Мат ожидание дискретной и непрерывной св и их св-ва

Мат ожидание характеризует среднее ожидаемое значение св, т.е. приближенно равно ее среднему знач (вероятностный смысл математического ожидания). Математическое ожидание характеризует положение св на числовой оси и принимается за среднее значение, вокруг кот происходит разброс возможных значений св. При малом разбросе возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания можно им пренебречь и считать, что данная величина полностью характеризуется ее математическим ожиданием, т.е. она неслучайна. Если же математическое ожидание мало, а разброс велик, то пренебрежение им, т.е. неучет случайности данной величины, приведет к недопустимым ошибкам. Математическим ожиданием для дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, определяется по данной формуле:  Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл (абсолютно сходящийся), все возможные значения кот принадлежат всей числовой оси и определяется по формуле: . 

Свойства математического ожидания для дискретных и непрерывных случайных величин:

1. Мат ожидание постоянной величины С равно постоянной величине, т.е. M ( C ) = C .

2. Постоянный множитель можно вынести за знак мат ожидания, т.е. M ( CX )= CM ( X ).

3. Мат ожидание суммы св равно сумме их мат ожиданий, т.е. M ( x ₁ +………..+ x_n )= M ( x ₁ )+………….+ M ( x_n ).

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M ( x ₁ × …. × x_n )= M ( x ₁ ) × …. × M ( x_n ).

18. Дисперсия св и ее свойства. На практике часто требуется оценить рассеяние св вокруг ее среднего значения. Использовать в качестве такой характеристики отклонение  св  от ее мат ожидания  не представляется возможным. Теорема. Для любой св  мат ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.

Доказательство . Действительно, учитывая, что M(X) – постоянная величина, имеем:  Такой характеристикой степени рассеяния св  яв дисперсия. Дисперсией (рассеянием) св  наз мат ожидание квадрата отклонения этой величины от ее мат ожидания: – определение или  – для практических расчетов. Дисперсия для дискретной св:

Дисперсия для непрерывной св:  или .

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. Д(С)=0.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. Д(СХ)=С²Д(Х).

3) Дисперсия суммы независимых случайных величин есть сумма их дисперсий, т.е. Д(х₁+…+ x_n )=Д(х₁)+…+Д(х _n ).

19. Корреляц момент и коэфт корреляции и их свойства. Определение. Корреляцией (или коррел моментом)  св Х и Y наз мат ожидание произвед отклонений этих величин от своих мат ожиданий, т.е.  или , где  – , – . Ковариация двух св характеризует как степень зависимости св, так и их рассеяние вокруг точки . Об этом, в частности, свидетельствуют св-ва ковариации св:

1. ковариация двух независимых св равна 0.

2. ковариация 2 св = мат ожиданию их произведения минус произведение их математических ожиданий.

3. ковариация двух св по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений.

Ковариация, как уже отмечено, характеризует не только степень зависимости двух св, но и их разброс, рассеяние. Кроме того, она – величина размерная, ее размерность определяется произведением размерностей св. Это затрудняет испол ковариации для оценки степени зависимости для различных св. Этих недостатков лишен коэф корреляции.

Определение. Коэффициент корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратичсеких отклонений этих величин:  . Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэф корреляции прин знач на отрезке [-1;1], т.е. -1 £ £ 1. 2. Если св независимы, то коэф корреляции = нулю ( ). Св наз некоррелированными, если их коэф корреляции = 0. Таким образом, из независимости св след их некоррелирован.

3. Если коэф корреляции двух св = (по абсолютной величине) 1 (или вообще отличен от нуля), то между этими св существует линейная функциональная зависимость.

20.Моменты случайной величины. Ассиметрия и эксцесс. Среди числовых характеристик случайных величин особое значение имеют моменты: начальные и центральные. Начальным моментом k-ого порядка случайной величины Х яв мат ожидание k-ой степени этой величины, т.е. . Центральным моментом k-ого порядка св Х яв мат ожидание k-ой степени отклонения св Х от ее мат ожидания, т.е. .

ДСВ