Функция распределения СВ и ее свойства.

  Пусть Х – СВ.

  Опр. Ф-ция F(x), определенная при всех  (вероятность того, что СВ Х приняла значение <x : P ( X < x )) F ( x )= P ( X < x ) называется функцией распределения СВ Х.

  Значение функции распределения в точке х равно вероятности события, состоящего в том, что СВ примет значение < x .

  Свойства функции распределения.

1) , т.к. F ( x ) – вероятность.

2) F ( x ) не убывает на все числовой оси.

Док-во: Возьмем х₁< x ₂ . Рассмотрим вероятность того, что Х< x ₂ : P ( X < x ₂ ). A ={ X < x ₂ }. B ={ x ₁ <= X < x ₂ }. A + B ={ X < x ₂ }. События А и В несовместны. Значит, P(A+B)=P(A)+P(B)= =F(x₂)=F(x₁)+P(x₁<=X<x₂). Последнее слагаемое в равенстве >=0. Значит, F ( x ₂ )>= F ( x ₁ ). Доказано.

3) P ( x ₁ <= X < x ₂ )= F ( x ₂ )- F ( x ₁ )

4) Функция распределения F ( x ) всегда непрерывна.

Док-во: Аксиома 3 из определения вероятности (если А₁,А₂,… F ( F -алгебра), причем A_i * A_j=Ø для i j , то Р(А₁+А₂+…)= ) эквивалентна аксиоме непрерывности (если В₁,В₂,…,В _k , … - последоват. таких событий, что B_{n +1} B_n , n =1,2,… и , то ). Доказать самостоятельно эквивалентность аксиом. Непрерывность функции F ( x ) будем док-ть с помощью определения предела по Гейне: х₁,х₂,…,х _n – любая последовательность, удовлетворяющая двум условиям:

1)х₁<х₂<…<х _n <…< x ₀ ;

2) .

Событие A_n={x_n<=X<x₀}, A_n+1 A_n. Согласно аксиоме непрерывности:

Р ( А _n )=P(x_n<=X<x₀)=F(x₀)-F(x_n).

.

По Гейне . Значит, функция непрерывна слева. Доказано.

5)

Док - во : ={X< п }, A_n={X>=n}, A_n+1 A_n .

 

 

      

            Доказано.

Непрерывные СВ. Равномерный закон распределения.

Непрерывные СВ.

  Опр. СВ Х наз-ся непрерывной СВ, если существует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману на (-∞, +∞) ф-ция р(х) ( f ( x )), что .

  Ф-ция р(х) называется плотностью распределения вероятности СВ Х.

  Плотность p ( x ) обладает след. свойствами:

  1)

  2)  - условие нормирования

  3) F `( x )= p ( x ) в точках непрерывности функции p ( x ).

  Вывод: Ф-ция распределения непрерывной СВ является непрерывной, монотонно-неубывающей ф-цией на все числовой оси.

  P ( X = x )= F ( x +0)- F ( x ) (следует из того, что P ( x <= X < x +Δх)= = F ( x +Δх)- F ( x )). Если Х – непрерывная СВ, то F ( x +0)- F ( x )=0 . Т.о. для непрерывной СВ Р(Х=х)=0. Говорят, что вероятность попасть в точку равна 0.

  Если Х – непрерывная СВ, то вероятность ее попадания на [a,b) можно вычислить через плотность распределения вероятностей по формуле .

  Если х – точка непр. плотности вероятности . Формула справедлива с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка малости, чем Δх.

Равномерный закон распределения.

  Опр. Непрерывная СВ, которая принимает значения только [a,b] с постоянной плотностью распределения, наз-ся распределенной равномерно на этом отрезке (иначе говоря, имеет равномерное распределение вероятностей на [a,b]).

  Из определения следует, что

.

  Найдем функцию распределения для этой СВ

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: