Свойства функции распределения

1. Функция распределения принимает значения из промежутка : .

2. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

3. Функция распределения – неубывающая функция, т.е.  при .

4. .

5. Если , то .

6. Если , то .

14. Дискретная случайная величина – это случайная величина, обозначаемая X называется дискретной, если она принимает конечное, или бесконечное, но счетное значение. Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где  – возможные значения случайной величины, а p_i – вероятности с которыми она принимает эти значения, причем  . Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, причем сумма вероятностей должна быть равна 1. Таблица называется рядом распределения. Для наглядности изображается графически, отмечая точки, строя прямоугольник распределения.

 

15. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. СВ наз непрерывной, если она может принимать значен, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Непрерывной св наз такую св X, множество значений кот есть некоторый числовой интервал или если функция распределения непрерывна. Св Х наз непрерывной, если функция распределена непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. Теорема: вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю. Следствие: если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым. Распределением непрерывной случайной величины называется совокупность вероятностей. P (a £ x £ b), для любых a,bÎR. Непрерывная случайная величина. В отличие от случая дискретной случайной величины в данном случае  пробегает все непрерывное множество значений, а сама функция  возрастает монотонно. Если вероятность события  равна , а вероятность события  равна , то вероятность того, что случайная величина  заключена между  и  равна разности соответствующих значений функции распределения: . Вероять того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю. Имеет смысл рассматривать лишь вероятность попадания ее в некоторый интервал, пусть даже и сколь угодно малый. График функции распределения для дискретной св представляет собой ступенчатую разрывную функцию, а непрерывной –монотонно возрастающую непрерывную функцию. Определение: плотностью вероятности непрерывной случайной величины наз производная ее функции распределения: . Свойства:

1) плотность вероятности есть – неотрицательная функция, т.е. ;

2) вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал  равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b, т.е. P (a £ X £ b) = , геометрически это площадь криволинейной трапеции;

3) функция распределения непрерывной случайной величины может выражена через плотность вероятности по формуле: F(x)= ;

4) несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной св равен единице: .

16. Функция одной случайной величины. Очень часто результат испыт характеризуется не одной св, а некоторой системой св X ₁ , X ₂ , …, X_n, кот наз также многомерной ( n -мерной) случайной величиной или случайным вектором Х= ( X ₁ , X ₂ , …, X_n ). Примеры многомерных случайных величин: 1) успеваемость выпускника вуза характеризуется системой n случайных величин X ₁ , X ₂ , …, X_n – оценками по различным дисциплинам, поставленным в приложении к диплому; 2) погода в данном месте в определенной время суток может быть охарактеризована системой случайных величин:  – температура,  – влажность,  – давление,  – скорость ветра и т.п. В теоретико-множественной трактовке любая св есть функция элементарных событий , входящих в пространство элементарных событий . Поэтому и многомерная св есть функция элементарных событ : ( X ₁ , X ₂ , …, X_n )= т.е. каждому элементарному событию  ставится в соответствие несколько действительных чисел х₁, х₂, …, х _n, кот приняли св X ₁ , X ₂ , …, X_n в результате испыт. В этом случае вектор х= (х₁, х₂, …, х _n ) наз реализацией случайного вектора Х= ( X ₁ , X ₂ , …, X_n ). Случайные величины X ₁ , X ₂ , …, X_n, входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными. Наиболее полным, исчерпывающим описанием многомерной случайной величины яв закон ее распределения. При конечном множестве возможных значений многомерной св такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных св, входящих в систему, и соответствующие им вероятности. Так, если рассматривается двумерная дискретная св ( X , Y ), то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы (матрицы) распределения, в каждой клетке (i, j) кот располагаются вероятности произведения событий p_ij= P[(X=x_i) (Y=y_j)].

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: