![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Распределение суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин
1. Пусть имеем две случайные величины X и Y; известна совместная плотность распределения их Рассмотрим преобразование Тогда по формуле (4.1.3) совместная плотность вероятности имеет вид
Найдем теперь одномерную (маргинальную) плотность случайной величины
или Если X и Y – независимые случайные величины, то формулу (4.2.1) можно переписать в следующем виде:
Распределение суммы независимых величин X и Y называют композицией распределений этих величин. 2. Пусть Z = X - Y, требуется найти
Тогда
Для независимых X и Y получаем
3. Пусть Рассмотрим преобразование: Тогда Обозначая Для независимых случайных величин X и Y последняя формула переписывается в виде 4. Наконец, пусть Рассмотрим преобразование: Тогда Обозначая
В случае независимых случайных величин X и Y, формулу (4.2.7) можно переписать в виде
Задача 4.2.1. Найти закон распределения суммы Решение. Плотности вероятностей случайных величин X и Y имеют вид
Используя формулу (4.2.2) для композиции этих случайных величин, имеем Последняя функция является плотностью нормального распределения с параметрами Можно показать, что имеет место более общий результат относительно суммы (композиции) любого конечного числа независимых случайных величин с нормальным распределением. Теорема 4.2.1. Пусть
Приведем также без доказательства обратную теорему. Теорема 4.2.2 (Крамер). Если сумма n независимых случайных величин Таким образом, верно не только то, что нормальное распределение воспроизводит само себя, но, кроме того, то, что нормальное распределение не может быть представлено как композиция не нормально распределенных компонент. Кроме того, так как случайная величина X, являющаяся линейной комбинацией независимых нормально распределенных случайных величин Теорема 4.2.3. Если случайные величины 4.3. Преобразование случайных величин (случай одной переменной) Пусть X – случайная величина с плотностью распределения С одной стороны, с другой стороны, Отсюда Разделив обе части приближенного равенства на
Задача 4.3.1. Пусть Х – случайная величина с нормальным распределением с параметрами (0, 1). Найти распределение случайной величины Решение. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид
Функция преобразования имеет вид
4.4. c2-распределение Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами (0,1). Плотность распределения ее квадрата Х2, согласно выражения (4.3.2), равна Пусть теперь каждая из n независимых случайных величин
Случайная величина (4.4.1) называется c2- распределением (хи- квадрат распределением) с n степенями свободы. Если использовать формулы (4.2.2) и (4.3.2) (n-1) раз для построения композиции распределений независимых случайных величин
c2- распределение содержит параметр n, который часто называют числом степеней свободы этого распределения . При
Во многих приложениях бывает важно найти вероятность Р того, что величина c2 принимает значение, превышающее данную величину Таким образом,
Замечание. В задачах математической статистики используется случайная величина На рис. 4.4.3 представлен график плотности распределения этой случайной величины при некоторых n. Распределение Стьюдента Пусть Z – случайная величина, имеющая нормальное распределение N(0,1), а V – независимая от Z случайная величина, распределенная по закону c2 с n степенями свободы. Введем случайную величину
Тогда соответствующая этой случайной величине плотность распределения имеет вид
Распределение, определяемое функцией плотности sn(x), известно под названием распределения Стьюдента или t-распределения. Оно было впервые использовано в одной важной статистической проблеме В.Госсетом, писавшим под псевдонимом “Стьюдент” (Student). Как и в случае c2-распределения, параметр n часто называют числом степеней свободы t-распределения. Нетрудно убедиться, что это распределение унимодально и симметрично относительно x = 0. При n < n моменты n-го порядка конечны. В частности, математическое ожидание конечно при n > 1, а стандартное (среднеквадратическое) отклонение – при n > 2. Вследствие симметричности распределения все существующие моменты нечетного порядка равны нулю. Нетрудно показать, что
Для небольших значений n t-распределение заметно отличается от предельного нормального распределения. График распределения Стьюдента для n = 3 вместе с приведенной для сравнения нормальной кривой дан на рис. 4.5.1.
В силу симметрии t-распределения она равна
где Исходя из этого, можно табулировать t0 как функцию вероятности P. Если |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 4381; Нарушение авторского права страницы