Оценка дисперсии случайной величины.

Док-жем, что  -состоятельн. оценка дисперсий случ. величины х.

 

Рассм. I:это есть среднее арифметическое n независимых одинаково распределенных СВ  согласно з-ну больших чисел (следствие т.Чебышева) при имеем:

(1)

Рассм. II: также в силу закона больших чисел. , поэтому      (2)

Из выше сказанного следует, что . Т.о. -состоятельная оценка(хотя и смещенная).

Неравенство Рао-Крамера. Следствие для несмещенной оценки

Эффективная оценка мат. ожидания нормальной распределенной величины.

Опр.Несмещен. Оценка  пар-ра , для которой в нер-ве Рао-Крамера достигается знак равенства,т.е.  наз. эффективной.

Пусть Х случайная величина, имеющая нормальный закон распределения с параметрами  и .

Пусть выборка (  явл. реализацией случайного вектора , где случайные величины независимы и распределены так же как и случайные величины Х.

Покажем, что -эффективная оценка параметра , т.е. имеем

-считаем известным, а - неизвестным. Вычислим информацию Фишера .

Асимптотически эффективные и сверх эффективные оценки. Теорема о состоятельности оценки.

Определение: несмещенная оценка  называется асимптотически эффективной оценкой параметра , если D( )*J_n( )=1

D( )=1/ J_n(ϴ)

Определение : Если условия дифференцирования интегралов по параметру при котором доказывается неравенства Рао-Крамера не выполняется, то может существовать несмещенная оценка дисперсия которой меньше чем нижняя граница в неравенстве Рао-Крамера. Такая оценка называется сверхэффективной.

=  (X₁, ... , Xn)

Если M( ) , а D( )  при n , то - является состоятельной.

Д-во :

В силу неравенства Чебышева (*):

 

значит и p . . Обозначим =

В силу условия  при  : >2*

Возьмем n-настолько большое, чтобы выполнялось это неравенство: 2* > , так как

Тогда > }

В силу (*) получаем, что  при . Значит - состоятельная оценка.

Ч.т.д.
37 . Условные законы распределения. Условное мат. ожидание.

Дискретное распределения. Рассм. случ. метод =(X₁, ... , X_n), где X_i – случ. вел. Пусть  – имеет дискр. распр.: P{ =X}=p(x)=p(x₁, ... , x_n).  x- пробегает конечное или счетное множество возможных значений . По свойствам этих вероятностей:  p(x) . Рассмотрим функцию : t=t(x₁, ... , x_n). В дальнейшем вместо функции t(x₁, ... , x_n) можно рассматривать вектор функцию t(x). Определение:Условным распределением при условий t( )=t (t-фиксир) назовем совокупность условных вероятностей P(x|t)=P{ =X|t( )=t}.

Если x и t таковы, что t(x) t, то очевидно, что p(x|t))=0

Замечание : В дальнейшем считаем, что t(x)=t

Выразим усл. вер. p(x|t), через вероятность p(x).P{ =X|t( )=t}= (*)

Доп. усл. на t: t – выбирается таким, чтобы знаменатель последней дроби не был равен нулю, другими словами, чтобы на линии уров-ня было хотя бы одно с ненулевой вероятностью.Пусть g(x) – числовая функция от векторного аргумента x=(x1, ... , xn), тогда g( ) – случ. величина, ее мат ожидание:  M[g( )]=

Условное мат. ожидание случайной величины g( ), при t( )=t определяется с помощью условного распределения.

Определение.Условное мат ожидание случайной величины g(X) при условии t( )=t обозначим M[g( )|t( )=t]= . В силу (*) имеем :

M[g( )|t( )=t]= .

Условное мат. ожидание : M{g( )|t( )=t} – обозначение ее g₁(t). Вместо t в эту функцию подставим случ. величину  t( ), мы получим, что усл мат ожидание есть случайная величина g₁( )

M[g₁( )]=

 =

Т.о. мы доказали: M[g( )]=M[M(g( )|t)] (****)

Т. е. при вычислении мат. ожидания случ. величины g( )сначало можно вычислить условное мат. ожидание g( ), при условии t( )=t , а затем осреднить это усл. мат. ожидание по вероятностям условий.

Непрерывное распределение. Пусть  - имеет непрерывное распределение и t(x)=t(x₁, ... , x_n) – некоторые функции от n-переменных.

Определение : предел при  след. величины:

 назыв. усл. плотностью случайного вектора  при условии t( )=t и обозн. p(x|t). Пусть g(x) – некоторая функция (x1, ... ,xn). Усл. мат ожидание случ величины g( ) при условии t( )=t определяется: M{g( )|t( )=t}= .  Формула (***) имеет место и в случае, если имеет непрерывное распределение.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: