Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка.

Необходимо рассмотреть несколько теоретических моментов.

Теорема 1. Функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения есть характеристический корень.

Доказательство. Ищем решение в виде .

Если , то , , ... .

Подставим в уравнение .

Получим .

Во всех слагаемых одинаковая экспонента, вынесем её за скобку:

Но поскольку , то .

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.

Доказательство. (ДОК 23)

Пусть и - два различных решения уравнения

То есть, они оба обращают его в тождество:

Надо доказать, что линейная комбинация тоже подходит в качестве решения. Известно, что для производной, а также и последующих выполняется свойство линейности: , поэтому , , и т.д.

Тогда, подставляя линейную комбинацию в дифференциальное уравнение, получим:

Но ведь в каждой скобке 0, так как каждая из этих функция была решением уравнения. Получается .

Таким образом, линейная комбинация решений тоже является решением линейного уравнения.

Задача 1. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение: , оно сводится к виду , корни , . Тогда решениями могут быть только и . Сделаем проверку для каждой из экспонент. Подставим каждую из них в уравнение.

1) = .

2) = .

Проверка выполнена. Обе экспоненты являются решениями.

При этом никакая третья экспонента не может служить решением этого же уравнения, потому что характеристический многочлен 2-й степени, и он имеет максимум 2 корня.

Их линейная комбинация .

Ответ. .

Задача 2. Найти общее решение дифф. уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение: , его корни

1 и . Тогда ФСР = , и общее решение: .

Ответ. .

Задача 3. Найти частное решение дифф. уравнения при условиях Коши: .

Решение. Характеристическое уравнение: , его корни: , . Тогда ФСР состоит из и , общее решение такое: .

Теперь найдём решение задачи Коши. Сначала запишем функцию и её производную: и .

Кроме того, у нас есть информация: .

Тогда , . Получается система уравнений

вычитая 1-е уравнение из 2-го, находим, , т.е. , тогда . Тогда частное решение: .

Ответ. Общее решение , частное .

Задача 4. Решить уравнение , найти частное решения для условий Коши: .

Решение. Характеристическое уравнение: , его корни: , . Тогда ФСР состоит из , общее решение такое: .

Теперь найдём решение задачи Коши. Сначала запишем функцию и её производную:

и .

Кроме того, у нас есть информация: .

Ищем частное решение.

Получается система уравнений

, решая её, находим из 2-го ,

откуда , . Тогда частное решение: .

Ответ. .

Если - корень кратности , то в системе решений будут присутствовать , то есть одну и ту же экспоненту раз включать в фундаменатльную систему решений нельзя, иначе фактическое количество функций в ФСР получится меньше, чем n.

Кроме самой экспоненты, нужно взять ещё и с домножением на степенные, по нарастанию степеней до .

Задача 5. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение: , то есть , характеристическое корни . Тогда ФСР: , а общее решение: .

Ответ. .

Сделаем проверку. Для очевидно. Проверим .

, тогда , .

= = = = 0.

Если один из корней 0, то в ФСР присутствует экспонента вида , то есть контанта 1 принадлежит ФСР.

Задача 6. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение: , корни 0 и 5. Тогда ФСР: , а общее решение: .

Ответ. .

***

Ещё одно небольшое теоретическое отступление. Докажем, что если 0 является корнем кратности , то система решений, соответствующих этому корню, имеет вид , то есть . Характеристическое уравнение обязательно имеет вид , так как можно вынести за скобку 0 корень кратности . Но это значит, что исходное дифференциальное уравнение имеет вид .

Оно содержит производные порядка и выше. Известно, что если степенную функцию продифференцировать столько раз, какова её степень, то получим константу, а если большее количество раз, то обратится в 0. Так, например,

, .