Теоремы второго метода Ляпунова.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Теорема 1. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV есть отрицательная функция. Тогда решение уравнения (1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Пусть e — произвольная положительная постоянная, . Положим при . Так как V определенно-положительная, то . По l найдем такое, чтобы . Рассмотрим решение при . Покажем, что

. (5)

Пусть (5) не имеет места. Тогда существует такое, что , а при . В силу (3) и условия теоремы функция является при невозрастающей функцией t. Так как , то , тогда тем более , что противоречит определению T и тому, что . Таким образом, импликация (5) имеет место, а это и означает по определению устойчивость решения по Ляпунову. Теорема доказана.

Следствие. Если уравнение (1) имеет в области G определенно-положительный интеграл, не зависящий от t и уничтожающийся в начале координат, то решение устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова , такая, что DV определенно-отрицательная при . Тогда решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Условия теоремы 1 выполнены, и решение устойчиво по Ляпунову. Следовательно, существует такое, что

при . (6)

Из определения асимптотической устойчивости в силу (4) заключаем, что достаточно доказать импликацию при . В силу (3) и условия теоремы — строго убывающая функция t.

Предположим, что теорема неверна. Тогда

. (7)

Отсюда, из (6) и (4) следует, что при . По условию теоремы , где — определенно-положительная функция. Пусть . Из (3) следует, что при всех , что противоречит определенной положительности . Полученное противоречие доказывает теорему.

В случае когда уравнение автономно, условия теоремы (2) можно ослабить.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) автономно, выполнены условия теоремы 1 и множество не содержит целиком полных траекторий уравнения (1), за исключением положения равновесия . Тогда решение асимптотически устойчиво.

Доказательство. Используем доказательство теоремы 2 до формулы (7) включительно. Далее, пусть — w-предельная точка траектории . Из определения w-предельной точки и (7) следует, что . По первому свойству предельных множеств (п. 1.3.) все точки траектории являются w-предельными для траектории . Следовательно, для всех t, при которых определено решение , . Отсюда и из (3) следует, что при указанных t , что противоречит условию теоремы, так как не совпадает с началом координат. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим уравнение движения диссипативной системы с одной степенью свободы , где удовлетворяют условию Липшица при , удовлетворяет условию при и при . Докажем, что положение равновесия асимптотически устойчиво.

Соответствующая система двух уравнений имеет вид

В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию системы .

В силу условия V —определенно-положительная функция, при этом

Следовательно, DV —отрицательная функция и множество M — интервал оси абсцисс при . Так как при при , то множество M не содержит целых траекторий, отличных от положения равновесия .

По теореме 3 решение системы асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Перейдем к рассмотрению неустойчивости. Пусть — функция Ляпунова. Обозначим через любую связную компоненту открытого множества с началом координат на ее границе.

Теорема 4. Пусть существует функция Ляпунова такая, что не пусто и при . Тогда решение уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть . Будем рассматривать решения с начальной точкой . Достаточно показать, что для каждого из этих решений можно указать момент T (для каждого решения свой) такой, что .

Пусть это неверно, т. е. существует решение , удовлетворяющее при всех неравенству . Покажем, что траектория решения принадлежит при . Действительно, по определению она может покинуть область только через ту часть ее границы, где . Но это невозможно, так как и при возрастании функция строго возрастает, пока , в силу (3).