Центральная предельная теорема

Рассмотрим вопрос, связанный с предельным законом распределения суммы , когда число  слагаемых неограниченно возрастает. Центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых указанный предельный закон является нормальным.

Определение 5.4.1 . Пусть  последовательность случайных величин. Говорят, что последовательность  сходится к случайной величине  по распределению, если

                                      (5.4.1)

в каждой точке x непрерывности ; здесь  – функция распределения случайной величины Х; – функция распределения случайной величины X_n.

Центральная предельная теорема допускает несколько формулировок. Одна из наиболее простых форм ее имеет вид:

Теорема 5.4.1. ЦПТ-1. Пусть  - последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, для которых . Тогда последовательность ,

                                          (5.4.2)

сходится по распределению к нормальному распределению , т.е.

,                                        (5.4.3)

где  – функция распределения случайной величины .

Из ЦПТ-1 вытекает, как частный случай, интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть  – число успехов в серии из  испытаний,  – вероятность успеха при каждом испытании. Тогда при

.                            (5.4.4)

Доказательство. Действительно, m=X₁+ X₂+ _... +X_n, где X_i – число успехов в ‑м испытании;  – независимы и одинаково распределены. Кроме того, , . Подставляя эти выражения в формулу (5.4.2), из (5.4.3) получим (5.4.4), что и требовалось доказать.

Теперь избавимся от нежелательного в ряде вопросов предположения об одинаковом распределении случайных величин и сформулируем центральную предельную теорему в форме Ляпунова.

Теорема 5.4.2. Пусть – последовательность независимых случайных величин с  и . Тогда, если выполнено условие Ляпунова

при ,                         (5.4.5)

где , то последовательность { Y_n }, где

,                                               (5.4.6)

сходится по распределению к N(0, 1) равномерно на .

Покажем на примерах случаи применения центральной предельной теоремы.

Пример 1. Вероятность и частота.

Оценим с помощью центральной предельной теоремы 5.4.1 вероятность того, что частота  отличается от вероятности успеха  в  испытаниях Бернулли по модулю меньше (или не меньше) чем на произвольное . Имеем

где  – функция Лапласа.

Таким образом имеем

.                                (5.4.7)

С другой стороны,

.

Пример 2. Среднее арифметическое. Пусть X₁,  X₂, ... попарно независимые случайные величины, . Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева (5.2.4) имеет вид , при .

Если , ... не только попарно независимы, но и независимы в совокупности, можно применить теорему 5.4.1. Это дает:

.

Поэтому имеем

,   (5.4.8)

Из табл. 4 для функции Лапласа Ф(х) следует, что при =3, т.е. при  вероятность

Это так называемое правило 3 s (трех сигм).

Задача 5.4.1. Производится 500 испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,3. Какова вероятность того, что частота наступления события А отклонится от его вероятности по модулю меньше, чем на 0,05?

Решение: Используя формулу (5.4.7.), имеем

, поэтому

.

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается сущность закона больших чисел?

2. Сформулируйте и докажите первое и второе неравенства Чебышева.

3. Чем отличается обычное понятие предела от понятия предела по вероятности?

4. Сформулируйте и докажите теорему Чебышева. Рассмотрите ее частный случай.

5. Какое практическое значение имеет теорема Чебышева ?

6. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли.

7. Объясните, пользуясь теоремой Бернулли, свойство устойчивости относительных частот.

8. В чем заключается сущность центральной предельной теоремы в упрощенной постановке?

9. Сформулируйте и докажите интегральную теорему Муавра-Лапласа (на основании ЦПТ-1).

10. В чем заключается сущность центральной предельной теоремы в форме Ляпунова?

11. Как применить центральную предельную теорему к оценке вероятности того, что относительная частота отличается от вероятности успеха р по модулю меньше, чем произвольное e > 0? не меньше, чем e > 0?

12. Как применить центральную предельную теорему к оценке вероятности того, что среднее арифметическое случайных величин отличается от их математического ожидания меньше, чем произвольное e > 0?; не меньше, чем e > 0?

Задачи

1. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя центральную предельную теорему, найти вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение частоты события А от его вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,01.

Ответ: 0,79.

2. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96, можно было ожидать, что абсолютная величина модуля отклонения частоты годных деталей от вероятности детали быть годной; равной 0,98; не превысит 0,02?

Ответ: n ³ 1225.

3. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,3.

Ответ: P ³ 0,96.

4. Выборочным путем требуется определить среднюю длину изготовляемых изделий. Сколько нужно обследовать изделий, чтобы с вероятностью, большей 0,9, можно было утверждать, что средняя длина отобранных изделий будет отличаться от математического ожидания этого среднего (принимаемого за среднюю длину изделий во всей партии) не более, чем на 0,001 см? Установлено, что среднее квадратическое отклонение длины детали не превышает 0,04 см?

Ответ: n ³ 16000.

5. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной при каждой проверке, равна 0,2. Определить вероятность того, что среди 50 наудачу отобранных деталей бракованных окажется не менее 6.

Ответ: р = 0,921.

6. Известно, что 60 % всего числа изготовляемых заводом изделий выпускается высшего сорта. Приемщик берет первые попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них изделий высшего сорта окажется от 120 до 150 штук?

Ответ: 0,4999.

7. Вероятность появления события А в отдельном испытании равна 0,8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частоты события А от вероятности при отдельном испытании по абсолютной величине будет меньше 0,05.

Ответ: 0,843.

8. «Правильная» игральная кость подброшена 200 раз. Найти вероятность того, что цифра 6 выпала больше 30, но меньше 40 раз.

Ответ: 0,632.

9. Сколько раз нужно подбросить «правильную» монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что частота выпадения герба отклонится от 0,5 меньше, чем на 0,01?

Ответ: n ³ 9560.

10. Вероятность случайного события А (успеха) в схеме независимых испытаний Бернулли равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие произойдет в большинстве случаев при 60 испытаниях.

Ответ: 0,944.

6. Случайные процессы. Марковские случайные процессы.
Системы массового обслуживания

Случайные процессы

Вначале введем понятие случайной функции.

Определение 6.1.1. Случайной функцией X(t) называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной.

Иными словами, при t = t₀ X(t₀) представляет собой случайную величину, сечение случайной функции в момент времени t₀.

С другой точки зрения, ввиду того, что случайная величина представляется в виде функции элементарного события ω, появляющегося в результате испытания, случайную функцию можно записать в виде функции двух переменных X(t, ω), где ω є Ω , t єT.

Определение 6.1.2. Реализацией случайной функции X(t, ω), называется неслучайная функция x(t), в которую обращается случайная функция в результате испытания при фиксированном ω.

Реализацию случайной функции называют также траекторией , выборочной случайной функцией. Таким образом, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций (рис. 6.1.1).

 

 

 

Определение 6.1.3. Случайным процессом называют случайную функцию аргумента t, который истолковывается как время.

В дальнейшем мы будем иметь дело со случайными процессами.

Пример 6.1.1. Самолет должен лететь на задаваемой автопилотом высоте. В действительности, вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение плотности, давления в атмосфере, изменение силы и направления ветра и др.), учесть влияние которых исчерпывающим образом невозможно, высота меняется во времени. Поэтому высота полета представляет собой случайный процесс.

При фиксированном t = t₁ X(t₁) является случайной величиной, которая имеет свой закон распределения – например, в случае случайной величины непрерывного типа, плотность вероятности f₁(x₁, t₁) или, если t принимает все допустимые значения, - f₁(x, t). Неслучайная функция f₁(x, t) называется одномерной плотностью вероятности случайного процесса. Функция f₁(x, t) полностью характеризует каждое отдельно взятое сечение, однако, нельзя сказать, что она полностью описывает случайный процесс X(t).

Если взять два сечения X₁ = X(t₁) и X₂ = X(t₂) в виде системы (X₁,X₂), рассматривают двумерную плотность вероятности f(x₁,x₂); в теории случайных процессов её обозначают f₂(x₁,x₂;t₁,t₂). Двумерный закон распределения описывает случайный процесс более полно, чем одномерный; однако и он исчерпывающим образом не описывает случайный процесс X(t).

В результате для более полного описания случайных процессов переходят к многомерным (n-мерным) законам распределения в виде n-мерной плотности вероятности f₂(x₁,x₂, ..., x_n; t₁,t₂, ..., t_n).

Однако в ряде случаев для описания случайного процесса достаточно ограничиться его числовыми характеристиками. В рамках ирреляционной теории случайных процессов ограничиваются изучением моментов первого и второго порядков.

Определение 6.1.4. Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при любых значениях переменной t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса.

Определение 6.1.5. Дисперсией случайного процесса X ( t ) называется неслучайная функция D_x(t), которая при любом значении переменной t равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса.

Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса обладают свойствами, аналогичными соответствующим свойствам случайных величин.

Определение 6.1.6. Корреляционной функцией случайного процесса X ( t ) называется неслучайная функция K_x(t₁,t₂) двух переменных t₁ и t₂, которая для любой пары переменных t₁ и t₂ равна корреляционному моменту (ковариации) соответствующих сечений случайного процесса.

Корреляционная функция K_x(t₁,t₂) характеризует не только степень связи между двумя любыми сечениями случайного процесса, но и степень рассеяния этих сечений относительно математического ожидания m_x(t).

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: