Учебное пособие для специальности

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Приходовский М.А.

Математика

Курс практических занятий

Семестр 3

Учебное пособие для специальности

Прикладная информатика в экономике»

Томск

ТУСУР

2019

Электронное учебное пособие составлено по материалам практических занятий на ФСУ в группах 448-1, 2 осенью 2019 года.

Оглавление

Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка Циркуляция, формула Грина Потенциальные векторные поля Действия над комплексными числами. Функции комплексного переменного

5 15 19 25 32

Содержание по номерам задач и датам практик

	448-1	задачи:	448-2
Практика 1	2.9	1-10	7.9	1-10
Практика 2	4.9	11-17	11.9	11-17
Практика 3	9.9	18-27	14.9	18-27
Практика 4	16.9	28-32*	21.9	28-32*
Практика 5	18.9	33 - 44	25.9	33 - 44

* на практике есть контрольная работа

Линейные неоднородные уравнения высшего порядка.

Циркуляция и формула Грина.

Задача 15.

Найти циркуляцию векторного поля по перемещению точки по границе верхнего полукруга радиуса 1 двумя методами:

А). без формулы Грина. Б). по формуле Грина.

Решение.

Решение А). без формулы Грина. В этом случае нужно для каждого участка - отрезка и полуокружности - вычислить работу поля отдельно. Чтобы обход всего контура осуществлялся один раз и против часовой стрелки, надо, чтобы движение по отрезку было слева направо (при этом , и ), а по полуокружности справа налево, т.е. на ней использовать обычный метод параметрического задания точек: .

По : = 0.

По : =

, во втором интеграле очевидно, подведение под знак дифференциала, а в первом есть несколько путей решения:

1) с помощью замены, учитывая то, что суммарная степень чётна (изучали во 2 семестре).

2) применить формулу понижения степени к каждому из квадратов.

3) использовать то, что и формулу .

Наиболее оптимальным наверное, здесь будет 3-й путь.

= = =

= = = .

Решение Б). По формуле Грина.

Если то .

Двойной интеграл по полукругу вычисляется с помощью полярных координат, это стандартная задача, которые решали во 2 семестре. Так как полукруг в верхней полуплоскости, то , а радиус 1, .

= = =

= = = = .

Ответ. .

Задача 16. Найти циркуляцию векторного поля по перемещению точки по треугольнику с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1) с помощью формулы Грина.

Решение. Если не использовать формулу Грина, то на каждой из сторон - горизонтальной, вектикальной и наклонной - надо было бы отдельно провести вычисление работы поля. Используя формулу Грина, мы вычислим лишь один двойной интеграл.

Чертёж этого треугольника:

Далее следует стандартный метод вычисления двойного интеграла, изученный в прошлом семестре. Сначала спроецируем фигуру на ось Ох и найдём глобальные границы по , это . При каждом конкретном высота изменяется от наклонной линии до горизонтальной , то есть . Итак,

= = = = = = = = .

Ответ. .

Задача 17. Найти циркуляцию векторного поля по перемещению точки по квадрату , с помощью формулы Грина.

Решение. , = = = .

Ответ. 0.

Задача 17*. (дополнительно, или домашняя). Найти циркуляцию векторного поля по перемещению точки по треугольнику с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1) с помощью формулы Грина.

Ответ. .

Потенциальные векторные поля.

В следующих задачах найти потенциал, либо доказать, что поле не потенциально:

Задача 18. .

Решение. Найдём матрицу из всех производных:

Матрица симметрична. Поле потенциально.

Ищем криволинейный интеграл 2 рода по ломаной, соединяющей (0, 0) с точкой .

= = = .

Но потенциал вычисляется с точностью до константы, так что

Ответ. .

Проверка. , .

Задача 19. .

Решение. Найдём матрицу из всех производных:

= .

Матрица симметрична, значит, существует потенциал поля.

= = =

Ответ. .

Проверка. , .

Задача 20.

Решение. Найдём матрицу из всех производных:

Матрица не симметрична. Тогда поле не потенциально.

Ответ. Поле не потенциально.

Задача 21. .

Решение. Производная матрица симметрична:

= .

Ищем потенциал поля.

= = =

= = .

Ответ.

Теперь перейдём к 3-мерному случаю.

Задача 22. Доказать, что поле потенциально и найти потенциал.

Решение. Сначала найдём матрицу из всех 9 частных производных.

= . Матрица симметрична, это в то же самое время означает, что ротор равен 0. Поле потенциально.

Вычислим криволинейный интеграл по ломаной, соединяющей точки и .

= = = = .

Тогда = .

Проверка:

= , = , = .

Ответ. = .

Задача 23. .

Решение.

Чтобы доказать, что поле потенциально, построим матрицу из всех 9 производных. В первом столбце по , во втором по и в 3-м по :

Матрица симметрична поле потенциально.

Теперь ищем потенциал. Для этого соединим начальную точку с произвольной с помощью ломаной, чтобы каждое звено было параллельно какой-либо из осей координат.

Начальная точка, как правило, (0, 0, 0). Изменяющуюся переменную при этом будем обозначать через , чтобы отличать от переменных , , , которые в этих вычислениях будут использять роль верхнего предела в том или ином интеграле, либо роль фиксированной константы внутри функции. Получается такая сумма интегралов:

Применим это к конкретным функциям в этой задаче.

= = .

Вспомнив, что потенциал определяется с точность до константы, окончательный ответ можно записать так: .

Ответ. .

Задача 24. .

Решение. Найдём производную матрицу.

Она симметрична, значит, поле потенциально. Ищем потенциал:

= = .

Ответ. .

Задача 25. .

Решение. = симметрична.

= = = . Ответ. .

Задача 26. .

Решение. = симметрична.

В данном случае мы не можем в качестве начальной точки взять (0, 0, 0), так как эти функции имеют там бесконечный предел. Однако можно рассматривать точку (1, 1, 1).

= =

= .

Ответ. .

Решение.

Для 1-го числа: , (та же точка, как в прошлой задаче).

Для 2-го числа: , . Тогда = = = = , прибавим , для удобства вычисления. Итак, = .

Ответ. .

Задача 30. Вычислить .

Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.

, и , . Тогда

= = = здесь в числителе прибавили угол , кратный , а в знаменателе отняли . Далее, = = = = = = .

Ответ. .

Домашняя задача. Вычислить . Ответ.

Задача 31. Вычислить

Решение. Формула: .

Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.

(т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),

Тогда = = таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 30⁰, 120⁰, 210⁰, 300⁰ (по +90⁰ добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:

: = = .

Чертёж:

Ответ. и .

Задача 32. Дано . Найти .

Решение. = = = .

Ответ. .

Задача 33. Дано . Найти .

Решение. = = . Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим . Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус.

= = .

Ответ. .

Задача 34. Дано . Найти .

Решение. = =

. Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол отмеряется от 180 в обратном направлении).

Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: , тогда = .

Ответ. .

Задача 35. Найти все значения .

Решение. Используем формулу .

= . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , , ...

Ответ. .

Задача 36. Вычислить .

Решение. = . Последовательность значений такова: каждая соседняя пара отличается на по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .