Формулы конечного дифференцирования

Для решения некоторых задач часто необходимо знать не только значения функции, но и ее производные. Во многих случаях вычисление производных достаточно сложно, а для таблично заданных функций просто невозможно. Поэтому возникает проблема приближенного вычисления значения производных функции в точке. Используя определение производной

,

в качестве приближенного значения первой производной можно взять величину

.

Однако сделать заключение о величине погрешности вычисления производной в общем случае невозможно. Поэтому необходимо сделать некоторое предположение о дифференцируемости анализируемой функции.

В общем случае формулы для численного дифференцирования получают, используя разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки x₀. Рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Рассмотрим различные случаи.

Пусть f Î C²[a; b]. Тогда .

Воспользуемся разбиением с равноотстоящими узлами. Пусть . Тогда

.

Поскольку x₁ - x₀ = h, то, преобразовав данное выражение, получим:

.                                  (5.13)

В этом случае погрешность вычисления производной f^/(x₀) составит:

, где .

Если заданная функция более гладкая, то погрешность вычисления производной можно уменьшить.

Пусть f Î C³[a; b]. Тогда

 .

Подставим точки x₁= x₀+ h и x_-1= x₀  - h:  

                           (5.14)

                       (5.15)

Вычтем из равенства (5.14) равенство (5.15):

 Преобразуя полученное выражение, имеем:

.

Так как по предположению о гладкости функции f третья производная f^/// непрерывна, то по теореме о среднем найдется точка x такая, что .

Учитывая это обстоятельство, получим:

,

или, отбрасывая второе слагаемое:

.                                                (5.16)

Погрешность в этом случае не превосходит модуля отброшенного слагаемого:

 .

 

Аналогичным образом можно получить формулы для второй производной f^//(x₀).

Пусть f Î C⁴[a; b]. Тогда:

  .

       Подставим точки x₁= x₀+ h и x_-1= x₀  - h:  

 

Сложим полученные равенства:

Таким образом,

или приближенное значение второй производной в точке х₀ равно:

.                                 (5.17)

При этом погрешность .

Другим способом получения формул численного дифференцирования является приближение функции полиномом Лагранжа. В этом случае можно в качестве производных функции f( x) брать соответствующие производные многочлена L_n( x). Для различных т и п получаем:

§ m=1; n=2:        .

.

.

ü m=2; n=2:      

 и т. д.

Численное интегрирование

Во многих научных и техни­ческих задачах интегрирование функций является составной частью решения полной проблемы. Вычисление площадей и объемов, определение центра и моментов инерции тел, вычисление значения работы, произведенной некоторыми силами, и многие другие задачи приводят к интегрированию функций.

Известно, что некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций могут уже не выражаться через элементарные функции. Тогда, если нет возможности выразить интеграл в известных специальных функциях, для которых имеются таблицы или про­граммы вычисления на ЭВМ, то применяется приближенное численное интегрирование. Кроме того, если функция задана таблично, то приближенное определение интеграла также выполняется численно.

Квадратурной формулой называется приближенное равенство, выражающее значение интеграла от функции через значения этой функции в точках, взятые с некоторыми коэффициентами:

.

Точки x_i называются узлами, а коэффициенты q_i - весами квадратурной формулы. Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени n, если при подстановке вместо f( x) любого многочлена степени не больше n она обращается в точное равенство.

Метод прямоугольников

Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в окрестности нуля, т.е.
fÎ C²[- h/2; h/2].

Рассмотрим функцию :

F(0)=0; F ^/ = f; F ^// = f ^/; F ^/// = f ^//.

Запишем для F формулу Тейлора в точках - h/2 и h/2:

,

,

где , 0< x₁< h/2 и - h/2< x₂< 0.

По теореме Ньютона-Лейбница:

 .

Т.к. вторая производная непрерывна, то по теореме о среднем существует точка x такая, что .

Тогда:

 .

Таким образом, можно положить:

 ,

при этом погрешность вычисления интеграла составит: ,

где ξ – некоторая точка из интервала (h/2, h/2)

       Геометрически квадратурная формула прямоугольников означает, что площадь под интегрируемой кривой заменяется на площадь прямоугольника с основанием, равным отрезку интегрирования, и высотой, равной f(0) (рис.6.1).

 

Рис.6.1. Метод прямоугольников

 

       Полученная формула имеет 3-й порядок точности (h³) и точна для многочленов 1-й степени.

Пусть теперь функция задана на некотором произвольном отрезке [а; b]: fÎ C²[a; b]. Разбиваем [a; b] на N отрезков с шагом h:

h = ( b- a)/ N, x _i = a + ih, f_i= f( x_i).

Используя аддитивность определенного интеграла и применяя на каждом маленьком отрезке формулу прямоугольников получаем:

 – составная формула прямоугольников.

       При этом погрешность приближения:

 

 

Метод трапеций

Пусть функция fÎ C² [0; h]. Обозначим , . В качестве приближенного значения интеграла берем площадь трапеции (рис. 6.2):

 

Рис.6. 2. Метод трапеций

.

Рассчитаем погрешность, используя формулу Тейлора с интегральным остаточным членом:

Для подынтегральной функции получаем:

                                       (6.1)

Учитывая свойства функции , имеем

                              (6.2)

Умножим (6.1) на h/2:

.

Выразим (h/2)f₀:

.

Заменим в формуле (6.2): , тогда

Полагая:

,

получаем, что погрешность вычисления интеграла равна:

Полученная формула имеет 3-й порядок точности и точна для многочленов 1-й степени.

Пусть теперь функция задана на некотором произвольном отрезке [а; b]: fÎ C²[a; b]. Разбиваем [a; b] на N отрезков с шагом h:

h = ( b- a)/ N, x _i = a + ih, f_i= f( x_i).

       Рассуждая аналогично методу прямоугольников, получим:

 - составная формула трапеций

       При этом погрешность приближения:

 

Метод Симпсона

Пусть fÎ C⁴[-h; h]. В качестве приближенной площади под кривой берем площадь параболы через точки -h и h (рис. 6.3).

Рис.6.6. Метод Симпсона (парабол)

Общее уравнение параболы имеет вид: .

Подставив точки (-h; f(-h)), (0; f₀) и (h; f(h)), определим коэффициенты и получим:

,

где .

Тогда:

       Получаем:

 .

Погрешность приближенного вычисления интеграла определяется с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме аналогично формуле трапеций:

 .

Формула Симпсона имеет пятый порядок точности и точна для многочленов 3-й степени.

       Пусть fÎ C⁴[a; b]. Разбиваем отрезок [a; b] на 2N частей с шагом h:

h = (b-a)/(2N), x _i = a + ih, f_i = f(x_i).

        .

- составная формула Симпсона

 

 

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: