Волгодонский инженерно-технический институт -

Волгодонский инженерно-технический институт -

филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

(ВИТИ НИЯУ МИФИ )

Лекционный материал по дисциплине

«Математические методы в инженерии»

Направление подготовки: 15.04.01 «Машиностроение»

Наименование образовательной программы академической магистратуры: «Оборудование и технология сварочного производства в энергетическом

машиностроении»

Уровень образования: магистратура

Форма обучения: очная

г. Волгодонск, 2018 г.

Математическое моделирование технологических процессов

Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование.

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или реальный, изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объекта, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой. Иногда построенная схема отражает какие - то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Из всей совокупности моделей мы выделим, и будем изучать как наиболее распространенные математические модели.

Существуют различные определения математических моделей.

1. Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

2. Математической моделью называется некий математический объект, поставленный в соответствие реальному объекту и описывающий этот объект с требуемой точностью.

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими. Стохастические модели – это модели использующие случайные величины, вероятностные методы и законы, а детерменированные модели- это модели, в которых отсутствует элемент случайности, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными, описывающими объект или явления, и их изменения регламентируются строгими законами природы (физики, химии, биологии и т. д.), исключающими случайность.

По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими.

Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров, характеризующих объект.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому в процессе изменения каких-либо параметров (в частном случае, времени).

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают отдельные изолированные значения.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Существуют различные определения математических моделей.

По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими.

Округление.

Часто возникает необходимость в округлении числа а, т.е. замене его числом а* с меньшим числом значащих цифр. Возникающая при такой замене погрешность называется погрешностью округления.

Существует несколько способов округления числа до п значащих цифр:

- усечение, т.е. отбрасывание всех цифр, расположенных справа от п-ой значащей цифры;

- более предпочтительным является округление по дополнению: если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые цифры остаются без изменения, в противном случае в младщий сохраняемый разряд добавляется единица.

Абсолютная величина погрешности округления при округлении по дополнению не превышает половины единицы разряда, соответствующего последней оставляемой цифре, а при округлении усечением – единицы того же разряда. Границы абсолютной и относительной погрешностей принято всегда округлять в сторону увеличения.

Погрешности арифметических операций над приближенными числами.

Пусть a * и b * - приближенные значения чисел a и b.

Теорема 1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей, т.е.

D(a * ± b *) £ D(a *) + D(b *). (5)

Доказательство.

D(a* ± b*) = ½ (a ± b) - (a* ± b*)½ =½ (a – a*) ± (b – b*)½ £ D(a*) + D(b*).

Теорема 2. Пусть a и b - ненулевые числа одного знака. Тогда справедливы неравенства

d(a * ± b *) £ d_max, d(a * ± b *) £ nd_max, (6)

где d_max = max{d(a*), d(b*)}, n = ½ a + b½ /½ a - b½.

Погрешность функции.

Пусть f( x) = f( x₁, x₂, …, x_m) – дифференцируемая в области G функция т переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов х₁*, х₂*, …, х_т*. Такая ситуация возникает например, всякий раз, когда на ЭВМ производится расчет по формуле. Важно знать, какова величина неустранимой ошибки, вызванной тем, что вместо значения y = f( x) в действительности вычисляется значение y* = f( x*), где х* = (х₁*, х₂*, …, х_т*).

Введем определение отрезка в т-мерном пространстве. Отрезком, соединяющим точки х и х* в т-мерном пространстве, называется множество точек вида aх+(1- a)х*, 0 £ a£ 1. Пусть [х, х*] – отрезок, соединяющий точки х и х*, и .

Теорема 3.

Для абсолютной погрешности значения у* = f( x*) справедлива следующая оценка:

Метод Гаусса

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на точные и приближенные.

Метод решения задачи относят к классу точных, если в предположении отсутствия округлений с его помощью можно найти решение в результате конечного числа арифметических и логических операций.

Метод Гаусса относится к точным методам решения систем линейных уравнений вида , где Х – вектор-столбец неизвестных , - матрица коэффициентов, В – вектор-столбец свободных членов . Как известно из курса линейной алгебры, метод Гаусса заключается в приведении матрицы системы к треугольному виду (прямой ход метода) и затем в последовательном нахождении неизвестных (обратный ход)_.

Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Обозначим через - коэффициенты системы, а через - правые части уравнений, полученные на k-м шаге ( ). Преобразование коэффициентов осуществляется следующим образом:

В результате получаем систему, характеризуемую треугольной матрицей, на главной диагонали которой стоят единицы.

Полученная система уравнений имеет вид:

Нахождение неизвестных при обратном ходе метода осуществляется по формуле:

На практике при рассмотрении метода Гаусса для того, чтобы избежать деления на нуль, применяют модифицированный метод Гаусса с выбором ведущего элемента. При этом при прямом ходе метода Гаусса перед началом каждого шага переставляют строки таким образом, чтобы первый ненулевой элемент верхней строки был наибольшим по абсолютной величине в своем столбце.

Одним из преимуществ применения метода Гаусса является то, что системы с одинаковой левой, но различными правыми частями можно решать одновременно. Для этого прямой ход метода применяется к матрице .

Метод Гаусса можно применять для нахождения определителя матрицы системы. В этом случае используется только прямой ход метода, и определитель матрицы будет находиться по формуле:

где - сумма индексов переставлявшихся строк.

для нахождения обратной матрицы прямой ход метода Гаусса применяется к матрице , где А – исходная матрица, Е – единичная матрица. Преобразованиями, аналогичными указанным выше, ее можно привести к виду .

Основным недостатком метода Гаусса является большое число выполняемых в процессе решения арифметических операций - .

3.2. Метод простых итераций

Точные методы решения линейных систем применяются для систем относительно небольшой размерности (до 10³). Для решения систем больших размерностей применяются итерационные методы, в частности, метод простых итераций.

Метод состоит в том, что система уравнений преобразуется к виду , и ее решение находится как предел последовательности

Теорема 3.1. Пусть имеется система линейных уравнений вида (где С - невырожденная квадратная матрица). Предположим, - произвольный вектор (начальное приближение). Построим последовательность векторов

- последовательные приближения (итерации).

В указанных условиях решение системы существует и единственно; при этом последовательные приближения сходятся к решению x* со скоростью геометрической прогрессии.

Метод Зейделя

Пусть дана система уравнений . Предположим, что все диагональные элементы матрицы А отличны от нуля: ( , ).

Поделим каждое i -тое уравнение на a_ii:

В правой части каждого из уравнений оставим только i–е неизвестные:

Тогда система запишется в виде x = Cx + d, где

Выберем начальное приближение . Каждое следующее приближение вычисляется по следующим формулам:

где - i-я компонента k-го приближения.

Данный метод похож на метод простых итераций ( ), однако скорость сходимости метода Зейделя выше, поскольку в процессе вычислений используются уже найденные компоненты более точного решения.

Для сходимости метода Зейделя достаточно выполнение условия:

Метод бисекций

Пусть задана непрерывная функция , и требуется найти корни уравнения .

Первым этапом решения является локализация корней, которая заключается в определении отрезка [а, b], на котором функция принимает значения разных знаков, т.е. . Тогда по теореме Больцано-Коши внутри отрезка существует такая точка c, что . Определение числа корней функции и выделение содержащих их отрезков осуществляется с помощью исследования графика функции.

Пусть отрезок [a, b] определен. Итерационный метод бисекций состоит в построении вложенных последовательности отрезков , на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти корень функции с любой заданной точностью.

Опишем один шаг итераций. Пусть на (п-1)-м шаге найден отрезок такой, что . Разделим его пополам точкой и вычислим значение . Если , то c – корень уравнения. Если , то из двух половин отрезка выберем ту, на концах которой функция принимает разные знаки, т.к. корень находится в этой половине:

, если ,

, если .

Если точность нахождения корня e задана, то итерационный процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка станет не меньше 2e. Тогда координата середины отрезка и есть значение корня с требуемой точностью.

Метод бисекций – надежный способ отыскания простых корней функции. Он сходится для любых непрерывных, в том числе и недифференцируемых функций, однако скорость сходимости невелика. Для достижения заданной точности e необходимо совершить N итераций, где

Метод неприменим для отыскания кратных корней четного порядка. В случае отыскания корней нечетной кратности он менее точен.

Метод итераций

Рассмотрим уравнение вида .

Функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [a; b] с константой , если справедливо следующее неравенство:

Теорема 4.1. Пусть функция определена на некотором отрезке
[x₀; x₀+ r] и удовлетворяет на нем условию Липшица с константой (0< a< 1). Пусть также справедливо условие .

Тогда на этом отрезке функция имеет единственный корень, который может быть найден как предел последовательности приближений:

где x ₀ - начальное приближение, .

Аппроксимация функций

Постановка задачи

Во многих случаях встает проблема замены функции одной или многих переменных близкой ей функцией, чаще всего многочленом. Подобная задача может возникнуть в следующих ситуациях:

1) Решение задачи требует многократного вычисления значения функции в различных точках. Если задана громоздким аналитическим выражением, то для ускорения времени вычислений естественно заменить (аппроксимировать) исходную функцию близкой к ней функцией так, чтобы

где e - точность аппроксимации. При этом вычисление должно быть более быстрой процедурой, чем вычисление . Во многих случаях в качестве выбирается полином некоторой степени.

2) Предположим, что функция задается своими значениями в узлах . В памяти эти значения хранятся в виде двумерного массива . При большом п хранение и обработка этой таблицы могут оказаться слишком обременительными. В этом случае проще подобрать близкую функцию , зависящую от небольшого числа параметров, и работать не с табличными данными, а с аналитическим выражением.

3) Описанная выше таблица значений функции может представлять результаты какого-либо эксперимента. В этом случае перед экспериментатором стоит задача поиска эмпирической закономерности, наилучшим образом описывающей полученные результаты.

Во всех перечисленных случаях точность приближения зависит от введенной в качестве меры близости нормы. В зависимости от того, какая норма рассматривается, различают различные задачи аппроксимации.

Если в пространстве функций введена равномерная непрерывная норма

то задача называется задачей равномерного приближения.

Если рассматривается среднеквадратичная интегральная норма

или согласованная с ней дискретная норма

то задача называется задачей среднеквадратичного приближения.

5.2. Многочлен Тейлора

Пусть функция . Тогда в качестве аппроксимирующей функции берем многочлен Тейлора в некоторой точке х₀:

при этом в точке х₀ совпадают значения не только самой функции и многочлена тейлора, но и их производных:

Оценка погрешности приближения следует из формулы остаточного члена формулы Тейлора:

Тогда погрешность в точке х равна:

(5.1)

Так как , то непрерывна на этом отрезке и, следовательно, достигает своего максимума. Обозначим

Тогда

. (5.2)

В целом на отрезке [a; b] погрешность аппроксимации не превосходит:

. (5.3)

Приближение многочленом Тейлора обладает существенными недостатками. Во-первых, для его вычисления необходимо знать не только саму функцию, но и ее производные, что не всегда возможно. Во-вторых, многочлен Тейлора гарантированно совпадает с только в одной точке х₀. И, наконец, из (5.2) следует, что погрешность сильно зависит от точки, в которой мы ищем приближение: чем ближе к концам отрезка, тем погрешность аппроксимации больше.

Численное интегрирование

Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является составной частью решения полной проблемы. Вычисление площадей и объемов, определение центра и моментов инерции тел, вычисление значения работы, произведенной некоторыми силами, и многие другие задачи приводят к интегрированию функций.

Известно, что некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций могут уже не выражаться через элементарные функции. Тогда, если нет возможности выразить интеграл в известных специальных функциях, для которых имеются таблицы или программы вычисления на ЭВМ, то применяется приближенное численное интегрирование. Кроме того, если функция задана таблично, то приближенное определение интеграла также выполняется численно.

Квадратурной формулой называется приближенное равенство, выражающее значение интеграла от функции через значения этой функции в точках, взятые с некоторыми коэффициентами:

Точки x_i называются узлами, а коэффициенты q_i - весами квадратурной формулы. Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени n, если при подстановке вместо f( x) любого многочлена степени не больше n она обращается в точное равенство.

Метод прямоугольников

Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в окрестности нуля, т.е.
fÎ C²[- h/2; h/2].

Рассмотрим функцию :

F(0)=0; F ^/= f; F ^// = f^/; F^/// = f^//.

Запишем для F формулу Тейлора в точках - h/2 и h/2:

где , 0< x₁< h/2 и - h/2< x₂< 0.

По теореме Ньютона-Лейбница:

Т.к. вторая производная непрерывна, то по теореме о среднем существует точка x такая, что .

Тогда:

Таким образом, можно положить:

при этом погрешность вычисления интеграла составит: ,

где ξ – некоторая точка из интервала (h/2, h/2)

Геометрически квадратурная формула прямоугольников означает, что площадь под интегрируемой кривой заменяется на площадь прямоугольника с основанием, равным отрезку интегрирования, и высотой, равной f(0) (рис.6.1).

Рис.6.1. Метод прямоугольников

Полученная формула имеет 3-й порядок точности (h³) и точна для многочленов 1-й степени.

Пусть теперь функция задана на некотором произвольном отрезке [а; b]: fÎ C²[a; b]. Разбиваем [a; b] на N отрезков с шагом h:

h = ( b- a)/ N, x _i = a + ih, f_i= f( x_i).

Используя аддитивность определенного интеграла и применяя на каждом маленьком отрезке формулу прямоугольников получаем:

– составная формула прямоугольников.

При этом погрешность приближения:

Метод трапеций

Пусть функция fÎ C² [0; h]. Обозначим , . В качестве приближенного значения интеграла берем площадь трапеции (рис. 6.2):

Рис.6. 2. Метод трапеций

Рассчитаем погрешность, используя формулу Тейлора с интегральным остаточным членом:

Для подынтегральной функции получаем:

(6.1)

Учитывая свойства функции , имеем

(6.2)

Умножим (6.1) на h/2:

Выразим (h/2)f₀:

Заменим в формуле (6.2): , тогда

Полагая:

получаем, что погрешность вычисления интеграла равна:

Полученная формула имеет 3-й порядок точности и точна для многочленов 1-й степени.

h = ( b- a)/ N, x _i = a + ih, f_i= f( x_i).

Рассуждая аналогично методу прямоугольников, получим:

- составная формула трапеций

При этом погрешность приближения:

Метод Симпсона

Пусть fÎ C⁴[-h; h]. В качестве приближенной площади под кривой берем площадь параболы через точки -h и h (рис. 6.3).

Рис.6.6. Метод Симпсона (парабол)

Общее уравнение параболы имеет вид: .

Подставив точки (-h; f(-h)), (0; f₀) и (h; f(h)), определим коэффициенты и получим:

где .

Тогда:

Получаем:

Погрешность приближенного вычисления интеграла определяется с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме аналогично формуле трапеций:

Формула Симпсона имеет пятый порядок точности и точна для многочленов 3-й степени.

Пусть fÎ C⁴[a; b]. Разбиваем отрезок [a; b] на 2N частей с шагом h:

h = (b-a)/(2N), x_i = a + ih, f_i= f(x_i).

- составная формула Симпсона

Метод Эйлера

Пусть на отрезке [a; b] выбрано разбиение точками x _j с шагом h:

x _j = a + jh, где h = (b-a)/N.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с заданным начальным условием

y^/ = f( x, y), y( a) = u₀ (7.5)

и составим для него разностную схему (7.2)

Тогда

, j = 1, 2, ..., N. (7.6)

Используя начальное условие (7.5), последовательно вычисляем значения неизвестной функции у в узлах x _j.

Геометрически замена производной на правую разность означает переход из точки с координатой x _j в точку, принадлежащую другой кривой из семейства решений данного дифференциального уравнения. Таким образом, по мере удаления от точки х₀ погрешность решения увеличивается.

Для оценки погрешности докажем следующую лемму.

Лемма 7.1. Пусть задана последовательность чисел , обладающая следующими свойствами:

e₀=0, , i = 0, 1, ..., N -1

для некоторых a> 0, b> 0. Тогда для всех k = 0, 1, ..., N выполняется неравенство

. (7.7)

Доказательство. Проведем доказательство методом математической индукции.

– Пусть k=1. Тогда 0 = .

– Пусть при всех k = m неравенство (7.7) справедливо. Рассмотрим k = m+1:

Поскольку - разложение экспоненты в ряд Тейлора, то и, заменяя (1+a) на e ^a, получаем:

Оценим погрешность метода Эйлера. Обозначим точное решение задачи Коши через U = U( x), при этом U( a)= U₀. Тогда для него справедлива формула Тейлора:

(7.8).

Так как U^/ – решение дифференциального уравнения, то для него справедливо равенство:

. (7.9)

Подставляя (7.9) в (7.8), получаем:

(7.10).

Найдем приближенное решение дифференциального уравнения по формуле (7.6). Обозначим погрешность решения в j-той точке через e _j= U _j- y _j. Вычтем из (7.10) (7.6):

;

При фиксированном j функция f является функцией одной переменной U _j, следовательно, для нее можно записать формулу конечных приращений Лагранжа:

, .

Учитывая определение e _j, получаем:

. (7.11

Учитывая, что максимального значения (7.13) достигает при k= N и , заключаем, что погрешность метода Эйлера имеет порядок h:

Метод Эйлера имеет низкий порядок точности. Класс простых методов более высокого порядка можно получить из разложения y_j₊₁ вблизи y_j в ряд Тейлора:

Поскольку

получим

(7.14)

Точность полученной формулы на порядок превышает точность формулы Эйлера.

Для увеличения порядка точности метода Эйлера можно также использовать следующие методы.

§ Предиктор–корректор (метод 2-го порядка точности).

В каждой точке находится сначала первое приближение по методу Эйлера:

а затем оно уточняется:

. (7.15)

2. Усовершенствованный метод Эйлера (2-го порядка точности).

Вычисляется приближенное значение в средней точке отрезка [x _j; x _j ₊₁]:

а затем находится значение

. (7.16)

Метод Адамса

Рассмотрим метод Адамса решения дифференциального уравнения первого порядка. Пусть имеется задача Коши:

у^/ = f( x, у); u( a) = u₀.

Выберем узлы разбиения x₀, x₁, ..., x _N с шагом постоянным шагом h и предположим, что найдены приближенные значения решения уравнения. y₀, y₁, ..., y _N в этих точках. Обозначим через f _j = f( x _j; y _j). Для функции f можно построить полином Лагранжа:

Если U – точное решение, то на каждом отрезке [x _j; x _j ₊₁] оно является решением интегрального уравнения:

Следовательно, можно положить

. (7.17)

Таким образом,

, (7.18)

где a _ji не зависят от y и определяются только узлами разбиения.

12 3 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-10-04; Просмотров: 202; Нарушение авторского права страницы