Математическое моделирование технологических процессов

 

Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование.

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или реальный, изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объекта, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой. Иногда построенная схема отражает какие - то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Из всей совокупности моделей мы выделим, и будем изучать как наиболее распространенные математические модели.

Существуют различные определения математических моделей.

1. Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

2. Математической моделью называется некий математический объект, поставленный в соответствие реальному объекту и описывающий этот объект с требуемой точностью.

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими. Стохастические модели – это модели использующие случайные величины, вероятностные методы и законы, а детерменированные модели- это модели, в которых отсутствует элемент случайности, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными, описывающими объект или явления, и их изменения регламентируются строгими законами природы (физики, химии, биологии и т. д.), исключающими случайность.

По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими.

Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров, характеризующих объект.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому в процессе изменения каких-либо параметров (в частном случае, времени).

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают отдельные изолированные значения.

На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой. Иногда построенная схема отражает какие - то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Из всей совокупности моделей мы выделим, и будем изучать как наиболее распространенные математические модели.

Существуют различные определения математических моделей.

1. Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

2. Математической моделью называется некий математический объект, поставленный в соответствие реальному объекту и описывающий этот объект с требуемой точностью.

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими. Стохастические модели – это модели использующие случайные величины, вероятностные методы и законы, а детерменированные модели- это модели, в которых отсутствует элемент случайности, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными, описывающими объект или явления, и их изменения регламентируются строгими законами природы (физики, химии, биологии и т. д.), исключающими случайность.

По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими.

Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров, характеризующих объект.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому в процессе изменения каких-либо параметров (в частном случае, времени).

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают отдельные изолированные значения.

Элементы теории погрешностей

Для правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи с применением ЭВМ, очень важно с самого начала признать, что получить точное решение задачи практически невозможно и цель вычислений заключается вовсе не в этом.

Основные причины, обуславливающие погрешность решения, заключаются в следующем:

– Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.

– Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.

– Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных, ситуациях.

– При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления.

 

Пусть y – точное значение величины, вычисление которой является целью поставленной задачи, а y^* - получаемое на ЭВМ решение. Соответствующая первым из двух указанных причин погрешность d_нy называется неустранимой погрешностью. Единственный способ уменьшить эту погрешность – перейти к более точной математической модели или задать более точные исходные данные.

Погрешность d_мy, источником которой является метод решения задачи, называется погрешностью метода, а погрешность d_вy, возникающая из-за округлений при вводе, выводе и вычислениях – вычислительной погрешностью.  Таким образом, полная погрешность результата решения задачи на ЭВМ

dy = y – y^* = d_Hy + d_My + d_By.

Желательно, чтобы величина погрешности метода была на порядок ниже неустранимой погрешности. Большее значение d_My заметно снижает точность результата, меньшее – требует увеличения затрат машинного времени, практически не влияя на значение полной погрешности.

Величина вычислительной погрешности в основном определяется характеристиками используемой ЭВМ. Желательно, чтобы величина d_By была хотя бы на порядок меньше величины погрешности метода и, во всяком случае, не должна ее существенно превышать.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: