Типы шкал и методы моделирования предпочтений

Экспертов

Среди задач, решаемых с помощью метода экспертных оце­нок, можно выделить три основные группы:

1) оценка имеющихся объектов (например, варианта програм­мы развития фирмы по принятому критерию);

325

2) построение объектов (например, формирование множества финансовых планов организации для последующего выбора);

3) построение объектов и их оценка (например, формирова­ние перечня показателей уровня развития предприятия, констру­ирование их шкал и оценка стратегий (исходов) развития пред­приятия по тем или иным критериям).

Рассмотрим наиболее употребительные в практике принятия решений шкалы: номинальную (или классификационную), по­рядковую, интервалов, отношений, разностей, абсолютную.

Номинальная шкала используется для описания принадлежно­сти элементов к определенным классам. Всем элементам одного и того же класса присваивается одно и то же число, а элементам разных классов — разные числа. Допустима любая замена чисел для обозначения классов, лишь бы это было взаимнооднозначное преобразование и каждый класс получил бы свое число. Это об­стоятельство и определяет множество допустимых преобразова­ний номинальной шкалы как множество всех взаимнооднознач­ных функций. Эта шкала наименее совершенная.

Порядковые шкалы используются для измерения упорядочения элементов по одному или нескольким признакам. Они позволяют установить, что один элемент лучше, важнее, предпочтительнее другого или равноценен ему. Порядковая шкала отражает лишь порядок следования элементов и не дает возможности опреде­лить, на сколько или во сколько раз один элемент предпочти­тельнее другого. Иными словами, по этой шкале нельзя опреде­лить степень предпочтительности.

Шкала интервалов позволяет указать, на сколько один эле­мент отличается от другого в принятых единицах измерения. Ин­тервальная шкала может иметь произвольные начало отсчета и масштаб. Множество допустимых преобразований данной шка­лы составляют все линейные преобразования. Основным свой­ством шкалы интервалов является сохранение отношения длин интервалов. Ее частными случаями являются шкала отно­шений (нулевое начало отсчета), шкала разностей (про­извольное начало отсчета и единичный масштаб) и абсолют­ная шкала (нулевое начало отсчета и единичный масштаб отсчета).

Номинальная и порядковая шкалы относятся к качественным шкалам. Шкалы интервалов, отношений, разностей и абсолют­ная относятся к количественным шкалам, которые позволяют установить количественные соотношения между элементами. Для количественных шкал справедливы аксиомы арифметики. Шка­ла считается тем более совершенной, чем уже множество допу­стимых преобразований. С этой точки зрения самой совершенной является абсолютная шкала, наименее совершенной — номиналь­ная.

326

В зависимости от существа или важности того или иного эле­мента и его характеристик могут быть использованы разные шка­лы. Однако при выборе шкалы необходимо учитывать, какие дей­ствия в дальнейшем предполагается проводить с оценками по выбранной шкале. Напомним, что осмысленные арифметические действия можно проводить лишь над оценками, имеющими ко­личественную шкалу.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь задач первого из трех указанных типов, так как именно на их решение ориенти­рованы существующие математические методы анализа и обра­ботки экспертной информации.

Задача получения экспертных оценок путем выявления (моде­лирования, выражения) предпочтений экспертов заключается в следующем. На множестве предъявления

 (24.1)

эксперт может реализовать свою систему предпочтений о важно­сти (значимости) каждого объекта, т. е. вынести относительно лю­бой пары объектов (J,; dj), где / = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., /, одно из трех суждений:

1) первый объект предпочтительнее второго:

2) второй объект предпочтительнее первого:

3) объекты равны по предпочтительности:

К системе (модели) предпочтений эксперта обычно предъяв­ляются следующие требования:

• полнота (связность), т.е. запрет на суждения, отличные от указанных ранее («не знаю», «не могу сравнить объекты» и т.п.);

• направленность (транзитивность), т.е. выполнение правила «если один объект предпочтительнее второго, а второй — тре­тьего, то и первый объект должен быть предпочтительнее тре­тьего»:

• устойчивость на период использования модели предпочтений,
т. е. проведения данной экспертизы.

327

Основные способы выражения предпочтений экспертов мож­но разбить на три группы: 1) элементарные суждения; 2) спосо­бы непосредственной оценки; 3) бинарные отношения.

Элементарные суждения. Элементарными суждениями приня­то называть качественные оценки объектов, полученные на по­рядковых и номинальных шкалах. К ним относятся: группировка (сортировка, классификация); балльная оценка; ранжирование; попарные сравнения; множественные сравнения.

Группировка (сортировка, классификация) состоит в том, что представленное множество предъявления разбивают на / классов и эксперт последовательно относит предлагаемые ему объекты к одному из этих классов. Внутри одного класса все объекты счита­ются равно предпочтительными. Получаемые при группировке оценки объектов имеют номинальную (классификационную) шкалу. Таким образом, группировка заключается в установлении для каждого объекта из множества предъявления следующего со­ответствия:

Примерами применения данного способа в разных сферах жизни являются формулировки, как «заслуженный мастер спорта», «во­дитель второго класса», «малое предприятие», «действительный государственный советник Российской Федерации первого клас­са» и т. п.

Балльная оценка заключается в том, что каждому элементу из множества предъявления D ставят в соответствие по определен­ным (заранее известным всем экспертам и неизменным во время данной экспертизы) правилам число (балл), характеризующее субъективное мнение эксперта о предпочтительности данного объекта:

Балльные оценки выбирают из специальной балльной шкалы, имеющей определенное число градаций (делений). Очевидно, что чем больше число градаций (так же, как и в сортировке, число классов), тем точнее и сложнее измерение предпочтительности объекта.

Примерами балльных оценок являются оценки студентов в вузе по четырехбалльной шкале с градациями (оценками) 2, 3, 4 и 5. В балльных шкалах часто проводятся экспертные оценки: экспер­ты баллами характеризуют свои субъективные мнения о предпоч­тительности объектов, оценивая, например, их товарный вид или удобство в обращении. Обычно значения (градации) балльной шкалы представляют собой ряд чисел, отстоящих друг от друга на

328

одинаковом расстоянии. Балльную шкалу принято считать проме­жуточной между качественными и количественными шкалами, поскольку само измерение носит выраженный качественный ха­рактер, а обработка оценок часто ведется количественными мето­дами (например, таким образом подсчитываются средние баллы или формируется обобщенное мнение группы экспертов).

Ранжирование (упорядочение) — это представление объектов из множества предъявления D в виде последовательности в по­рядке убывания их предпочтительности с точки зрения какого-либо свойства или нескольких свойств (такое расположение объек­тов называется ранжировкой). При этом допускается указание на равноценность некоторых поставленных рядом объектов (в этом случае ранжирование называется нестрогим). Если же указывать на равноценность объектов нельзя, то ранжирование называется строгим. Ранжирование часто представляют как оценку по ранго­вой шкале, т.е. рангом объекта можно считать номер места, кото­рое он занимает при строгой ранжировке, или «усредненный» номер при нестрогом ранжировании:

Первая часть данной записи соответствует строгому ранжиро­
ванию. В этом случае в качестве рангов используются натуральные
числа. Если же ранжирование нестрогое, в качестве рангов при­
меняются действительные числа (так называемые стандартизован­
ные ранги). При ранжировании следуют двум правилам: более
предпочтительному объекту ставят меньший (больший) ранг; рав­
ные по важности объекты должны иметь равные ранги. Если объект,
стоящий на первом месте в ранжировке, имеет наименьший ранг,
ранжирование называют прямым. Если этому объекту присвоен
наибольший ранг, ранжирование называют обратным. Например,
пусть руководитель фирмы четверых своих сотрудников ранжиро­
вал по их исполнительности следующим образом:
>"                                               :' v.--:.--, ■■ '■•;:-^:v, ■■•■:■ :                                                                  .■■ •                                                                      ' ■'■ ,'.■•;>■■

Это означает, что самым исполнительным является сотрудник, занимающий в списке фирмы второе место; за ним идут равные по исполнительности подчиненные, фамилии которых стоят в списке организации на первом и третьем местах; последний (чет­вертый) наименее исполнителен. При прямом ранжировании вто­рой сотрудник получает ранг 1; первый и третий сотрудники — стандартизованные ранги 2,5 каждый; четвертому сотруднику при­сваивается ранг 4. Если использовать обратное ранжирование, ран­ги распределятся следующим образом: второму сотруднику — 4; первому и третьему — по-прежнему 2,5; четвертому — 1. Выбор

329

прямого или обратного ранжирования для измерения предпочте­ний экспертов определяется, как правило, не научными (с этой точки зрения они абсолютно равноправны), а иными (например, традиционными) соображениями. Так, на флоте традиционно капитан 1-го ранга выше капитана 3-го ранга. Вместе с тем сле­сарь 6-го разряда является более подготовленным специалистом, нежели слесарь 2-го разряда.

Попарное сравнение состоит в указании более предпочтитель­ного объекта в каждой паре или их равноценности. Иногда разре­шается указывать на несравнимость объектов; тогда нарушается выполнение требования связности, что весьма нежелательно, по­скольку крайне затрудняет математическую обработку результа­тов такой экспертизы.

Результаты попарного сравнения удобно представлять в виде квадратной матрицы, на пересечении строки / и столбца j кото­рой ставится единица, если объект i предпочтительнее объекта j, нуль — если объекту предпочтительнее объекта /, '/₂ — если объек­ты одинаковы по предпочтительности, и прочерк, если объекты несравнимы. Представленная матрица показывает, например, что объект а предпочтительнее объекта Ь, объект b предпочтительнее объекта с, а объекты а и с несравнимы:

(Заметим, что на главной диагонали матрицы находятся оценки У₂, что указывает на равную предпочтительность каждого эле­мента самому себе.)

Метод попарного сравнения обычно применяется, чтобы вы­явить предпочтения «в чистом виде». Это объясняется тем, что он в отличие от других методов не навязывает эксперту никаких спе­циальных условий. Например, если а предпочтительнее Ь, а Ъ пред­почтительнее с, то при оценке по классификационной, балльной или порядковой шкале обязательно в силу требования транзитив­ности должно быть выполнено условие, что а предпочтительнее с. Попарное сравнение заранее не предполагает выполнения такого рода условий, поэтому считается, что качественно сравнить объек­ты в парах гораздо легче, чем выразить предпочтения в других шкалах. Принято считать, что попарное сравнение — самый про­стой и надежный способ выявления предпочтений эксперта.

Множественные сравнения представляют собой дальнейшее раз­витие и обобщение попарных сравнений, когда эксперту после­довательно предлагают наборы из нескольких объектов, а в каж-

330

дом наборе объекты надо упорядочить или же указать лучший среди них.

Способы непосредственной оценки. Попарное выражение пред­ почтений как доли суммарной интенсивности заключается в том, что эксперт указывает не только на то, что один элемент множе­ства предъявления предпочтительнее другого, но и на то, как сум­марная интенсивность (степень) предпочтения распределяется между рассматриваемыми элементами. Обычно мера суммарной интенсивности, приходящаяся на два сравниваемых элемента, при­нимается равной единице. Пусть у генерального директора фирмы имеется три варианта финансового договора {а, Ь, с) и он органи­зует экспертную оценку этих вариантов. При использовании дан­ного способа эксперт как бы делит суммарную единицу на доли для каждой пары вариантов, например 0,6 — первому и 0,4 — второму или 0,7 — первому и 0,3 — третьему. Результаты оценки записывают в соответствующую матрицу:

Заметим, что по главной диагонали этой матрицы располага­ются 0,5, а сумма элементов, симметричных относительно глав­ной диагонали, равна единице (это означает, что необходимо срав­нить лишь пары элементов, располагающиеся над (или под) глав­ной диагональю; для остальных пар элементов справедливо сле­дующее соотношение щ = 1 - а0.

Попарное выражение предпочтений как доли относительной ин­ тенсивности предусматривает, что эксперт не только указывает на то, что один элемент предпочтительнее другого, но и оцени­вает, во сколько раз первый элемент превосходит по важности второй. Оценки Щ предпочтительности эксперт выбирает по спе­циальной, как правило, балльной шкале с заданным числом гра­даций (поэтому сам способ часто называют попарным сравнени­ем с градациями). Часто используется семибалльная шкала:

• ау = 1, если сравниваемые в паре элементы равнопредпочти-тельны;

• ау = 3, если у эксперта имеются некоторые основания счи­тать, что г'-й элемент важнее j'-ro;

• «у = 5, если у эксперта имеются достаточно веские основания считать, что z'-й элемент важнее /-го;

• ау = 7, если у эксперта имеются все основания считать, что г'-й элемент важнее j-ro (такая оценка соответствует абсолютному превосходству /-го элемента наду'-м).

331

Оценки эксперта для каждой пары объектов записываются в матрицу. Порядок заполнения матрицы таков: по главной диа­гонали располагают единицы. Затем слева направо и сверху вниз, начиная с пары объектов (d_u d₂), выставляют соответствующие оценки причем только в том случае, когда z'-й элемент пред­почтительнее j'-ro или они равноценны. В противном случае оцен­ка не выставляется, и переходят к следующей паре. Для неза­полненных пар оценка определяется по правилу: щ = 1/а.у. В ка­честве оценок можно использовать и другие (промежуточные) числа из приведенной шкалы, например 4 или 6, если эксперта по каким-либо причинам не удовлетворяют основные града­ции.

Выражение предпочтений коэффициентами относительной важ­ ности заключается в том, что каждому элементу из множества предъявления эксперт ставит в соответствие действительное чис­ло, выражающее мнение эксперта относительно важности данно­го элемента среди других:

На коэффициенты относительной важности обычно наклады­вают два ограничения: 1) неотрицательности а > 0; 2) нормиро­вания

Очевидно, что данный способ предъявляет весьма высокие тре­бования к компетентности экспертов, особенно при достаточно большом числе объектов в множестве предъявления (т > 3). По­этому для определения коэффициентов относительной важности применяют либо специальные способы (например, способ частот обратных рангов), либо описанные ранее применительно к этой задаче (например, балльное оценивание или попарные сравнения с градациями).

Выражение предпочтений субъективными вероятностями исполь­зуется в случаях, когда эксперты имеют дело с необходимостью учета неопределенных факторов (прежде всего поведенческих и природных), влияющих на оценку объектов из множества предъяв­ления. Суть способа заключается в том, что эксперт для каждого объекта устанавливает следующее соответствие:

где P(dj) — оценка экспертом субъективной вероятности реали­зации некоторого комплекса неопределенных условий развития оцениваемых ситуаций (например, природных условий проведе­ния транспортной операции по доставке каких-либо товаров или

332

финансовых условий реализации программ развития фирмы при наличии конкурентов).

Свое название субъективные вероятности (в отличие от «на­стоящих») получили в силу абсолютной субъективности их опре­деления экспертами. На субъективные вероятности налагают те же ограничения, что и на коэффициенты относительной важно­сти, — неотрицательности и нормировки. Особенно часто этот способ применяется на этапе анализа экономической обстанов­ки, прогнозировании развития ситуаций с учетом природных фак­торов, оценки шансов на благоприятный исход действий и т.п. Так, субъективные вероятности реализации того или иного комп­лекса природных условий могут быть подсчитаны на основе их строгой прямой ранжировки экспертом по следующей формуле:

где г (d,) — ранг /-го состояния природы.

Если известны шансы на реализацию некоторых ситуаций (на­пример, шансы на успех некоторой коммерческой сделки оцени­ваются, как три к одному), субъективная вероятность такого со­бытия равна

где UI(d,) — шанс /-го исхода.

Для данного примера субъективная оценка успеха сделки равна

Методически присущий данному способу субъективизм экс­пертов делает необходимым учет ряда обстоятельств:

1) эксперт переоценивает вероятности малоправдоподобных событий и недооценивает вероятности весьма правдоподобных событий;

2) эксперт склонен считать событие тем более вероятным, чем легче вспоминает примеры подобных событий;

3) эксперт гораздо выше оценивает вероятность выигрыша, чем вероятность проигрыша;

4) эксперт часто не принимает во внимание объем оценивае­мой выборки;

5) эксперты зачастую независимые события рассматривают как зависимые и др.

333

Именно наличием п. 1 и 3 можно объяснить стремление многих людей участвовать в различного рода лотереях и конкурсах. Второе обстоятельство объясняет столь широкое представительство транс­ляций всякого рода розыгрышей лотерей на телевидении, сооб­щения о них в прессе и т. п. Пятое служит «математической» осно­вой для всех существующих систем игры (например, «зачерки­вать» в карточках «Спортлото» те номера, которые «давно не вы­падали», хотя при наличии «правильного» лототрона вероятность появления конкретного шара в очередном розыгрыше не зависит от предыстории).

Бинарные отношения. Для математического описания предпоч­тений широко используются бинарные отношения, которыми можно непосредственно представить результаты оценки предпоч­тений, выполненные по любому из разобранных ранее способов. Вообще бинарные отношения могут быть использованы и приме­няются на практике для описания связей самого различного ха­рактера между объектами произвольной природы.

Напомним, что отношение — это математическое понятие для обозначения подмножества прямого произведения некоторых мно­жеств:

Будем по-прежнему считать, что дано множество предъявле­ния D (см. формулу (24.1)).

Рассмотрим множество всех упорядоченных пар объектов (d_h dj) из множества D. Данное множество представляет собой прямое произведение множества D само на себя: DxD.

Бинарным отношением R на множестве объектов D называется подмножество прямого произведения множества предъявления D само на себя:

Факт принадлежности упорядоченной пары объектов (d_b dj) отношению R будем обозначать

Если же объекты (d_h d) отношением R не связаны, то этот факт записывают так:

Поскольку отношение — это подмножество специального вида, то и задавать отношение можно теми же способами, что и любое другое множество:

334

• перечислением всех элементов отношения;

• указанием общего свойства элементов отношения;

• графом;

• матрицей смежности (таблицей);

• подмножеством точек в декартовой системе координат. Пусть коммерческая фирма состоит из должностных лиц трех

категорий: генерального директора (ГД, d_}), его заместителя (ЗГД, d₂) и п их подчиненных (П„ d_h i '= 3, 4, ..., п + 2). Требуется задать отношение подчиненности R на множестве сотрудников фирмы D.

Если воспользоваться первым способом задания отношения, получим: R = {(ГД, ЗГД); (ГД, П,), ,.„ (ГД, П„); (ЗГД, ПО, ..., (ЗГД, П„)}. Очевидно, что таким образом целесообразно задавать отношения на множествах предъявления малой размерности.

Указание общего свойства элементов отношения приведет к такой записи:

При табличном способе отношение задается специальной мат­рицей — матрицей смежности, каждая строка и каждый столбец которой соответствуют некоторому объекту, а на пересечении /-Й строки и 7-го столбца ставится единица, если (d_h dj) e R, и нуль в противном случае:

 

Рис. 24.3. Граф отношения подчи­нения

335

Рис. 24.4. Задание отношения с ис­пользованием декартовой системы координат

Отношение R можно задать и в виде графа, т. е. совокупности точек (вершин), изображающих элементы множества D и соеди­ненных стрелками (дугами) по такому правилу: если (d_h dj) e R, то проводится стрелка из d, в dj. Иногда вместо точек используют круги или прямоугольники. Граф отношения подчинения для рас­сматриваемого примера подчинения представлен на рис. 24.3.

На рис. 24.4 представлен координатный способ задания отно­шения.

Перечислим свойства бинарных отношений.

1. Рефлексивность — отношение R называется рефлексивным, если для любого элемента из множества предъявления выполня­ется соотношение dRd. На графе отношения, обладающего дан­ным свойством, каждая вершина имеет петлю, а в матрице смеж­ности на главной диагонали находятся единицы.

2. Антирефлексивность — отношение R называется антирефлек­сивным, если оно может выполняться только для несовпадающих элементов, т.е. из соотношения dfidj следует, что /*/. На графе та­кого отношения нет петель, а в матрице смежности на главной диагонали стоят нули.

3. Симметричность — отношение R называется симметричным, если из соотношения dfidj следует, что выполняется и обратное соотношение djRdj. При наличии данного свойства на графе отно­шения каждой стрелке соответствует стрелка в обратном направ­лении, а в матрице смежности элементы, расположенные сим­метрично относительно главной диагонали, равны: d_tJ = dj₍.

4. Асимметричность — отношение R называется асимметрич­ным, если из двух соотношений dfidj и djRd, по меньшей мере одно невыполнимо. На графе такого отношения две вершины мо­гут соединяться только одной стрелкой, а для матрицы смежно­сти справедливо соотношение dydjt = 0.

5. Антисимметричность — отношение R называется антисим­метричным, если оба соотношения dfidj и djRd_t выполняются од-

336

новременно только при / =j. На графе такого отношения две вер­шины могут соединяться только одной стрелкой, но у каждой вершины обязательно должны быть петли. В матрице смежности справедливо соотношение dgdjt = 0, если /' ф j.

6. Связность — отношение R называется связным (полным, линейным, совершенным), если для двух любых несовпадающих элементов справедливо хотя бы одно из двух соотношений: djRdj или djRdj для / Ф]. На графе связного отношения каждая вершина соединена стрелкой с остальными вершинами.

7. Транзитивность — отношение R называется транзитивным, если из соотношений djRdj и djRd_s следует d/Rd_s. На графе транзи­тивного отношения, если одна вершина соединена стрелкой с другой вершиной через третью, должна быть стрелка, непосред­ственно соединяющая первую и третью вершины.

Приведем несколько примеров отношений с разными свой­ствами. Отношение «больше» на множестве действительных чи­сел антирефлексивно, асимметрично, транзитивно, но не связ­но в отличие от отношения «быть не меньше» на том же множе­стве, которое рефлексивно, антисимметрично, транзитивно и связно. Отношение «быть родным братом» на множестве мужчин симметрично, но не транзитивно. Отношение «быть ниже ро­стом» на множестве людей антирефлексивно, асимметрично и транзитивно.

При проведении экспертиз широкое применение находят спе­циальные отношения, обладающие фиксированным набором рас­смотренных свойств.

Эквивалентностью называют симметричное, рефлексивное, транзитивное отношение. Если последнее "свойство отсутствует, имеется другое отношение — толерантность. С помощью этих спе­циальных отношений задается классификация (сортировка).

Строгим порядком называют транзитивное, антисимметричное, рефлексивное и связное отношение. Таким отношением задается строгое ранжирование. Нестрогое ранжирование задается так на­зываемым квазипорядком — транзитивным и рефлексивным отно­шением. Если к этим свойствам добавить связность, получится связный квазипорядок, которым задаются балльная оценка, выра­жение предпочтений с помощью субъективных вероятностей и коэффициентов важности.

⇐ Предыдущая48495051525354555657Следующая ⇒

Поделиться: