Числовые характеритики СВ.

СВ описываются числовыми характеристиками, различают характеристики положения ( ожидания , моде, медиана) и характеристики рассеивания ( дисперсия, среднеквадратичное отклонение , моменты)

В мат ожидании (средним значением вероятности называется действительное число М(х))        

М(х)=

Мат. ожидание существует , если ряд или интеграл ---сходятся абсолютно, если абсолютной сходимости нет , то говорят, что Х не имеет мат ожидания.

Мат ожидание характеризует среднее значение принимаемое СВ.

Свойства:

1.М(с)=с - const

2.М(кх)=кМ(х), к -const

3.М(х+у)=М(х)+М(у)

4.М(ху)=М(х)М(у), если х,у- независимые

5.М(х-М(х))=0

6.х≥0 => М(х) ≥0

7.М²(ху)=М(х²)М(у²) ---неравенство Коши Буняковского

Дисперсией СВ называют неотрицательное число:

 

D(x)= 

Свойства дисперсии:

1.D(c)=0, c-const

2.D(kx)=k²D(x)

3.D(x±y)=D(x)+D(y), если х,у - независимые

4.D(x)=M(x²)-(M(x))² --- упрощённое правило вычисления

Модой непрерывной СВ Х называют действительное число d_x – точка максимального распределения.(модой дискретной СВ Х – называют значение х_к имеющее наибольшую вероятность)

Медианой непрерывной СВ Х – называют действительное число h_х , такое что Р(х<h_x)= Р(х≥h_x)

 Средним квадратичным отклонением CВ Х – называют число δ(х)=(D(x))^0.5

Моменты распределения одномерной СВ.

В ТВ изучают моменты 2-ух видов:

-Начальные(нач. момент к-ого порядка СВ Х наз υ_к=М(х^к))

-центральные(центральный момент СВ Х μ_к=М(х-М(х))^к, μ₂- дисперсия СВ Х)

Найдем выражение центральных моментов СВ Х через нач моменты этой СВ:

μ_к=М(х-М(х))^к=М(∑с_n^k(-1)^кх^n-k – М^к(х))= М(х-М(х))^к=∑с_n^k(-1)^к М(х^n-k) М^к(х)= ∑с_n^k(-1)^к υ_n-k υ^к

μ₂=υ₂ – υ₁²

μ₃ служит характеристикой асимметрии (скошености) распределения, если СВ распределена симметрично относительно М(х), то μ₃ = 0.

А = μ₃/δ³ –коэффициент ассиметрии 

μ₄ - центральный момент служащий характеристикой островершинности или плосковершинности распределения.

В = μ₄/δ⁴  коэф плосковершинности для нормального закона распределения (В=3 эксцесс)

Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 СВ, их свойства.

Основная характеристика описывающая связь между СВ Х и У является ковариация (корреляционный момент):

K_xy=cov(x,y)=M[(x-M(x))(y-M()y)]

Теор. cov(x,y)=0, Для независимых Х и У

Свойства ковариации:

1.К_ху=К_ух

2.|К_yx|≤δ_хδ_у

Величина r_ху= К_ух/ δ_хδ_у называется линейной ковариацией

Свойства r_ху:

_1. r_ху =r_ух

2.r_хх=1, К_хх=D(x)

3.|r_yx|1≤1

4.К_ху= 0, если Х и У независимые СВ

5.r_ху=±1, то между СВ Х и У существует функцинальная зависимость

М((х-m_x)/ δ_х ±(y-m_y)/ δ_y)²= 2 ± 2 К_ух/ δ_хδ_у 

Условное мат ожидание

Зависимость между СВ Х и У может изучаться с помощью условных распределений. Если окажется что условное = безусловному , то говорят что СВ не зависимы.

Условное распределение составленное Х и У характеризуется условным мат ожиданием и дисперсией.

Опр. Условное мат ожидание составляет Х при условии что У приняло определённое значение У(для дискретного y_j находят по формуле ):

М(Х| У=у_j)= ∑х_ip(x_i,y_i) для дискретной СВ, где х_i – различные значения СВ Х.

p(x_i,y_i)=p(Х=x_i| У=y_i)

М(Х| У=у_j)=∫ хp(x,y)dx для непрерывных СВ Х и У, где p(x,y)- условие плотности СВ Х при условии У=у

Например: условие дисперсии составляет Х, при условии что У=у в случае непрерывных СВ определяемое формулой:

        М_х/у=М(Х| У=у)

 D(Х| У=у)=∫ (х- m_x/y)²p(x,y)dx

Из определения условного мат ожидания следует => с изменением У будет меняться и М(Х| У=у) и мы можем рассматривать его как функцию от У(М(Х| У=у)=ψ(У)- функция регрессии Х на У, аналогично для регрессии У на Х). Х= ψ(У),У=φ(Х) – линии регрессии, вводятся непрерывных СВ.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: