быть представлено как композиция не нормально распределенных компонент.

Кроме того, так как случайная величина X, являющаяся линейной комбинацией независимых нормально распределенных случайных величин , является нормально распределенной с параметрами , , то отсюда вытекает важная для дальнейшего теорема.

Теорема 4.2.3. Если случайные величины  независимы и имеют нормальное распределение , то среднее арифметическое  имеет нормальное распределение с параметрами .

4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной)

Пусть X – случайная величина с плотностью распределения  и пусть . Требуется найти плотность распределения  случайной величины Y.

С одной стороны, Dy или

с другой стороны, D . ( Здесь - ветви обратной к y =j (x) функции ).

Отсюда .

Разделив обе части приближенного равенства на  и перейдя к пределу, получим равенство  или

.                              (4.3.1)

Задача 4.3.1. Пусть Х – случайная величина с нормальным распределением с параметрами (0, 1). Найти распределение случайной величины .

Решение. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид

, -¥ < x < ¥.

Функция преобразования имеет вид ; обратная функция имеет две ветви:  Используя формулу (4.3.1), имеем

, y > 0.      (4.3.2)

4.4. c²-распределение

Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами (0,1). Плотность распределения ее квадрата Х², согласно выражения (4.3.2), равна  при y > 0; а при y £ 0 функция плотности равна 0.

Пусть теперь каждая из n независимых случайных величин имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1). Введем случайную величину

.                  (4.4.1)

Случайная величина (4.4.1) называется c²- распределением (хи- квадрат распределением) с n степенями свободы.

Если использовать формулы (4.2.2) и (4.3.2) (n-1) раз для построения композиции распределений независимых случайных величин ,  получим формулу

                                               (4.4.2)

Здесь  – гамма-функция, значения которой определяются по таблицам для р > 0.

c²- распределение содержит параметр n, который часто называют числом степеней свободы этого распределения . При функция плотности  убывает для х > 0, а при n > 2 имеет единственный максимум в точке х = n -2 . Графики функций  для некоторых n изображены на рис. 4.4.1.

Вычисляя, как обычно, числовые характеристики этой случайной величины, можно получить формулы для математического ожидания и дисперсии этой случайной величины :

.

Во многих приложениях бывает важно найти вероятность Р того, что величина c² принимает значение, превышающее данную величину . Эта вероятность равна площади, ограниченной ветвью кривой плотности, расположенной справа от  (рис. 4.4.2).

Таким образом,

, где  – функция распределения этой случайной величины.

Обычно более удобно табулировать  как функцию вероятности P. Если p выражается в процентах , скажем , то  называют р-процентным значением, иначе р-процентным квантилем этого распределения.

Замечание. В задачах математической статистики используется случайная величина  – c-распределение с n степенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины имеет вид

                                                                   (4.4.3)

На рис. 4.4.3 представлен график плотности распределения этой случайной величины при некоторых n.

Распределение Стьюдента

Пусть Z – случайная величина, имеющая нормальное распределение N(0,1), а V – независимая от Z случайная величина, распределенная по закону c² с n степенями свободы. Введем случайную величину

.                                               (4.5.1)

Тогда соответствующая этой случайной величине плотность распределения имеет вид

, где 33.              (4.5.2)

Распределение, определяемое функцией плотности s_n(x), известно под названием распределения Стьюдента или t-распределения. Оно было впервые использовано в одной важной статистической проблеме В.Госсетом, писавшим под псевдонимом “Стьюдент” (Student). Как и в случае c²-распределения, параметр n часто называют числом степеней свободы t-распределения.

Нетрудно убедиться, что это распределение унимодально и симметрично относительно x = 0.

При n < n моменты n-го порядка конечны. В частности, математическое ожидание конечно при n > 1, а стандартное (среднеквадратическое) отклонение – при n > 2. Вследствие симметричности распределения все существующие моменты нечетного порядка равны нулю. Нетрудно показать, что ,  (n > 2).

Для больших значений n величина T асимптотически нормальна с параметрами (0, 1) в соответствии с соотношением

.

Для небольших значений n t-распределение заметно отличается от предельного нормального распределения. График распределения Стьюдента для n = 3 вместе с приведенной для сравнения нормальной кривой дан на рис. 4.5.1.

Вероятность того, что величина T отличается по модулю более чем на заданную величину  от своего математического ожидания (равного нулю), равна площади заштрихованной области на рис. 4.5.2.

В силу симметрии t-распределения она равна

,

где  – функция распределения этой случайной величины.

Исходя из этого, можно табулировать t₀ как функцию вероятности P. Если , то соответствующее t₀ = t_p называется р-процентным значением или р-процентным квантилем распределения. Численные значения этой функции даны в табл. 7 приложения.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: