Геометрические вероятности

В некоторых случаях пространство элементарных событий W содержит несчетное множество исходов. В этом случае аксиоматическое определение вероятности случайного события представляет определенные сложности, главным образом, в части ее счетной аддитивности.

Этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, находя вероятность попадания точки в некоторую область, имеющую меру (длину – для отрезка; площадь для области на плоскости; объем для области в пространстве). Например, если поставлена задача о вероятности попадания точки в некоторую область A, являющуюся частью области попадания W, при условии, что эта вероятность не зависит от положения области A в области W, а зависит лишь от меры области A, то эту вероятность можно определить по следующей формуле:

 

                                             Р(А)=m(A)/m(W).                                          (1.7.1)

 

Рассмотрим следующую классическую задачу.

Задача о встрече. Два лица договорились о встрече в течение времени Т. Любой из пришедших первым ждет в течение времени t Т, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Решение. Обозначим моменты прихода первого и второго лица через x и y соответственно, причем 0 х, у Т.

Встреча состоится, если выполнится неравенство |у–х| t, которое можно переписать в виде х–t у х+t. Представим соответствующие области А и W на координатной плоскости (рис. 1.7.1).

Рис. 1.7.1

Используя геометрическое определение вероятности попадания точки внутрь области А, определяющую вероятность встречи, имеем

.

1.8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли.
Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

 

Пусть имеем серию n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое случайное событие А наступает с одной и той же вероятностью p = P(A), не изменяющейся от испытания к испытанию. Само событие А условно называется “успехом” (обозначается впредь У в отличие от “неуспеха”, обозначаемого H), а последовательность n независимых испытаний с двумя исходами У и H называется последовательностью независимых испытаний Бернулли.

Найдем вероятность того, что в серии из n испытаний Бернулли "успех" (У) наступит ровно k раз. В этом случае любой исход n испытаний Бернулли представляет собой последовательность длины n, состоящую из k "успехов" (У) и (n – k) "неуспехов" (Н). Вероятность каждого такого исхода по теореме умножения независимых случайных событий равна p^k(l - p)^n-k или p^kq^n-k, где q=1 - p. Число таких комбинаций равно числу способов выбора k мест из n для "успеха", т.е. .

Таким образом, вероятность того, что в серии из n испытаний Бернулли "успех" наступит ровно k раз, равна

                                               P_n(k)= p^kq^n-k.                                          (1.8.1)

Формула (1.8.1) называется формулой Бернулли. Сравнивая формулы (1.8.1) и (1.3.9), видим, что правая часть формулы Бернулли равна общему члену разложения бинома Ньютона

.

Рассмотрим частные случаи формулы Бернулли.

1. Вероятность того, что в n испытаниях "успех" наступит n раз, равна

.

2. Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли "успех" вообще не наступит, равна

.

3. Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли "успех" наступит не более чем m раз, равна

                        P(k m) = P_n(0) + P_n(l) + ... + P_n(m)=

4. Вероятность того, что "успех" наступит в n испытаниях не менее m раз, равна

                      P(k m) = P_n(m) + P_n(m-l)+... + P_n(n) =                    (1.8.2)

Задача 1.8.1. Найти вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей будет: 1) 2 мальчика; 2) не менее двух мальчиков. Считать, что вероятности рождения мальчиков и девочек одинаковы и равны 0,5.

Решение.

1. Считая "успехом" рождение мальчика с p=0,5 (q = 0,5), имеем по формуле Бернулли (1.8.1): Р₅(2)= (1/2)²(1/2)³= 0,31.

2. Используя формулу (1.8.2) c n = 5, m =2, имеем

P₅(k 2) = Р₅(2) + Р₅(3) + Р₅(4) + Р₅(5) =

= (1/2)²(1/2)³+  (1/2)³(1/2)² + (l/2)4(1/2) + (l/2)⁵ ≈ 0,81.

 

Задача 1.8.2. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника в шахматы 2 партии из трех или 3 партии из четырех?

Решение. Считая "успехом" выигрыш у равносильного противника с p = 1/2, найдем вероятности по формуле Бернулли(1.8.1):

Р₃(2)= (1/2)²(1/2) = 3/8,    Р₄(3) = (1/2)³(1/2) = 1/4.

Вероятнее выиграть 2 партии из трех.

Наивероятнейшим числом наступлений события А (успеха) в n независимых испытаниях Бернулли называется число, для которого вероятность P_n(m₀) не меньше вероятности любого из остальных возможных исходов испытаний. Пусть m₀ — наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях Бернулли; тогда по определению Р_n(m₀) P_n(m₀ + 1) и P_n(m₀) Ρ_n(m₀ - 1).

Раскрывая эти соотношения с помощью формулы (1.8.1), получим неравенство для определения m₀:

                                           nр - q  m₀ nр + р.                                      (1.8.З)

 

Схема выборочного контроля

Пусть покупатель готов принять партию товара грейпфрутов лишь в том случае, если менее 2% фруктов не удовлетворяют стандарту. Пусть, кроме того, он считает, что нестандартные плоды встречаются случайно. (Это может оказаться неверным для дефектов, вызванных, например, грибковыми заболеваниями, которые распространяются от одного плода на соседние. Однако предположение о случайности обоснованно, если дефекты возникают вследствие механического повреждения, порчи кожуры, высыхания плода и т. д.).

Покупатель не в состоянии проверить все фрукты в тысячах ящиков, а если бы он этим и занялся, за время проверки число испорченных плодов наверняка стало бы больше, чем было вначале.

Если предложить покупателю выбрать сотню фруктов, и если он найдет лишь один испорченный плод или не найдет ни одного, можно ли считать, что содержание дефектных плодов в партии не превосходит 2%?

Рассмотрим гипотезу, что во всей партии ровно 2% дефектных плодов. Какова вероятность того, что в случайной выборке из 100 плодов мы обнаружим 0 или 1 дефектный плод? В очень большой партии, содержащей тысячи грейпфрутов, после сравнительно небольшой выборки доля нестандартных плодов изменится незначительно. Поэтому вероятность появления в выборке 0 или 1 дефектного плода можно подсчитать по формуле Бернулли: первая равна 0,98¹⁰⁰ 0,133; вторая – 0,270. Поэтому искомая вероятность равна p = 0,133 + 0,270 = 0,403, т.е. вероятность того, что партия будет принята, равна 40%. С другой стороны, если бы все плоды в выборке были стандартны, партия определенно будет принята, с вероятностью 1 или 100% (ведь в выборке нет дефектных фруктов); если же все плоды в выборке нестандартны, такая партия будет отвергнута.

При 5-процентном содержании нестандартных плодов вероятность выборки, содержащей не более одного испорченного фрукта, составляет всего 0,037 или 3,7%.

Как отнесется к этому методу выборочного контроля оптовый поставщик и его клиенты? Шансы для действительно качественной партии грейпфрутов быть принятой составляет всего 40% и в то же время существует вероятность 3,7%, что будет принята партия с 5% нестандартных плодов.

При большом числе n повторных испытаний использование формулы Бернулли (1.8.1) затруднительно в связи с необходимостью выполнения действий над большими и малыми числами. Например, при n = 50, k = 20, p = 0,1, q = 0,9 , 50!=30414093·10⁵⁷; 30!=2652286·10²⁵; 20!=24329020·10¹¹.

Поэтому возникает необходимость в асимптотических формулах, позволяющих с достаточной степенью точности определить эти вероятности. Впервые такая формула была найдена А. Муавром для частного случая p=q=1/2, а затем обобщена П. Лапласом на случай произвольного p, отличного от 0 и 1. Этот результат носит название локальной теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть вероятность "успеха" р в каждом из n испытаний Бернулли постоянна и отлична от 0 и 1. Тогда имеет место следующая приближенная формула (которая тем точнее, чем больше n):

                              ,                           (1.8.4)

где , .

Функция , очевидно, является четной и ее значения для положительных значений x приведены в табл.3 приложения.

Задача 1.8.3. Вероятность успеха в каждом испытании равна 1/4. Какова вероятность того, что при 300 испытаниях успех наступит ровно 85 раз?

Решение. Используя формулу (1.8.4), имеем

»0,1647;

Следует заметить, что формула (1.8.4) непригодна (дает слишком большую погрешность), если вероятность события мала (р  0,1). При больших n и малых p используют асимптотическую формулу Пуассона

                                                 ,                                              (1.8.5)

где λ =np.

В приближенной формуле (1.8.5) параметры n и р объединены в один параметр λ = np; n должно быть не менее нескольких десятков, а лучше сотен, а значение параметра λ = np должно находиться между 0 и 10. При больших λ рекомендуется применять локальную теорему Лапласа.

Закон Пуассона (1.8.5) находит применение в следующих типовых задачах.

 

Задача о распределении случайных точек в области D

Пусть в области D с площадью S размещаются n точек, причем события, заключающиеся в попадании случайной точки в любую заранее заданную ее часть Δ постоянной (например, единичной) площади, равновероятны. Если λ = n/S – среднее число точек, попадающих в Δ, то при больших n и S (p = 1/S мало) вероятность того, что в заданную область Δ попадает ровно k точек, вычисляют приближенно по формуле Пуассона.

Задача о вызовах на АТС. Пусть n – число вызовов абонентов, поступающих за время t на АТС. Если λ = n/t – среднее число вызовов, поступающих на АТС за единицу времени (например, за 1 минуту), то вероятность того, что за единицу времени поступит k вызовов, также можно вычислить по формуле Пуассона (1.8.5).

Задача 1.8.4. АТС получает в среднем за 1 час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за минуту она получит ровно 2 вызова?

Решение. За минуту АТС получает в среднем 300/60 = 5 вызовов, т.е. λ =5. Искомую вероятность найдем по формуле Пуассона (1.8.5):

Страхование. Рассмотрим случайную величину X - число требований в течение времени t. Эта случайная величина считается распределенной по закону Пуассона, и вероятность того, что за время t появятся точно k требований, вычисляется по формуле

.

Здесь λ – ожидаемое (среднее) число требований в единицу времени (например, за 1 день). Тогда вероятность того, что в течение года появится ровно k требований равно

.

Здесь 365λ – ожидаемое (среднее) число требований в год.

Однако практически при большом числе испытаний n и не слишком малой вероятности p нас редко интересует вероятность того, что "успех" наступит точно m раз; наиболее важно оценить вероятность того, что число "успехов" лежит в некотором интервале. Такую вероятность можно оценить с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть m – число "успехов" в серии из n независимых испытаний, p – вероятность "успеха" в каждом испытании, 0<р<1, ,b R, <b. Тогда

                             ,                          (1.8.6)

причем стремление  к пределу  равномерно относительно a и b, ‑∞ < < b < +∞.

Практическое применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа основано на приближенной формуле

                                  .                               (1.8.7)

Формула (1.8.7) обеспечивает хорошую точность уже при значениях npq³10.

Рассмотрим типичные задачи, связанные с интегральной теоремой Муавра-Лапласа.

1. В серии из n испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании р требуется найти вероятность того, что число успехов будет заключено между заданными числами α и β, 0£α<β£n. Имеем

                                  .                               (1.8.8)

Введем функцию

                                           ,                                        (1.8.9)

называемую интегралом Лапласа (интегралом вероятности). Эта функция обладает следующими свойствами: 1) Ф(х) является возрастающей функцией на промежутке (‑∞, +∞); 2) Ф(х) – нечетная функция; 3) Ф(0) = 0; Ф(-∞) = -1/2; Ф(∞) = 1/2. Функция Ф(х) довольно быстро стремится к 1/2 при х→∞, например, Ф(3)≈0,499. Значения Ф(х) заданы в табл. 4 приложения. Поэтому формула (1.8.8) может быть переписана в следующем виде:

                     .                (1.8.10)

Задача 1.8.5. Какова вероятность того, что при 100 бросаниях правильной монеты герб появится от 40 до 60 раз?

Решение. Используя формулу (1.8.10), имеем  Ф(2) – Ф(–2) = 2Ф(2) ≈ 2∙0,4772 = 0,9544 (значение Ф(2) вычислено по табл.4).

2. В схеме независимых испытаний Бернулли требуется оценить вероятность того, что частота m/n появлений успеха в n испытаниях (при больших n) отклоняется от вероятности p по модулю не больше, чем на ε .

  . (1.8.11)

Если же требуется определить, какое наименьшее число испытаний надо произвести, для того чтобы с вероятностью, не меньшей β, частота m/n появлений успеха отклонялась от вероятности ρ по модулю не больше, чем на ε, требуемое n определяем, решив неравенство

.

Задача 1. 8.6. Найти вероятность того, что частота m/n появлений герба в серии из 100 бросаний "правильной" монеты отклоняется от вероятности р=1/2 по модулю не более чем на 0,01.

Решение. Используя формулу (1.8.11), имеем

        .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется случайным событием? Приведите примеры случайных событий.

2. Дайте классическое определение вероятности.

3. Что называют относительной частотой случайного события?

4. Сформулируйте аксиому сложения вероятностей для двух несовместных событий; для n несовместных событий.

5. Сформулируйте общую теорему сложения вероятностей для двух случайных событий; для n случайных событий.

6. Сформулируйте общую теорему умножения вероятностей для двух случайных событий; для n случайных событий.

7. Какие события называются независимыми? Сформулировать теорему умножения вероятностей двух случайных событий.

8. Какие события называются независимыми в совокупности? Какая связь между попарно независимыми событиями и независимыми в совокупности?

9. Сформулируйте теорему умножения для n случайных событий, независимых в совокупности.

10. Напишите формулу полной вероятности.

11. Какой вид имеет формула Байеса?

12. Определите схему независимых испытаний Бернулли. Что выражает формула Бернулли?

13. Дайте определение наивероятнейшего числа наступлений успеха в n испытаниях и приведите правило его вычисления.

14. Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа, а также укажите условия ее применения.

15. Сформулируйте интегральную теорему Муавра-Лапласа, укажите условия ее применения.

16. Приведите типы задач, к которым приводит интегральная теорема Муавра-Лапласа.

17. Приведите формулу Пуассона. При каких условиях она применяется?

Задачи

1. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут два герба.

 Ответ: 3/8.

2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения номера, большего 4?

Ответ: 1/3.

3. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наудачу два шара окажутся черными?

Ответ: 7/15.

4. В партии из 100 изделий 6 нестандартных. Из партии выбирается 10 изделий. Определить вероятность того, что среди изделий будут ровно 2 нестандартных.

Ответ: р = 0,13.

5. Три охотника договорились стрелять в цель в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковы и равны 0,7. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один; б) два; в) три выстрела.

Ответ: а) 0,7; б) 0,21; в) 0,063.

6. Рабочий обслуживает 3 станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,95, для второго такая вероятность равна 0,9 и для третьего – 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа: а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) какой-нибудь один станок не потребует внимания рабочего; в) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

Ответ: а) 0,684; 6)0,032; в) 0316.

7. Имеются две урны: в первой – 3 белых шара и 2 черных; во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Ответ: 0,52.

8. На фабрике, изготовляющей изделия, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. а) Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие дефектное? б) Случайно выбранное из продукции изделие оказалось дефектным. Какова вероятность того, что изделие было произведено второй машиной?

Ответ: а) 0,0345; б) 140/345.

9. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?

Ответ: 3/16.

10. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов.

Ответ: р≈0,0916.

11. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Ответ: р 0,051.

12. Всхожесть семени данного растения 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

Ответ: р 0,9737.

13. Вероятность появления “успеха” в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,04.

Ответ: р 0,9876.

14. Сколько нужно провести опытов с бросанием “правильной” монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонения частоты выпадений “герба” от его вероятности по абсолютной величине, меньшего чем 0,01?

Ответ: n = 7656.

Случайные величины

2.1. Случайные величины. Случайные величины дискретного типа. Ряд
 распределения. Функция распределения

До сих пор мы имели дело со случайными событиями, которые являются качественной характеристикой опыта со случайным исходом. Количественной характеристикой его является случайная величина.

Случайной величиной будем называть переменную величину Х, которая в результате испытания принимает числовые (действительные) значения случайным образом, причем вероятности этих значений считаются известными.

Примеры. Число выпадений ''герба'' при n бросаниях; число попаданий в мишень при m выстрелах из орудия; число дефектных изделий в партии из k штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; ошибка при измерении дальности радиолокатором; рост при обследовании определенной совокупности людей; время безотказной работы телевизора; оценка на экзамене.

Случайные величины принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита – X, Y, Z и т.д.

Более строгое определение случайной величины заключается в следующем.

Определение 2.1.1. Случайной величиной называется однозначная функция X(ω), определенная на Ω, для которой множество вида , т.е. является множеством, элементы которого являются случайными событиями для любого .

Определение 2.1.2. Случайная величина называется случайной величиной дискретного типа, если множество ее возможных значений является конечным или счетным множеством.

Простейшей формой закона распределения случайной величины дискретного типа является ряд распределения, представляющий собой таблицу, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Х	х1	х2	...	хn
P	p1	p2	...	pn

Здесь p_i = Р(Х = х_i), i =  (вероятность того, что случайная величина Х принимает значение x_i). При этом p_i = 1.

Определение 2.1.3. Функцией распределения случайной величины Х называется функция, определенная на (-∞,∞) и определяемая равенством

                                               F(x) = P(X < x).                                           (2.1.1)

 

Задача 2.1.1. Построить ряд распределения, а также функцию распределения числа выпадений ''герба'' при трех бросаниях ''правильной'' монеты.

Решение. В этой задаче Х – число выпадений ''герба'' при трех бросаниях монеты. Значения, которые может принимать эта случайная величина Х – 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли: Р₃(0) =  (1/2)⁰(1/2)³ = 1/8;
Р₃(1) =  (1/2) (1/2)² = 3/8; Р₃(2) =  (1/2)² (1/2) = 3/8; Р₃(3) =  (1/2)³ (1/2)⁰ = 1/8.

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

 

Х	0	1	2	3	.
Р	1/8	3/8	3/8	1/8

 

На основе определения 2.1.3 и ряда распределения можем найти функцию распределения:

 

График функции F(x) представлен на рис. 2.1.1.

x

Рис. 2.1.1

Примеры случайных величин дискретного типа

1. Случайная величина биномиального типа

В схеме независимых испытаний Бернулли случайной величиной является Х – число ''успехов'' в n независимых испытаниях; она и называется случайной величиной с биномиальным законом распределения. Значения, которые может принимать эта случайная величина – 0, 1, 2, ..., n; вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

.

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

Х	0	1	2	3	...	n	.
Р	Pn(0)	Pn(1)	Pn(2)	Pn(3)	...	Pn(n)

2. Случайная величина с геометрическим законом распределения

Случайной величиной с геометрическим законом распределения называется Х – число испытаний до первого ''успеха'' в схеме независимых испытаний Бернулли. Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

X	1	2	3	...	k	...	.
Р	р	qp	q2p	...	qk-1p	...

3. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона

Случайной величиной, распределенной по закону Пуассона, называется случайная величина Х, принимающая любые целые неотрицательные значения, вероятности которых вычисляются по формуле Пуассона:

Р(k) = ,        k = 0, 1, 2, ... .

Здесь  – параметр этого распределения. Известно, что случайная величина, распределенная по закону Пуассона, является предельным случаем биномиального распределения при n  и p 0 (np = l).

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

Х	0	1	2	...	K	...	.
P				...		...

Свойства функции распределения случайной величины

Свойство 1. Функция распределения является неубывающей функцией на (‑ , ).

Доказательство. Требуется доказать, что для .

Введем следующие случайные события:
А = {X < x₂}, В = {X < x₁}, C={x₁ £ X < x₂}.

Запись А = {X < x₂} обозначает случайное событие, заключающееся в том, что случайная величина Х принимает значения, меньшие х₂; аналогично раскрываются случайные события В и С. Тогда, очевидно, А = В + С, и по теореме сложения для несовместных событий имеем:

Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С), Р(Х < х₁) = Р(Х < х₁) + + Р(x₁ £ X < x₂), откуда имеем

                                     F(x₂)=F(x₁) + P(x₁  X < x₂).                                  (2.1.5)

Из (2.1.5) очевидно, что F(x₁)  F(x₂).

Свойство 2. Р(x₁  X < x₂) = F(x₂) - F(x₁).

Доказательство. Следует из равенства (2.1.5).

Свойство 3. Функция распределения F(x) случайной величины непрерывна слева в  х Î (– , ), т.е. F(x – 0) = F(x).

Свойство 4. Для  х (-∞,∞) Р(Х £ x) = F(х + 0).

Свойство 5. Р(x₁ £ X £ x₂) = F(х₂ + 0) – F(x₁).

Доказательство. Аналогично доказательству свойства 1 введем случайные события: А = {X £ x₂}, В = {X < x₁}, C= {x₁ £ X £ x₂}. Тогда имеем

Р(А) = Р(В) + Р(С), или Р(Х £ х₂) = Р(Х < х₁) + Р(x₁ £ X £ x₂),

но Р(Х £ x₂) = F(x₂ + 0), Р(Х < х₁) = F(x₁), и тогда Р(x₁ £ X £ x₂) = F(x₂ + 0) – F(x₁). Свойство 6. F(–∞) = 0, F(+∞) = 1.

Здесь под символами F(- ) и F(+ ) понимаем следующие пределы: , .

Доказательство очевидно, если заметить, что F(–∞) = P(X < –∞) = 0;

F(+∞) = P(X < ∞) = 1.

2.2. Случайная величина непрерывного типа. Плотность вероятности
распределения случайной величины

Определение 2.2.1. Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа, если существует неотрицательная функция f(x), определенная на (- , ) и такая, что функция распределения F(x) имеет вид

                                   F(x) = , –∞ < x < ∞.                                 (2.2.1)

Функция f(x) называется плотностью вероятности случайной величины или плотностью распределения случайной величины.

В отличие от случайной величины дискретного типа случайная величина непрерывного типа принимает несчетное множество значений.

Свойства плотности вероятности

Свойство 1. Р(x₁  X < x₂) = .                                                 (2.2.2)

Доказательство. Р(x₁  X < x₂) = F(x₂) – F(x₁) =  -  =

=  + = .

Следствие 1. Р(x₁  X  x₂) = Р(x₁ < X < x₂) = .

Здесь использовано свойство определенного интеграла, связанное с неизменностью его значения при добавлении (или исключении) любого конечного числа точек к промежутку интегрирования.

Следствие 2. Р(x < X < x + Dx)  f(x)Dx.                                             (2.2.3)

Равенство (2.2.3) выражает вероятностный смысл плотности вероятности и является следствием свойства 1. 

Свойство 2.   Р(Х = х) = 0.                                                                  (2.2.4)

Доказательство  следует из (2.2.3) при переходе к пределу при Dx ® 0.

Свойство 3. (Условие нормировки)  = 1                                 (2.2.5)

Доказательство. F(x) = ,
F(+ ) =  = 1.

Замечание. Геометрически условие нормировки (2.2.5) выражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции, расположенной под графиком плотности вероятности f(x), равна 1 (рис. 2.2.1).

 

Свойство 4. В точках x непрерывности f(x) выполняется равенство

                                                  F'(х) = f(x),                                               (2.2.6)

т.е. F(x) является первообразной для f(x).

Доказательство следует из соответствующего свойства интеграла с переменным верхним пределом.

Примеры случайных величин непрерывного типа

1. Случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [а, b]

Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности имеет вид

f( x) = .

 

Постоянную С можно определить из условия нормировки (2.2.5)

 

 = = С = С(b – a) = 1,

откуда С = 1/(b - a). Поэтому выражение для f(x) можно переписать в следующем виде:

                                        f(x) = .                                    (2.2.7)

График плотности вероятности равномерного распределения (2.2.7) представлен на рис. 2.2.2.

2. Случайная величина с нормальным законом распределения

Случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет следующий вид:

                                 , –∞ < x <∞,                               (2.2.8)

где С(C > 0), а, s(s > 0) – некоторые константы.

Замечание. Постоянную С в формуле для f(x) можно определить из условия нормировки – . Поэтому формулу для нормального распределения можно переписать в следующем виде:

f(x) = 1/(s ) , –∞ < x <∞,   (2.2.9)

Константы а, s называют параметрами нормального распределения. Поэтому нормальное распределение обозначают N(а,s). График плотности вероятности нормального распределения показан на рис. 2.2.3.

3. Случайная величина с показательным законом распределения

Случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет следующий вид:

f  =                 (2.2.10)

где – параметр показательного распределения. График f(x) представлен на рис. 2.2.4.

В приложениях теории вероятностей (например, теории массового обслуживания) случайная величина с показательным законом распределения часто выражает время безотказной работы системы или устройства.

Задача 2.2.1. Найти вероятность попадания случайной величины с нормальным законом распределения на заданный интервал ( ).

Решение. Плотность вероятности для случайной величины с нормальным законом распределения имеет вид   f(x) = .

С учетом формулы (2.2.2) имеем

P  =  = =  = = =  =  +  = Ф  - Ф .

Таким образом, P  = Ф  - Ф ,                 (2.2.11)

где Ф(х) =  — функция Лапласа, введенная ранее в подр. 1.8, значения которой определяются по табл. 4 приложения.

В частности, если требуется найти вероятность Р( ), имеем с помощью формулы (2.2.11)

Р( ) = Р( ) = Ф( ) - Ф( ) = Ф( ) - Ф(- ) = 2Ф( ).

Таким образом,

                                          Р( ) = 2Ф( ).                                    (2.2.12)

2.3. Числовые характеристики случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия, их свойства

Довольно часто закон распределения, который полностью характеризует случайную величину, неизвестен. В этом случае используются ее числовые характеристики. К числу таких характеристик относятся начальные и центральные моменты различных порядков и, в частности, математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Определение 2.3.1.  Начальным моментом   k-го порядка называется:

1) для случайной величины дискретного типа:

; ;                              (2.3.1)

2) для случайной величины непрерывного типа:

.                                       (2.3.2)

Определение 2.3.2. Если k = 1, начальный момент первого порядка a₁ называется математическим ожиданием случайной величины.

В этом случае из формул (2.3.1) и (2.3.2) получаем формулы для математического ожидания.

Для случайной величины дискретного типа:

MX = .                         (2.3.3)

Для случайной величины непрерывного типа:  

MX = .                       (2.3.4)

Математическое ожидание выражает ''среднее'' значение случайной величины с учетом вероятностей ее значений.

Приведем в качестве примеров вычисление математических ожиданий для известных случайных величин.

Задача 2.3.1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, которая принимает значения x₁, x₂, …, x_n, причем эти значения равновероятны.

Решение. Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

X	x1	x2	...	xn
P	1/n	1/n	...	1/n

С помощью формулы (2.3.3) имеем

MX = .

Таким образом, математическим ожиданием этой случайной величины является среднее арифметическое ее значений.

Задача 2.3.2. Найти математическим ожиданием случайной величины с биномиальным законом распределения.

Решение. Ряд распределения случайной величины с биномиальным законом распределения имеет вид

X	0	1	2	...	n
P	Pn(0)	Pn(1)	Pn(2)	...	Pn(n)

где вероятности P_n(m) вычисляются по формуле Бернулли.

Имеем MX = 0∙P_n(0) + 1∙P_n(1) + 2∙P_n(2) + ... + n∙P_n(n) =

= npq^n-1 + 2 p²q^n-2 + ... + npⁿ  = np (q^n-1 + (n-1)pq^n-2 + ... + p^n-1)  = np(q+p)^n-1 = np.

Выше была использована формула для бинома Ньютона.

Задача 2.3.3. Найти математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Решение. Ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, имеет вид

X	0	1	2	...	m	...
P				...		...

Здесь для вероятностей была использована формула Пуассона

Р(Х = m) = .

Имеем  MX = 0e + 1  e + 2  e + ... =   =

= e = e = e  = e e   = .

Здесь было использовано разложение в ряд Маклорена e^x  = .

Таким образом, МХ = .

Задача 2.3.4. Найти математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [a, b].

Решение. Используя формулу (2.3.4), имеем (см. пример 1 п. 2.2):

MX =  =  =  = .

Задача 2.3.5. Найти математическое ожидание случайной величины с нормальным законом распределения.

Решение. Используя формулу (2.3.4) и пример 2 п. 2.2, имеем:

MX =  = =  = =

=  + = a,

так как  = 0 и  = , то MX = a.

Задача 2.3.6. Найти математическое ожидание случайной величины с показательным законом распределения.

Решение. Имеем:

MX =  =  =  = 1/ λ .

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание константы равно этой константе, т.е. М(С)=С.

Доказательство очевидно.

Свойство 2. М(СХ) = СМХ, иначе постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Доказательство проведем для случая случайных величин дискретного типа. Имеем ряды распределения для случайных величин Х и СХ соответственно.

 

X	x1	x2	...	xn		CX	Cx1	Cx2	…	Cxn
P	p1	p2	…	pn		P	p1	p2	…	pn

 

Имеем   М(СX) =  = CMX .

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

M(X + Y) = MX + MY.

Доказательство аналогично доказательству свойства 2.

Определение 2.3.3. Две случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не изменяется в зависимости от того, какие значения принимает другая случайная величина.

Приведем без доказательств 4 свойство случайной величины.

Свойство 4. Если две случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий, т.е.

М(XY) = МХ×МY.

Определение 2.3.4. Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется число  µ _k = M (X - MX)^k,                                             (2.3.5)

Поэтому для случайной величины дискретного типа имеем

                                            µ _k  = (x_i - MX)^k,                                         (2.3.6)

а для случайной величины непрерывного типа –

                                          µ_k  = (x-MX)^kf(x)dx.                                       (2.3.7)

Определение 2.3.4. При k = 2 центральный момент второго порядка µ₂ называется дисперсией случайной величины, т.е.

                                            DX = M(X – MX)².                                                                        (2.3.8)

Для случайной величины дискретного и непрерывного типов имеем соответственно формулы:

                                         DX = (x_i - MX)² p_i ,                                      (2.3.9)

                                        DX = (x -MX)²f(x)dx.                                   (2.3.10)

Часто вместо формулы (2.3.8) для дисперсии используют другую формулу:

                                            DX = MX² - (MX)².                                       (2.3.11)

Действительно, DX = M(X - MX)² = M(X² - 2X ×MX + (MX)²) =

= MX² - 2MX ×MX + (MX)² = MX² - (MX)².

Величина = s называется средним квадратическим отклонением случайной величины Х. Дисперсия (как и среднее квадратическое отклонение) выражает меру рассеяния случайной величины Х относительно своего математического ожидания.

 

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия константы равна нулю, т.е. DC = 0.

Доказательство. Имеем DC = M(C - MC)² = M(C - C)² = 0.

Свойство 2. D(CX) = C²DX, иначе постоянный множитель выносится с квадратом из-под знака дисперсии.

Доказательство. D(CX) = M(CX-M(CX))² = MC²(X-MX)² = C²M(X - MX)² = C²DX.

Свойство 3. Если Х и Y — независимые случайные величины, то дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

D(X + Y) = DX + DY.

Доказательство. Имеем D(X+Y) = M((X+Y) - M(X+Y))² = M((X-MX) + (Y-MY))² =
= M(X-MX)² + 2M(X-MX) ×M(Y-MY) + M(Y-MY)² = | M(X-MX) = MX - MX = 0 | = DX + DY.

Приведем задачи вычисления дисперсии для некоторых наиболее важных случайных величин.

Задача 2.3.7. Найти дисперсию случайной величины с нормальным законом распределения.

Решение. Для случайной величины с нормальным законом распределения плотность вероятностей имеет вид    f(x) =

Поэтому с учетом формулы (2.3.10) для дисперсии имеем

DX = (x-MX)²f( x) dx  =  =  =

=   = , т.е. DX = .

Задача 2.3.8. Найти дисперсию случайной величины с биномиальным законом распределения.

Решение. Для этой случайной величины X – число ''успехов'' в n испытаниях Бернулли. В задаче 2.3.2 показано, что МХ = np. Найдем DX. Введем следующие случайные величины: Х₁ – число ''успехов'' в 1-м испытании; Х₂ – число ''успехов'' во 2-м испытании и т.д. Х_n – число ''успехов'' в n-м испытании.

Тогда     Х = Х₁ + Х₂ + ... + Х_n      и DX = DX₁ + DX₂ + ... + DX_n.

 

Найдем математическое ожидание и дисперсию любого из слагаемых, например, Х₁. Имеем

Х1	0	1	MX = 0 ×q + 1 × p = p, DX1 = (0 - p)2 q + (1 - p)2p = p2q + q2p = pq(p +q) = pq.
Р	q	p

 

Тогда DX = npq .

Задача 2.3.9. Найти дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Можно показать, что DX = .

Кроме центрального момента второго порядка, в теории вероятностей применяются центральные моменты третьего и четвертого порядков.

Центральный момент третьего порядка µ₃ служит характеристикой асимметрии (''скошенности'') распределения. Так как     µ₃  имеет размерность куба случайной величины, рассматривают отношение µ₃ к среднему квадратическому отклонению в третьей степени .

Величина a_x называется коэффициентом асимметрии. Если кривая распределения ”скошена” влево, a_x > 0; если ''скошена'' вправо – a_x < 0.

Если µ₃ = 0 кривая распределения симметрична относительно своего математического ожидания, то a_x = 0.

Центральный момент четвертого порядка μ₄ служит для характеристики островершинности или плосковершинности распределения. Это свойство распределения описывается с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины Х называется величина . Число 3 вычитается из отношения , так как для наиболее распространенного нормального закона распределения , а, следовательно, C_x = 0; кривая нормального распределения принята в качестве эталона. Кривые более островершинные имеют положительный эксцесс; кривые более плосковершинные — отрицательный эксцесс.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: