Моделирование случайных событий

При имитационном моделировании весьма широкого круга си­стем возникает необходимость учитывать ряд случайных факторов (перечисленных в порядке возрастания сложности моделирова-

265

Рис. 20.5. Моделирование случайных  событий

ния): случайное событие; случайную величину; случайный век­тор.

В теории вероятностей реализацию некоторого комплекса усло­вий называют испытанием. Результат испытания, регистрируемый как факт, называют событием.

Случайным называют событие, которое в результате испыта­ния может наступить, а может и не наступить (в отличие от до­стоверного события, которое при реализации данного комплекса наступает всегда, и невозможного события, которое при реализа­ции данного комплекса условий не наступает никогда). Исчерпы­вающей характеристикой случайного события является вероятность его наступления. Примерами случайных событий являются отказы в экономических системах, объемы выпускаемой продукции каж­дым предприятием за каждый день, котировки валют в обменных пунктах, состояние рынка ценных бумаг и биржевого дела и т. п.

Моделирование случайного события заключается в определе­нии («розыгрыше») факта его наступления.

Для моделирования случайного события А, наступающего в опыте с вероятностью Р_А, достаточно одного случайного (псевдо­случайного) числа R, равномерно распределенного на интервале [0; 1]. В случае попадания ПСЧ R в интервал [0; Р_А] событие А считают наступившим в данном опыте; в противном случае — не наступившим в данном опыте. На рис. 20.5 показаны оба исхода: при ПСЧ R_x событие следует считать наступившим; при ПСЧ R₂ — ненаступившим. Очевидно, что чем больше вероятность наступле­ния моделируемого события, тем чаще ПСЧ, равномерно распре­деленные на интервале [0; 1], будут попадать в интервал [0; Р_А], что и означает факт наступления события в испытании.

Для моделирования одного из полной группы N случайных несовместных событий Al, A1, ..., AN с вероятностями наступле­ния {Р_АЬ Р_А2, ..., P_AN} соответственно также достаточно одного ПСЧ R.

Для таких случайных событий можно записать:

Факт наступления одного из событий группы определяют, ис­ходя из условия принадлежности ПСЧ R тому или иному интер­валу, на который разбивают интервал [0; 1]. Так, на рис. 20.6 для ПСЧ R_x считают, что наступило событие А2. Если ПСЧ оказалось равным R₂, считают, что наступило событие A{N - 1).

266

Рис. 20.6. Моделирование полной группы несовместных событий

Если группа событий не является полной, вводят дополни­тельное (фиктивное) событие A(N+ 1), вероятность которого опре­деляют по формуле:

Далее действуют по уже изложенному алгоритму для полной группы событий с одним изменением: если ПСЧ попадает в по­следний, (N+ 1)-й интервал, считают, что ни одно из N событий, составляющих неполную группу, не наступило.

В практике имитационных исследований часто возникает необ­ходимость моделирования зависимых событий, для которых веро­ятность наступления одного события оказывается зависящей от того, наступило или не наступило другое событие. В качестве од­ного из примеров зависимых событий приведем доставку груза потребителю в двух случаях: когда маршрут движения известен и был поставщиком дополнительно уточнен и когда уточнения дви­жения груза не проводилось. Понятно, что вероятность доставки груза от поставщика к потребителю в приведенных случаях будет разной.

Для того чтобы провести моделирование двух зависимых слу­чайных событий А и В, необходимо задать следующие полные и условные вероятности:

Заметим, что если вероятность наступления события В при усло­вии, что событие А не наступило, не задана, ее можно опреде­лить по формуле

Существуют два алгоритма моделирования зависимых событий. Один из них условно можно назвать последовательным моделиро­ванием; другой — моделированием после предварительных расче­тов.

267

Рис. 20.7. Последовательное моделирование зависимых событий

Последовательное моделирование. Алгоритм последовательно­го моделирования представлен на рис. 20.7. Несомненными досто­инствами данного алгоритма являются его простота и естествен­ность, поскольку зависимые события «разыгрываются» последо­вательно — так, как они наступают (или не наступают) в реаль­ной жизни, что и является характерной особенностью большин­ства имитационных моделей. Вместе с тем алгоритм предусматри­вает троекратное обращение к датчику случайных чисел, что уве­личивает время моделирования.

Рис. 20.8. Разбиение интервала [0; 1] для реализации алгоритма модели­рования зависимых событий после предварительных расчетов

268

Моделирование после предварительных расчетов. Как легко за­метить, приведенные на рис. 20.7 четыре исхода моделирования зависимых событий образуют полную группу несовместных собы­тий. На этом основан алгоритм моделирования, предусматрива­ющий предварительный расчет вероятностей каждого из исходов и «розыгрыш» факта наступления одного из них, как для любой группы несовместных событий. На рис. 20.8 показано разбиение интервала [0; 1] на четыре отрезка, длины которых соответствуют вероятностям исходов наступления событий.

Рис. 20.9. Алгоритм моделирования зависимых случайных событий после предварительных расчетов

На рис. 20.9 представлен алгоритм моделирования, который предусматривает одно обращение к датчику случайных чисел, что обеспечивает выигрыш во времени имитации по сравнению с последовательным моделированием. Однако перед началом рабо­ты алгоритма исследователь должен рассчитать и ввести вероятно­сти реализации всех возможных исходов (естественно, эту неслож­ную процедуру можно также оформить программно, но это не­сколько удлинит алгоритм).

⇐ Предыдущая39404142434445464748Следующая ⇒

Поделиться: