Устойчивость периодических решений.

Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. ,   (4)

где . По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу , где  — неособая w-пери­одическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной,  — жорданова матрица, собственные числа  которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа , когда  постоянна. Учитывая, что , где  — мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

 

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения : , где . Поэтому можно сделать вывод, что при  оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при  мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при  уравнение  неустойчиво, а при  оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

2.4. Классификация положений равновесия
системы второго порядка.

Исследуем на устойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть , где . Как было показано в пункте 1.4, тип особой точки такой системы определяется корнями характеристического уравнения  или . Его корни можно найти по формуле

.

Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.

1)  вещественны, различны и  ( ). Параметрические уравнения траекторий: . Положение равновесия называется узел. Если корни  положительны ( ), то решения будут неограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.

Если  отрицательны ( ), то решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Особая точка — устойчивый узел.

               

2)  вещественны и  ( ). В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво.

3)  комплексно-сопряженные, но не чисто мнимые ( ). Решение в полярных координатах запишется в виде , где . Если  ( ), то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.

Если  ( ), то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.

             

4)  ( ). Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение равновесия является устойчивым, но не асимптотически.

5) . Если , то получаем неустойчивый узел, либо вырожденный, либо дикритический. Если , положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

         

6) Один из корней равен нулю (например ). Траекториями являются прямые, параллельные друг другу. Если , то получаем прямую неустойчивых особых точек. Если , то прямая будет содержать устойчивые особые точки.

7) Оба корня равны нулю. Тогда . Особая точка неустойчива.

 

Пример. Рассмотрим систему . Положение равновесия находится из уравнения , или , откуда . Следовательно, положение равновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид:

.

Найдем координаты преобразования , приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду . Дифференцируя эти уравнения и подставляя в исходную систему, получаем:

откуда с учетом , a — произвольное, , g — произвольное. Получаем преобразование . Определим новое положение осей:

Решение системы  запишется в виде , а исходной системы отсюда . Схематическое изображение траекторий:

 

Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь три вещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. В зависимости от расположения этих корней  на плоскости  возможно 10 " грубых" случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-5')) и ряд " вырожденных" (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаи кратных корней здесь не рассматриваются.

Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4. Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.

Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи 1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.

 

Рис. 3. Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены ,
светлым — начало координат.

 

Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: