Моделирование случайных векторов

Случайным вектором (системой случайных величин) называ­ют совокупность случайных величин, совместно характеризующих какое-либо случайное явление:

X = ( Х_и Х₂, ..., Х_п),

где Xj — СВ с теми или иными законами распределения.

Данный подраздел содержит материал по методам моделиро­вания непрерывных случайных векторов, все компоненты кото­рых представляют собой непрерывные СВ.

Исчерпывающей характеристикой случайного вектора являет­ся совместная многомерная функция распределения его компо­нентов F(x_u х₂, ..., х_п) или соответствующая ему совместная мно­гомерная плотность вероятности f(x_l, x₂, ..., х„).

Проще всего моделировать случайный вектор с независимыми компонентами, для которого справедливо

т. е. каждый из компонентов случайного вектора можно моделиро­вать независимо от других в соответствии с его «собственной» плотностью вероятности .//(x,).

В случае, когда компоненты случайного вектора статистически зависимы, необходимо использовать специальные методы: услов­ных распределений; исключения (фон Неймана); линейных пре­образований.

Метод условных распределений. Метод основан на рекуррент­ном вычислении условных плотностей вероятностей для каждого из компонентов случайного вектора х с многомерной совместной плотностью вероятности/(Х], х₂, ..., х_п).

Для плотности распределения случайного вектора х можно за­писать:

YjxGf_x(X\) — плотность распределения СВ Х{,/_п(х_п/х_п__ъ х_п_₂, ..., х{) — плотность условного распределения СВ Х„ при условии: Х_х = х,;

Х₂ = х₂; ..., X„„i = x„_i.

276

Для получения указанных плотностей необходимо провести интегрирование совместной плотности распределения случайно­го вектора в соответствующих пределах:

 

Порядок моделирования следующий:

1) моделируют значение х* СВ Х_{ по закону/К*!):

где Qj — множество СВ х/,

2) моделируют значение х₂ СВ Х₂ по закону f₂(x₂/x\);

3) ...;

4) моделируют значение х*_п СВ Х_п по закону f„(x„/x*_n„_b х*_₂, ..., х?).

Тогда вектор (х*, х₂, ..., х*) и есть реализация искомого слу­чайного вектора X.

Метод условных распределений (как и метод обратной функции для скалярной СВ) позволяет учесть все статистические свойства случайного вектора. Поэтому справедлив вывод: если имеется воз­можность получить условные плотности распределения f_n(x_n /х„_ _ь х„_₂, ..., X}), следует пользоваться именно этим методом.

Метод исключения (фон Неймана). Метод является обобщением уже рассмотренного для СВ метода фон Неймана на случай п пере­менных. Предполагается, что все компоненты случайного вектора распределены в конечных интервалах х, е [а,; 6,-], / = 1, 2, ..., п. Если это не так, необходимо" провести усечение плотности рас­пределения для выполнения данного условия. Рассмотрим алго­ритм метода.

1. Генерируются (п + 1) ПСЧ

распределенных соответственно на интервалах

277

2. Если выполняется условие
то вектор

является искомой реализацией случайного вектора.

3. Если данное условие не выполняется, переходят к п. 1 и т.д.

На рис. 20.14 проиллюстрирован данный алгоритм для двумер­ного случая R_f<f(R_u R₂). Возврат к п. 1 алгоритма после «неудач­ного» моделирования п ПСЧ происходит тогда, когда точка Q окажется выше поверхности, представляющей двумерную плот­ность вероятности/(Х], х₂). Для случая, представленного на ри­сунке, в качестве (очередной) реализации двумерного случайно­го вектора следует взять пару ПСЧ (R_b R₂).

Среднюю относительную частоту «неудач» можно вычислить геометрическим способом, взяв отношение объемов соответству­ющих фигур.

Как уже отмечалось для одномерного случая, основным досто­инством метода фон Неймана является его универсальность. Од­нако для плотностей вероятностей, поверхности которых имеют острые пики, достаточно часто будут встречаться «пустые» прого­ны, когда очередные п ПСЧ бракуются. Этот недостаток тем су­щественнее, чем больше размерность моделируемого вектора п и длиннее требуемая выборка реализаций случайного вектора. На практике такие ситуации встречаются не слишком часто, поэтому метод исключений и имеет столь широкое распространение.

Метод линейных преобразований. Метод является одним из наиболее распространенных корреляционных методов, применя-

Рис. 20.14. Моделирование двумерного случайного вектора методом

фон Неймана

278

емых в случаях, когда при моделировании непрерывного «-мер­ного случайного вектора достаточно обеспечить лишь требуемые значения элементов корреляционной матрицы этого вектора (это особенно важно для случая нормального распределения, для ко­торого названное требование означает выполнение достаточного условия полного статистического соответствия теоретического и моделируемого распределений).

Идея метода заключается в линейном преобразовании случай­ного «-мерного вектора Y с независимыми (чаще всего — нор­мально распределенными) компонентами в случайный вектор X с требуемыми корреляционной матрицей и вектором математи­ческих ожиданий компонентов.

Математическая постановка задачи выглядит следующим об­разом. Даны корреляционная матрица и математическое ожида­ние вектора X:

Q=kij\\=\\M[(X_i-m_Xi)(X_j-m_Xj)]\\; М = (т_Х1,т_Х2,...,т_Хп)^т.

Требуется найти такую матрицу В, которая позволяла бы в ре­зультате преобразования

X=BY+M,                                (20.1)

где Y — «-мерный вектор с независимыми нормально распреде­ленными компонентами со стандартными параметрами, получить вектор X с требуемыми характеристиками.

Будем искать матрицу В в виде нижней треугольной матрицы, все элементы которой, расположенные выше главной диагонали, равны нулю. Перейдем от матричной записи к системе алгебраи­ческих уравнений:

(20.2)

279

Поскольку компоненты вектора Y независимы и имеют стан­дартные параметры, справедливо выражение

Почленно перемножив сами на себя и между собой соответ­ственно левые и правые части уравнений системы (20.2) и взяв от результатов перемножения математическое ожидание, получим систему уравнений вида

Как легко увидеть, в левых частях полученной системы уравне­ний находятся элементы заданной корреляционной матрицы Q, а в правых — элементы искомой матрицы В. Последовательно ре­шая эту систему, получаем формулы для расчета элементов Ь«:

Формула для расчета любого элемента матрицы преобразова­ния В имеет вид

Таким образом, алгоритм метода линейных преобразований весьма прост:

1) по заданной корреляционной матрице рассчитывают значе­ния коэффициентов матрицы преобразования В;

2) генерируют одну реализацию вектора Y, компоненты кото­рого независимы и распределены нормально со стандартными параметрами;

3) полученный вектор подставляют в выражение (20.1) и опре­деляют очередную реализацию вектора X, имеющего заданные корреляционную матрицу и вектор математических ожиданий компонентов;

4) при необходимости два предыдущих шага алгоритма повто­ряют требуемое число раз (до получения нужного количества ре­ализаций вектора X).

280

В данной главе рассмотрены основные методы генерации ПСЧ, равномерно распределенных на интервале [0; 1], и моделирова­ния случайных событий, величин и векторов, часто используе­мые в практике имитационных исследований экономических си­стем. Как правило, все современные программные средства, при­меняемые для реализации тех или иных имитационных моделей, содержат встроенные генераторы равномерно распределенных ПСЧ, что позволяет исследователю легко моделировать любые случайные факторы.

ГЛАВА 21. ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

⇐ Предыдущая41424344454647484950Следующая ⇒

Поделиться: