Потенциальные векторные поля.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

В следующих задачах найти потенциал, либо доказать, что поле не потенциально:

Задача 18. .

Решение. Найдём матрицу из всех производных:

Матрица симметрична. Поле потенциально.

Ищем криволинейный интеграл 2 рода по ломаной, соединяющей (0, 0) с точкой .

= = = .

Но потенциал вычисляется с точностью до константы, так что

Ответ. .

Проверка. , .

Задача 19. .

Решение. Найдём матрицу из всех производных:

= .

Матрица симметрична, значит, существует потенциал поля.

= = =

Ответ. .

Проверка. , .

Задача 20.

Решение. Найдём матрицу из всех производных:

Матрица не симметрична. Тогда поле не потенциально.

Ответ. Поле не потенциально.

Задача 21. .

Решение. Производная матрица симметрична:

= .

Ищем потенциал поля.

= = =

= = .

Ответ.

Теперь перейдём к 3-мерному случаю.

Задача 22. Доказать, что поле потенциально и найти потенциал.

Решение. Сначала найдём матрицу из всех 9 частных производных.

= . Матрица симметрична, это в то же самое время означает, что ротор равен 0. Поле потенциально.

Вычислим криволинейный интеграл по ломаной, соединяющей точки и .

= = = = .

Тогда = .

Проверка:

= , = , = .

Ответ. = .

Задача 23. .

Решение.

Чтобы доказать, что поле потенциально, построим матрицу из всех 9 производных. В первом столбце по , во втором по и в 3-м по :

Матрица симметрична поле потенциально.

Теперь ищем потенциал. Для этого соединим начальную точку с произвольной с помощью ломаной, чтобы каждое звено было параллельно какой-либо из осей координат.

Начальная точка, как правило, (0, 0, 0). Изменяющуюся переменную при этом будем обозначать через , чтобы отличать от переменных , , , которые в этих вычислениях будут использять роль верхнего предела в том или ином интеграле, либо роль фиксированной константы внутри функции. Получается такая сумма интегралов:

Применим это к конкретным функциям в этой задаче.

= = .

Вспомнив, что потенциал определяется с точность до константы, окончательный ответ можно записать так: .

Ответ. .

Задача 24. .

Решение. Найдём производную матрицу.

Она симметрична, значит, поле потенциально. Ищем потенциал:

= = .

Ответ. .

Задача 25. .

Решение. = симметрична.

= = = . Ответ. .

Задача 26. .

Решение. = симметрична.

В данном случае мы не можем в качестве начальной точки взять (0, 0, 0), так как эти функции имеют там бесконечный предел. Однако можно рассматривать точку (1, 1, 1).

= =

= .

Ответ. .

Дифф. уравнения в полных дифференциалах.

Рассмотрим ещё один метод решения дифференциальных уравнений, основанный на использовании потенциала поля. Пусть дано дифференциальное уравнение вида ,

причем . Тогда это уравнение называется «уравнением в полных дифференциалах». Здесь является потенциальным векторным полем. В этом случае уравнение можно представить в виде , а значит, . Затем остаётся только выразить через .

Задача 27. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Проверяем тип уравнения. Здесь , . При этом

, ведь , . То есть, векторное поле потенциально. Ищем потенциал. Соединяем точки (0, 0) и с помощью ломаной, и вычисляем:

= = . Итак, . Тогда общее решение дифф. уравнения.

Ответ. .

Глава 2. Теория функций комплексного переменного.

Действия над комплексными числами.

Задача 28. Возвести в степень .

Решение. Чертёж:

Катеты имеют длину и , поэтому в полярных коорданатах:

, .

Тогда в показательной форме, а тогда =

= = далее раскроем по формуле Эйлера: , но синус и косинус не зависят от добавления и вычитания полного оборота , поэтому получается = = . Ответ. .

Задача 29. Вычислить в показательной форме .

Решение.

Для 1-го числа: , (та же точка, как в прошлой задаче).

Для 2-го числа: , . Тогда = = = = , прибавим , для удобства вычисления. Итак, = .

Ответ. .

Задача 30. Вычислить .

Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.

, и , . Тогда

= = = здесь в числителе прибавили угол , кратный , а в знаменателе отняли . Далее, = = = = = = .

Ответ. .

Домашняя задача. Вычислить . Ответ.

Задача 31. Вычислить

Решение. Формула: .

Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.

(т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),

Тогда = = таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 30⁰, 120⁰, 210⁰, 300⁰ (по +90⁰ добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:

: = = .

Чертёж:

Ответ. и .

Задача 32. Дано . Найти .

Решение. = = = .

Ответ. .

Задача 33. Дано . Найти .

Решение. = = . Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим . Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус.

= = .

Ответ. .

Задача 34. Дано . Найти .

Решение. = =

. Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол отмеряется от 180 в обратном направлении).

Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: , тогда = .

Ответ. .

Задача 35. Найти все значения .

Решение. Используем формулу .

= . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , , ...

Ответ. .

Задача 36. Вычислить .

Решение. = . Последовательность значений такова: каждая соседняя пара отличается на по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .