Метод неопределённых коэффициентов.

 

Если правая часть неоднородного уравнения имеет вид  

то частное решение существует в виде ,

где  это кратность числа  в качестве характеристического корня. Если оно не является корнем, то . Тогда домножение происходит на , то есть фактически, не происходит.

Если в правой части нет тригонометрических функций, то всегда может автоматически считаться, что , то есть

 = .

Если отсутствует многочлен, а просто есть экспонента, то можем считать, что многочлен просто равен константе 1, то есть формально он всё равно есть, нулевой степени. Тогда в структуре частного решения записывается «произвольный» многочлен 0 степени, то есть константа А.

Для  частное решение в виде ,  если  не является характеристическим корнем, либо , если   совпадает с каким-то характеристическим корнем кратности .

Задача 9. Решить уравнение .

методом неопределённых коэффициентов.

Решение.   Шаг I. Сначала решим однородное уравнение .

Характеристическое: , корни 1 и . ФСР: .

Общее решение однородного: .  

Шаг II. Решаем неоднородное.

Однородное уже решено: . Ищем частное решение неоднородного по виду правой части.

.

Число 2 не входит в состав корней левой части, то есть кратность совпадения . Тогда частное решение ищется в виде

 , т.е. .

Тогда , . Подставим их в неоднородное уравнение.  частное решение неоднородного .

Ответ. .   

 

Задача 10. Решить уравнение .

методом неопределённых коэффициентов.

Решение.   Шаг I. Сначала решим однородное уравнение .

Характеристическое: , корни 1 и . ФСР: .

Общее решение однородного: .  

Шаг II. Решаем неоднородное.

.

Число 1 не входит в состав корней левой части, совпадая с одним из двуз корней, кратность совпадения . Тогда частное решение ищется в виде

 , т.е. .

Тогда , . Подставим их в неоднородное уравнение.

 частное решение неоднородного уравнения .

Ответ. .   

 

Задача 11. Уравнение   решить методом неопределённых коэффициентов.

Решение. Общее решение однородного: .

Правая часть . Экспонента степени 1, и точно такой же характеристический корень есть в левой части, он там кратности 1. Поэтому , то есть в частном решении есть добавочный множитель . А вот вместо многочлена , который был в правой части, надо поставить произвольный многочлен 1 степени, записав его в виде . Итак, . Найдём 1 и 2 производную и подставим в неоднородное уравнение.

 = .

.

Итак, из  следует

, сократим на экспоненту и приведём подобные.

, откуда , , из чего следует . Тогда запишем частное решние приэтих значениях неопределённых коэффициентов, и добавим общее решение однородного с 1-го шага. Итак,

Ответ.

Задача 12. Решить уравнение:  методом неопределённых коэффициентов.

Решение. Шаг 1. Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение , его корни 1 и 4. Их можно было как найти через дискриминант, так и просто заметить, что многочлен представляется в виде .

Тогда общее решение однородного уравнения: .

Шаг 2. Заметим, что , число 3 не является характеристическим корнем, т.е. экспонента в правой части не совпадает ни с одной из экспонент, присутствующих в решении однородного уравнения. Тогда кратность , то есть дополнительный множитель в частном решении имеет вид , то есть фактически, его не будет. Многочлен нулевой степени, а именно 1, должны заменить на произвольный многочлен той же степени, то есть константу . Итак, структура частного решения будет иметь вид . Если , то легко установить, что , . Подставим их в исходное неоднородное уравнение . Получим ,

то есть , откуда , .

Частное решение . Тогда ответ, то есть общее решение неоднородного уравнения: .

Ответ. .

 

В следующих 2 задачах будем варьировать правую часть по сравнению с прошлой задачей, и посмотрим, чем будет отличаться решение. Пусть там будет или умножение на степенную, или другая степень экспоненты.

 

Задача 13. Решить уравнение:  методом неопределённых коэффициентов.

Решение. Характеристическое уравнение , его корни 1 и 4. Общее решение однородного уравнения: .

Шаг 2. , где 4 является характеристическим корнем. Тогда . Частное решение ищется в виде . Лишний множитель  из-за того, что .

Подставим в неоднородное уравнение.

  

 

  

.

Ответ. .

 

Задача 14. Решить уравнение:  методом неопределённых коэффициентов.

Решение. Характеристическое уравнение , его корни 1 и 4. Общее решение однородного уравнения: .

Шаг 2. , где 3 не является характеристическим корнем, Тогда , Многочлен первой степени должны заменить на произвольный многочлен той же степени, то есть . Итак, структура частного решения будет иметь вид . 

. 

 = .

. Подставим их в исходное неоднородное уравнение ., там сразу можно сократить на .

  

 система уравнений:

, .

Частное решение . Тогда ответ, то есть общее решение неоднородного уравнения: .

Ответ. .

 

Циркуляция и формула Грина.

 

Задача 15.

Найти циркуляцию векторного поля  по перемещению точки по границе верхнего полукруга радиуса 1 двумя методами:

А). без формулы Грина. Б). по формуле Грина.

Решение.

Решение А). без формулы Грина. В этом случае нужно для каждого участка - отрезка  и полуокружности  - вычислить работу поля отдельно. Чтобы обход всего контура осуществлялся один раз и против часовой стрелки, надо, чтобы движение по отрезку было слева направо  (при этом , и ), а по полуокружности справа налево, т.е. на ней использовать обычный метод параметрического задания точек: .

По  :  = 0.

По :  =

, во втором интеграле очевидно, подведение под знак дифференциала, а в первом есть несколько путей решения:

1) с помощью замены, учитывая то, что суммарная степень чётна (изучали во 2 семестре).

2) применить формулу понижения степени к каждому из квадратов.

3) использовать то, что  и формулу .

Наиболее оптимальным наверное, здесь будет 3-й путь.

=

=  =  =

 =  =  = .

Решение Б). По формуле Грина.  

Если  то .

Двойной интеграл по полукругу вычисляется с помощью полярных координат, это стандартная задача, которые решали во 2 семестре. Так как полукруг в верхней полуплоскости, то , а радиус 1, . 

 =  =  = 

 =   =  =  = .

Ответ. .

Задача 16. Найти циркуляцию векторного поля  по перемещению точки по треугольнику с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1) с помощью формулы Грина.

Решение. Если не использовать формулу Грина, то на каждой из сторон - горизонтальной, вектикальной и наклонной - надо было бы отдельно провести вычисление работы поля. Используя формулу Грина, мы вычислим лишь один двойной интеграл.

.

Чертёж этого треугольника:

Далее следует стандартный метод вычисления двойного интеграла, изученный в прошлом семестре. Сначала спроецируем фигуру на ось Ох и найдём глобальные границы по , это . При каждом конкретном  высота изменяется от наклонной линии  до горизонтальной , то есть . Итак,

 =  =  =  =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 17. Найти циркуляцию векторного поля  по перемещению точки по квадрату , с помощью формулы Грина.

Решение. ,  =  =  = .

Ответ. 0.

Задача 17*. (дополнительно, или домашняя). Найти циркуляцию векторного поля  по перемещению точки по треугольнику с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1) с помощью формулы Грина.

Ответ. .

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: