F-распределения Фишера-Снедекора

Пусть X и Y являются случайными величинами, распределенными по закону c² со степенями свободы m и n соответственно. Тогда случайная величина

                          (4.6.1)

называется F-распределением Фишера-Снедекора со степенями свободы m и n.

 

Плотность вероятности F-распределения имеет вид

 (4.6.2)

Математическое ожидание и дисперсия этой величины могут быть вычислены как обычно и имеют вид ( n > 2) ,

(n > 4).

При m > 2 распределение этой случайной величины имеет единственную моду в точке . График плотности F-распределения (4.6.2) представлен на рис. 4.6.1

 

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется закон распределения функции двух случайных аргументов?

2. Написать формулу закона распределения суммы двух случайных величин.     

3. Написать формулу закона распределения разности двух случайных величин.

4. Построить закон распределения произведения двух случайных величин.

5. Построить закон распределения частного двух случайных величин.

6. Как находится закон распределения функции одного случайного аргумента?

7. Что значит построить композицию двух законов распределения?

8. Какой закон распределения получается при композиции нормальных законов распределения?

9. Определите и запишите закон распределения случайной величины c².

10. Определите и запишите закон для распределения Стьюдента.

11. Определите и запишите закон распределения Фишера-Снедекора (F‑распределения).

 

Задачи

1. Доказать, что сумма  независимых нормально распределенных случайных величин X и Y с параметрами соответственно  и  распределена также по нормальному закону с параметрами .

2. Случайные величины X и Y независимы и имеют одно и то же независимое распределение с плотностью , . Найти композицию этих законов.

Ответ: .

 

3. Случайные величины X и Y независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0,1]:  при  и  при . Найти композицию этих распределений.

Ответ:

 

4. Доказать, что сумма  независимых случайных величин X и Y, распределенных по закону Пуассона с параметрами  и  соответственно, распределена также по закону Пуассона с параметрами .

5. Доказать, что сумма  независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальному закону с параметрами  соответственно, также распределена по биномиальному закону с параметрами .

Закон больших чисел

Практически достоверными  будем называть случайные события, вероятность которых близка к 1; практически невозможными – события, вероятность которых близка к 0. Ряд результатов (теорем) в теории вероятностей о практически достоверных, практически невозможных событиях называют законом больших чисел.

Эта группа теорем устанавливает связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний, а также устанавливает результаты, относящиеся к предельным законам распределения.

Неравенства Чебышева

Лемма Чебышева 1. Пусть имеем случайную величину X с математическим ожиданием MX. Тогда для любого имеет место неравенство

.                                  (5.1.1)

Доказательство. Введем случайную величину Y:

.

Отсюда, очевидно, .

Тогда законы распределения для Y и Y² имеют вид

Y	0	e		Y2	0	e2
P	P(|X| < e)	P(|X| ³ e)		P	P(|X| < e)	P(|X| ³ e)

 

Далее имеем: M(Y²) £ M(|X|²), M(Y²) = e² × P(|X| ³ e), и, наконец, P(|X| ³ e) £ M(|X|²)/ e², что и требовалось доказать.

Неравенства Чебышева.

Пусть в неравенстве (5.1.1) вместо случайной величины X взято . Тогда по лемме Чебышева имеем , т.е.

.                                    (5.1.2)

Неравенство (5.1.2) называется 1-м неравенством Чебышева, оно дает оценку сверху вероятности того, что случайное событие  отличается от  по модулю не меньше чем на . Так как события  и  взаимно противоположны, то

, тогда

.                                  (5.1.3)

Неравенство (5.1.3) называется 2-м неравенством Чебышева. Оно дает оценку снизу вероятности того, что случайная величина  отличается от своего математического ожидания по модулю меньше чем на любое положительное число .

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева является одной из важнейших форм закона больших чисел.

Определение 5.2.1 . Пусть имеем последовательность случайных величин:

                                                    (5.2.1)

Последовательность (5.2.1), т.е. , называется сходящейся по вероятности к случайной величине , если для любого  при . Записывается:

 при .                                 (5.2.2)

Лемма Чебышева 2 . Пусть имеем последовательность  случайных величин, причем ,  при . Тогда  при .

Доказательство. Применим 2-е неравенство Чебышева к случайной величине X_n:

, так как при .
В силу того, что МХ =0, из последнего неравенства имеем Р(  при п , а это означает, что  при .

Теорема Чебышева. Пусть  – последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены в совокупности: . Тогда последовательность  сходится по вероятности к нулю, т.е. для        при , иначе

 при .                      (5.2.3)

Доказательство: Рассмотрим случайную  и найдем математическое ожидание  и дисперсию . Имеем

;

, так как по условию . Но величина  при , тогда  при . Поэтому для последовательности  выполняются условия леммы 2 , а значит,  при , что и требовалось доказать.

Частный случай . Пусть при условиях теоремы Чебышева  i = 1, 2, …, тогда из теоремы Чебышева следует, что для любого

 при ; значит

 при .                        (5.2.4)

 

Теорема Чебышева имеет большое практическое значение и устанавливает связь между средним арифметическим наблюдаемых в опыте значений случайной величины и ее математическим ожиданием; оказывается, эта случайная величина является устойчивой в том смысле, что при соблюдении некоторых условий сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.

Теорема Бернулли

Теорема Я.Бернулли является исторически первой формой закона больших чисел. Она устанавливает связь между частотой некоторого события  (успеха) в схеме независимых испытаний Бернулли и его вероятностью. Доказательство, данное Бернулли, было весьма сложным. Простое доказательство было дано П.Л.Чебышевым как прямое следствие его теоремы.

Теорема Бернулли . Пусть имеем схему независимых испытаний Бернулли и р-вероятность успеха в каждом испытании. Тогда частота  успехов в  испытаниях стремится по вероятности к р при , т.е. 

 при .                         (5.3.1)

Доказательство. Для схемы независимых испытаний Бернулли относительная частота успехов является случайной величиной.

Пусть X₁ – число успехов в 1-м испытании, X₂ – число успехов во 2-м испытании и т.д., X_n – число успехов в -испытании. Тогда

X1	0	1
P	q	p

,

 

. Аналогично,  для любого i = 1, 2, …, n. Имеем

,

.

Используя частный случай теоремы Чебышева, имеем

 при .

Теорема Бернулли является теоретическим обоснованием практического определения вероятностей с помощью относительной частоты  (например, практическое определение вероятности выпадения герба при достаточно большом числе бросаний монеты). Закон больших чисел Бернулли утверждает, что для любого ε>0 и для фиксированного достаточно большого  очень правдоподобно, что частота  будет отклоняться от вероятности  по модулю меньше, чем на . Отсюда, однако, не следует, что  останется малой для всех достаточно больших п. Теорема Бернулли гарантирует лишь, что эти отклонения могут появляться весьма редко.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: