Моделирование случайных величин

Как уже отмечалось, в практике создания и использования имитационных моделей весьма часто приходится сталкиваться с необходимостью моделирования важнейшего класса факторов — случайных величин (СВ) разных типов. Случайной называют пе­ременную величину, которая в результате испытания принимает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. При этом под испытанием понимают реализацию некоторого (вполне определенного) комплекса условий. В зависимости от множества возможных значений различают три типа СВ:

1) непрерывные;

2) дискретные;

3) смешанного типа.

269

Исчерпывающей характеристикой любой СВ является ее закон распределения, который может быть задан в различных формах: функции распределения — для всех типов СВ; плотности вероят­ности (распределения) — для непрерывных СВ; таблицы или ряда распределения — для дискретных СВ. В данном подразделе изло­жены основные методы моделирования СВ первых двух типов как наиболее часто встречающихся на практике.

Моделирование непрерывных случайных величин. Моделирова­ние СВ заключается в определении («розыгрыше») в нужный по ходу имитации момент времени конкретного значения СВ в соот­ветствии с требуемым (заданным) законом распределения. Наи­большее распространение получили три метода: 1) обратной функ­ции; 2) исключения (фон Неймана); 3) композиций.

Метод обратной функции. Метод позволяет при моделировании СВ учесть все ее статистические свойства. Он основан на следу­ющей теореме: если непрерывная СВ F имеет плотность вероятно­сти/(у), то СВ X, определяемая преобразованием

имеет равномерный закон распределения на интервале [0; 1].

Данную теорему поясняет рис. 20.10, на котором изображена функция распределения СВ Y.

Теорему доказывает следующая цепочка рассуждений, осно­ванная на определении понятия «функция распределения» и усло­вии теоремы:

Таким образом, получаем равенство

а это и означает, что СВ X распределена равномерно на интерва­ле [0; 1].

Рис. 20.10. Функция распределения СВ Y

270

Напомним, что в общем виде функция распределения равно­мерно распределенной на интервале [а; Ь] СВ X имеет вид

Теперь можно попытаться найти обратное преобразование функ­ции распределения F⁽~^l)(x).

Если такое преобразование существует (условием этого явля­ется наличие первой производной у функции распределения), алгоритм метода включает всего два шага:

1) моделирование ПСЧ, равномерно распределенного на ин­тервале [0; 1];

2) подстановка этого ПСЧ в обратную функцию и вычисление значения СВ Y:

При необходимости эти два шага повторяются столько раз, сколько возможных значений СВ Гтребуется получить.

Пример. Длина свободного пробега нейтрона в однородном веществе d (d > 0) имеет следующее распределение:

где a_d — среднее квадратическое отклонение длины пробега.

Тогда формула для генерации возможного значения СВ D имеет вид:

где R — ПСЧ, распределенное равномерно на интервале [0; 1].

Простота метода обратной функции позволяет сформулировать такой вывод: если обратное преобразование функции распределе­ния СВ, возможные значения которой необходимо получить, су­ществует, следует использовать именно этот метод. К сожалению, круг СВ с функциями распределения, допускающими обратное преобразование, не столь широк, что потребовало разработки иных методов.

Метод исключения (фон Неймана). Метод позволяет из совокуп­ности равномерно распределенных ПСЧ Д по определенным пра­вилам выбрать совокупность значений y_t с требуемой функцией распределения f(y).

Рассмотрим алгоритм метода.

1. Выполняется усечение исходного распределения таким обра­зом, чтобы область возможных значений СВ Гсовпадала с интер-

271

валом [а; Ь]. В результате формируется такая плотность вероятно­
сти f (у), что                                                                               /

 |

Длина интервала [а; Ь] определяется требуемой точностью мо­делирования значений СВ в рамках конкретного исследования.

2. Генерируется пара ПСЧ R_x и R₂, равномерно распределенных на интервале [0; 1].

3. Вычисляется пара ПСЧ R* и Щ по формулам:

где

На координатной плоскости пара чисел (R*; R*) определяет точку, например точку Qy на рис. 20.11.

4. Если точка Q_x принадлежит области С, считают, что получе­но первое требуемое значение СВ у_х = R*.

5. Генерируется следующая пара ПСЧ R* и R*, равномерно распределенных на интервале [0; 1], после пересчета по п. 3 зада­ющих на координатной плоскости вторую точку Q₂.

6. Если точка Q₂ принадлежит области В, переходят к модели­рованию следующей пары ПСЧ (R*; R*) и далее до получения необходимого количества ПСЧ.

Очевидно, что в ряде случаев при попадании изображающих точек в область В соответствующие ПСЧ с нечетными индексами не могут быть включены в требуемую выборку возможных значе­ний моделируемой СВ, причем это будет происходить тем чаще, чем сильнее график f*(y) по форме будет отличаться от прямо­угольника А. Оценить среднее относительное число q «пустых» обра­щений к генератору ПСЧ можно геометрическим методом, вы­числив отношение площадей соответствующих областей (В и А):

Рис. 20.11. Моделирование СВ методом фон Неймана:

А — прямоугольник, ограничивающий гра­фик плотности распределения моделируе­мой СВ; В — область прямоугольника А, на­ходящаяся выше графика f*(y); С — об­ласть прямоугольника А, находящаяся ниже графика /*0)

272

 

На рис. 20.12 показаны две функции плотности вероятности, вписанные в прямоугольники А и В соответственно. Первая функ­ция соответствует (3-распределению с параметрами л = X = 2. Вторая функция соответствует у-распределению с параметрами А, = 0,5; <т= 1.

Для первой функции q ~ 0,33; для второй — q ~ 0,92. Таким образом, для ^-распределения метод фон Неймана почти в три раза эффективнее, чем для у-распределения. В целом для многих законов распределения (особенно для островершинных и име­ющих длинные «хвосты») метод исключения приводит к боль­шим затратам машинного времени на генерацию требуемого ко­личества ПСЧ.

Главным достоинством метода фон Неймана является его уни­версальность — применимость для генерации СВ, имеющих лю­бую вычислимую или заданную таблично плотность вероятности.

Метод композиции. Применение метода основано на теоремах теории вероятностей, доказывающих представимость одной СВ композицией двух или более СВ, имеющих относительно про­стые, более легко реализуемые законы распределения. Наиболее часто данным методом пользуются для генерации ПСЧ, имеющих нормальное распределение. Согласно центральной предельной тео­реме распределение СВ Y, задаваемой преобразованием

 

где Rj — равномерно распределенные на интервале [0; 1] ПСЧ, при росте к неограниченно приближается к нормальному распре­делению со стандартными параметрами (т_у = 0; а_у = 1).

Рис. 20.12. Результаты оценки эффектив­ности метода фон Неймана

Последнее обстоятельство легко подтверждается следующим образом. Введем СВ Z и найдем параметры ее распределения, ис­пользуя соответствующие теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы СВ:

 

где т — математическое ожидание; г — значение случайных чи­сел; с_г — среднее квадратичное отклонение; Д. — дисперсия.

При равномерном распределении в интервале [0; 1] СВ имеет параметры:

Очевидно, что

и, как любая центрированно-нормированная СВ, имеет стандарт­ные параметры.

Как правило, берут к = 12 и считают, что для подавляющего числа практических задач обеспечивается должная точность вы­числений. Если же к точности имитации предъявляются особые требования, можно улучшить качество моделирования СВ за* счет введения нелинейной поправки [23]:

где у (к) — возможное значение СВ Y, полученное в результате сложения, центрирования и нормирования к равномерно распре­деленных ПСЧ R,.

Еще одним распространенным вариантом применения метода композиции является моделирование возможных значений СВ, обладающей %² распределением с п степенями свободы: для этого нужно сложить «квадраты» п независимых нормально распреде­ленных СВ со стандартными параметрами.

Возможные значения СВ, подчиненной закону распределения Симпсона (широко применяемого, например, в радиоэлектрони-

274

ке), моделируют, используя основную формулу метода при к = 2. Существуют и другие приложения этого метода.

В целом можно сделать вывод о том, что метод композиции применим и дает хорошие результаты тогда, когда из теории ве­роятностей известно, композиция каких легко моделируемых СВ позволяет получить СВ с требуемым законом распределения.

Моделирование дискретных случайных величин. Дискретные СВ достаточно часто используются при моделировании систем. Основ­ными методами генерации возможных значений дискретных СВ являются методы последовательных сравнений и интерпретации.

Метод последовательных сравнений. Алгоритм метода практи­чески совпадает с ранее рассмотренным алгоритмом моделирова­ния полной группы несовместных случайных событий, если счи­тать номер события номером возможного значения дискретной СВ, а вероятность наступления события — вероятностью приня­тия дискретной СВ этого возможного значения.

На рис. 20.13 показана схема определения номера возможного значения дискретной СВ, полученного на очередном шаге. Из ана­лиза ситуации для ПСЧ R, «попавшего» в интервал [Р,; Р_х + Р₂], следует сделать вывод, что дискретная СВ приняла свое второе воз­можное значение; а для ПСЧ R' — что дискретная СВ приняла свое (7V - 1)-е значение и т.д. Алгоритм последовательных сравнений можно улучшить (ускорить) за счет применения методов оптими­зации перебора — дихотомии (метода половинного деления); пе­ребора с предварительным ранжированием вероятностей возмож­ных значений по убыванию и т. п.

Метод интерпретации. Метод основан на использовании мо­дельных аналогий с сущностью физических явлений, описывае­мых моделируемыми законами распределения. На практике метод чаще всего используют для моделирования биномиального зако­на распределения, описывающего число успехов в п независимых опытах с вероятностью успеха в каждом испытании р и вероятно­стью неудачи q=\-_p.

Алгоритм метода для этого случая весьма прост:

rtic. 2U.1J. Моделирование дисперсной СВ методом последовательных срав­нений

275

• моделируют п равномерно распределенных на интервале [0; 1] ПСЧ;

• подсчитывают число т тех из ПСЧ, которые меньше р;

• это число т и считают возможным значением моделируемой дискретной СВ, подчиненной биномиальному закону распреде­ления.

/

Помимо перечисленных существуют и другие методы модели­рования дискретных СВ, основанные на специальных свойствах моделируемых распределений или связи между распределениями.

⇐ Предыдущая40414243444546474849Следующая ⇒

Поделиться: