Выражение для формы свободных колебаний пластины

 

Свободно опертая пластина. Точное решение уравнения (3.6) может быть получено лишь для некоторых сравнительно простых вариантов закрепления сторон опорного контура пластины. Так, в случае свободно опертой пластины можно удовлетворить точно всем граничным условиям, если принять для функции w_n (x, у) выражение вида:

 

 (3.9)

 

где параметры n=1, 2, 3… и p=1, 2, 3… характеризуют форму (тон колебаний) свободных колебаний пластины в направлениях соответственно " x" и " у".

3.10 Общее выражение для определения значений частот свободных колебаний пластины

 

Подставив выражение (3.7) в дифференциальное уравнение (3.6), из условия неравенства нулю коэффициента Апр получим уравнение для определения частот λ пр рассматриваемой свободно опертой пластины:

 

 (3.10)

3.11 Расчёт значения частоты первого тона (n=1; p=1) свободных колебаний пластины при отсутствии действия усилий в срединной плоскости

 

Интенсивность нагрузки на пластину от её веса и присоединённых масс воды:

 

p = p_пл+ p_в = γ _с h + к γ в = 7, 85·10³·0, 020 + 0, 95·1, 025·10³·0, 42 = 408, 9 кгс/м²

 

Найдем интенсивность массы с учетом интенсивности нагрузки на пластину от её веса и присоединённых масс воды:

 

,

.

 

При  и  равно 0:

 

.

 

3.12 Расчёт значения частоты первого тона (n=1; p=1) свободных колебаний пластины при действии усилий в срединной плоскости только в направлении " ox" (4 варианта значения усилий по отношению к заданному значению: 0.5; 1.0; 2.0; 3.0)

 

, .

Тогда при Т₁^/ = 0, 5Т₁ (" +" - растяжение):

 

 

при Т₁^/ = 0, 5Т₁ (" -" - сжатие):

 

 

при Т₁^/ = Т₁ (" +" - растяжение):

 

 

при Т₁^/ = Т₁ (" -" - сжатие):

 

 

при Т₁^/ = 2Т₁ (" +" - растяжение):

 

 

при Т₁^/ = 2Т₁ (" -" - сжатие):

 

при Т₁^/ = 3Т₁ (" +" - растяжение):

 

 

при Т₁^/ = 3Т₁ (" -" - сжатие):

 

.

 

3.13 Расчёт значения частоты первого тона (n=1; p=1) свободных колебаний пластины при действии заданных значений усилий в срединной плоскости в направлении " oy" и одновременном действии усилий в срединной плоскости в направлении " ox" (4 варианта значения усилий по отношению к заданным: 0.5; 1.0; 2.0; 3.0)

 

,

.

 

тогда при Т₁^/ = 0, 5Т₁ и Т₂^/ = 0, 5Т₂ (" +" - растяжение):

 

,

 

при Т₁^/ = 0, 5Т₁ и Т₂^/ = 0, 5Т₂ (" -" - сжатие):

 

при Т₁^/ = Т₁ и Т₂^/ = Т₂ (" +" - растяжение):

 

,

 

при Т₁^/ = Т₁ и Т₂^/ = Т₂ (" -" - сжатие):

 

,

 

при Т₁^/ = 2Т₁ и Т₂^/ = 2Т₂ (" +" - растяжение):

 

,

 

при Т₁^/ = 2Т₁ и Т₂^/ = 2Т₂ (" -" - сжатие):

 

 

при Т₁^/ = 3Т₁ и Т₂^/ = 3Т₂ (" +" - растяжение):

 

,

при Т₁^/ = 3Т₁ и Т₂^/ = 3Т₂ (" -" - сжатие):

 

 

Приведение результатов расчётов значений частоты первого тона свободных колебаний пластины в сводной таблице

 

значения усилий Т1 и Т2		значения частоты первого тона свободных колебаний пластины, Гц
		при отсутствии действия усилий в срединной плоскости	при действии заданных значений усилий в срединной плоскости
			только в направлении " ox"	в направлении " ox" и " oy"
0		1210, 18
0, 5	растяжение		1442, 4	1478, 4
	сжатие		943, 3	542, 7
1	растяжение		1574, 8	1614, 2
	сжатие		515, 4	191, 8
2	растяжение		1739, 5	1856, 01
	сжатие		206, 1	---
3	растяжение		1912, 2	2070, 4
	сжатие		---	---

 

3.15 Исследование динамической устойчивости пластины: определение значений эйлеровых усилий в направлении оси " ox" из условия, что значение частоты первого тона (n=1; p=1) свободных колебаний пластины равно нулю (как при одновременном действии значений заданных усилий в срединной плоскости в направлении " oy" так и при их отсутствии)

 

При λ _пр= 0 и Т₂ = 0:

 

Т₁ = {-D· [ (nπ /a) ² + (pπ /b) ²] ² - Т₂· (pπ /b) ² - k₀}/ (nπ /a) ², тогда

Т₁ = {-15384, 6· [ (3, 14/0, 95) ² + (3, 14/0, 95) ²] ² - 0 - 0}/ (3, 14/0, 95) ² = - 61, 6·10⁵ кгс/м.

Для того чтобы значение частоты первого тона (n=1; p=1) свободных колебаний пластины было равно нулю, при отсутствии заданных усилий в срединной плоскости в направлении " oy", необходимо приложить сжимающие усилия в срединной плоскости в направлении " ox" равным Т₁ = - 71, 6·10⁵ кгс/м.

При λ _пр= 0 и Т₂ = 8·10⁵кгс/м (" +" - растяжение):

 

Т₁ = {-15384, 6· [ (3, 14/0, 95) ² + (3, 14/0, 95) ²] ² - 8·10⁵· (3, 14/0, 95) ² - 0}/ (3, 14/0, 95) ² =-75, 1·10⁵ кгс/м

 

Для того чтобы значение частоты первого тона (n=1; p=1) свободных колебаний пластины было равно нулю, при действии заданных усилий на растяжение в срединной плоскости в направлении " oy", необходимо приложить сжимающие усилия в срединной плоскости в направлении " ox" равным Т₁ = - 75, 1·10⁵ кгс/м.

При λ _пр= 0 и Т₂ = - 8·10⁵кгс/м (" -" - сжатие):

 

Т₁ = {-15384, 6· [ (3, 14/0, 95) ² + (3, 14/0, 95) ²] ² + 8·10⁵· (3, 14/0, 95) ² - 0}/ (3, 14/0, 95) ² =-52, 3·10⁵ кгс/м

Для того чтобы значение частоты первого тона (n=1; p=1) свободных колебаний пластины было равно нулю, при действии заданных усилий на сжатие в срединной плоскости в направлении " oy", необходимо приложить сжимающие усилия в срединной плоскости в направлении " ox" равным Т₁ = - 52, 3·10⁵ кгс/м.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: