Агадуллина А. И., Зотова О. Ф., Николаева М. А.

Агадуллина А. И., Зотова О. Ф., Николаева М. А.

Методы и алгоритмы принятия решений в примерах и задачах: учебное пособие / А. И. Агадуллина, О. Ф. Зотова, М. А. Николаева; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа: РИК, 2017 – 140 с. ISBN

 

Второе издание учебного пособия дополнено методами принятия решения в условиях риска, стратегической и концептуальной неопределенности.

Представлены теоретические основы, описания методов и алгоритмов принятия решений для одного и многих критериев. Приведены примеры решения задач и контрольные вопросы для закрепления изученного материала.

Предназначено для бакалавров и магистрантов, изучающих курс «Теория принятия решений», а также для анализа, оценки и выбора инструментов исследования в выпускных квалификационных работах.

 

Табл. 61. Ил. 20. Библиогр.: 19 назв.

УДК

ББК

 

ISBN	© Корректура и верстка. РИК УГАТУ, 2017

Оглавление

Введение. 5

1. Введение в теорию принятия решений. 7

1.1. Предмет теории принятия решений, основные термины и определения. 7

1.2. Типы задач принятия решений. 9

1.3. Этапы принятия решений. 10

1.4. Классификации задач принятия решений. 10

1.5. Связь между классами ЗПР и направлениями ТПР. 14

Вопросы и задания. 16

2. Шкалы и измерения. 17

2.1. Построение шкал для оценки критериев. 17

2.2. Методы экспертных измерений. 20

Вопросы и задания. 30

3. Принятие решений в условиях риска. 31

3.1. Общая постановка однокритериальной статической стохастической задачи принятия решений. 31

3.2. Дискретные марковские процессы с доходностью.. 33

3.3. Логико-вероятностный метод. 41

Вопросы и задания. 51

4. Принятие решений в условиях неопределенности. 52

4.1. Элементы теории игр. 55

4.2. Игры с природой. 64

Вопросы и задания. 70

5. Задачи принятия решений при многих критериях. 71

5.1 Множество Парето. Классификация ЗПР при многих критериях 71

5.2. Прямые методы: метод взвешенной суммы.. 73

5.3. Прямые методы: мультипликативный метод. 73

5.4. Прямые методы: лексикографическое упорядочивание. 73

5.5. Прямые методы: метод БОФа. 74

5.6. Методы компенсации: точки и кривые безразличия. 78

5.7. Методы компенсации: методы сравнения разностей оценок альтернатив. 79

5.8. Методы порогов несравнимости: методы ELECTRE.. 80

5.9. Метод PROMETHEE.. 83

5.10. Метод: NAIADE.. 89

5.11. Аксиоматические методы: метод предпочтений и замещений Кини и Райфа. 99

5.12. Метод анализа иерархий Саати. 109

5.13. Принятие решений с использованием аппарата теории нечетких множеств: алгоритм Мамдани. 116

Вопросы и задания. 121

6. Групповые методы принятия решений. 125

6.1. Постановка задачи. 125

6.2. Правило большинства. 125

6.3. Принцип Кондорсе. 126

6.3. Метод Борда. 126

6.4. Метод поиска медианы Кемени. 128

Вопросы и задания. 133

Список литературы.. 134

Приложение 1. 136

Приложение 2. 139

 

Введение

Как в жизни отдельного человека, так и в повседневной деятельности организаций принятие решений является важнейшим этапом, который определяет их будущее. Человек выбирает профессию, друзей, партнера по браку, работу, дом и многое другое, причем история его жизни есть последовательность удачных или неудачных решений.

Таким образом, принятие решений – это специфический, жизненно важный процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта действий.

Задача принятия решений (ЗПР) является одной из центральных в экономике. Предполагается, что лицо, принимающее решение (ЛПР), является рациональным человеком и его решения есть результат упорядоченного процесса мышления. На основе аксиом рациональности доказывается теорема о существовании функции полезности. Осуществляя рациональный выбор, человек максимизирует свою функцию полезности.

Полезностью называют величину, которую в процессе выбора максимизирует личность с рациональным экономическим мышлением. Можно сказать, что полезность – это воображаемая мера психологической и потребительской ценности различных благ.

Существенной частью методов принятия решений (однокритериальных, детерминированных, стохастических) являются методы исследования операций. С помощью методов исследования операций:

­ разрабатываются модели, описывающие объективную реальность;

­ определяется единственный критерий оптимальности решения;

­ рассчитывается оптимальное решение.

Существенное отличие проблем принятия решений от проблем исследования операций состоит в наличии многих критериев оценки качества решения. Компромисс между критериями может быть найден только на основе предпочтений ЛПР.

В первой главе данного пособия рассматриваются основные понятия теории принятия решений (ТПР), типы задач, предложена авторская классификация ЗПР.

Можно представить процесс принятия решений двумя этапами. На первом этапе осуществляется анализ заданных альтернатив, на втором – находится решающее правило, позволяющее оценить эти альтернативы. Поэтому во второй главе достаточно подробно рассмотрены вопросы, связанные с представлением и измерением данных для формирования и оценки альтернативных решений.

В третьей главе рассмотрены методы принятия решений в условиях риска. В частности, подробно описаны дискретные марковские процессы с доходностью.

Особым классом задач принятия решений являются задачи с учетом факторов риска и безопасности. Под риском понимают как вероятность потерь в процессе принятия решений, так и математическое ожидание ущерба при наступлении неблагоприятного события. В пособии представлен логико-вероятностный метод как способ оценки и управления риском и как способ снижения стохастической неопределенности.

В четвертой главе описаны подходы к задачам принятия решений в условиях неопределенности – элементы теории игр, игры с природой.

Пятая глава пособия посвящена задачам принятия решений при многих критериях. Представленные здесь методы содержат различные подходы к решению вопроса о назначении весов критериям, оценки согласованности мнений экспертов. Это и прямые методы, и методы компенсации, и методы порогов несравнимости (методы ELECTRE, PROMETHEE, NAIADE), аксиоматический метод предпочтений и замещений Кини и Райфа, метод анализа иерархий Саати.

Существуют групповые методы принятия решений, используемые, например, при построении рейтинга объектов. В последней главе представлены, в частности, метод Борда и метод поиска медианы Кемени для решения подобных задач.

Типы задач принятия решений

Традиционно принято выделять следующие типы задач принятия решений:

­ упорядочение альтернатив;

­ классификация альтернатив или разбиение альтернатив на классы;

­ выделение лучшей альтернативы.

Например, члены семьи упорядочивают по степени необходимости будущие покупки.

При покупке автомобиля человек разбивает все варианты на два класса – автомобили, подходящие по цене, и автомобили, стоимость которых превышает пороговую величину. Это пример задачи классификации.

Задачи третьего типа очень часто встречаются на практике. После того, как известны все автомобили, подходящие по цене, человек выбирает лучший автомобиль – тот, который в конечном итоге он купит.

Кроме того, принятие решений может происходить в ситуациях двух типов. В первом случае осуществляется анализ заданных альтернатив, множество альтернатив замкнуто. Во втором случае строится решающее правило, позволяющее оценивать любые альтернативы.

Например, требуется определить лучший бассейн города. В процессе участвует группа специалистов, каждый из которых строит ранжирование бассейнов. Затем на основе индивидуальных ранжирований строится агрегированное ранжирование и таким образом выявляется лучший бассейн. В данном случае осуществляется анализ заданных альтернатив – бассейнов города.

Примером ситуации второго типа является принятие решений о выдаче кредита в банке. Решающее правило должно быть выработано до того, как в банк начнут обращаться клиенты. При обращении клиента в банк каждый раз должна производиться оценка согласно решающему правилу.

 

Этапы принятия решений

Остановимся на наиболее важных этапах принятия решений, а именно:

1) постановка задачи;

2) определение цели и выбор соответствующего критерия оптимальности;

3) формирование условий;

4) формирование альтернатив, их предварительный анализ;

5) анализ и выбор метода решения задачи и разработка алгоритма решения;

6) оценка альтернатив и определение оптимальной(-ых);

7) принятие решений и оценка результатов.

 

Количество критериев

По количеству критериев различают однокритериальные (скалярные) ЗПР и многокритериальные (векторные) ЗПР.

ЛПР при принятии решений руководствуется целями, которые нужно достигнуть. Цели ставится в соответствие критерий или совокупность критериев, с помощью которых можно оценить степень достижения этой цели.

Примеры. В качестве примера однокритериальной ЗПР рассмотрим задачу об оптимальном размере закупаемой партии товара [2, с. 20 – 21].

Фирма закупает некоторый товар в течение планового периода партиями одинаковой величины. Закупленный товар используется с постоянной скоростью. Как только запас товара кончается, закупается следующая партия и т. д. Неизрасходованный товар фирма хранит на складе за определенную плату.

Известны следующие величины:

­ требуемое количество товара на плановый период;

­ стоимость единицы товара;

­ стоимость заказа одной партии (считается, что стоимость заказа не зависит от величины заказываемой партии);

­ стоимость хранения единицы товара в течение планового периода (считается, что стоимость хранения товара пропорциональна его количеству и времени хранения).

Требуется определить такой размер закупаемой партии товара, при котором затраты фирмы будут минимальными.

В качестве примера многокритериальной ЗПР можно привести задачу выбора кандидата на должность. Критериями оценки кандидатов являются образование, опыт работы, возраст и т.д.

 

Шкалы и измерения

Методы экспертных измерений

Характер произведенных экспертных измерений необходимо принимать во внимание при проведении процедур экспертного оценивания, выработке и принятии управленческих решений, определении коллективных решений. От экспертов требуется однозначное понимание того, что именно и в какой шкале они оценивают, чтобы избежать ситуаций, в которых оценка одного и того же показателя, связана с различными предпосылками.

Если эксперт должен оценить значение количественного показателя, он может это сделать, указав соответствующее численное значение, либо интервал, в котором, по его мнению, лежит значение оцениваемого показателя.

При коллективной экспертной оценке значения показателя, указанные экспертами, либо усредняются, либо обрабатываются с помощью других специальных методов, например, методов экспертных измерений.

 

Постановка задачи

Дано:

N – число состояний системы (оно неизменно на каждом этапе);

k – номер стратегии;

n – количество этапов моделирования;

 – вероятность перехода от одного состояния (i) к другому (j);

 – доходность.

Обозначим:  – ожидаемая доходность; – полная ожидаемая доходность на n-ом этапе моделирования.

Требуетсянайти: – номера оптимальных стратегий на каждом этапе процесса (n=1, 2, 3…) для каждого i-того состояния системы.

 

Алгоритм решения

Шаг 1. Вычислим ожидаемую доходность за один переход при выходе из i-го состояния и при выборе стратегии k:

 

i, j=1,... N,

где i, j –состояния.

Шаг 2. Для каждого состояния i найдем полную ожидаемую доходность за n этапов моделирования при выборе оптимальной стратегии:

Зададим граничные доходы процесса:

Шаг 3. Найдем решение: −  номера оптимальных стратегий на каждом этапе процесса (n =1, 2, 3…), для каждого i-того состояний системы:

.

Пример

Дано:

2 состояния системы − «Удовлетворительное» («У») и «Плохое» («П»);

3 стратегии L, M, N, а также матрицы переходных вероятностей (табл. 3.2) и доходностей для них(табл. 3.3):                          

Таблица 3.2

Матрицы переходных вероятностей

L(1)	Удовл.	Плохое	M(2)	Удовл.	Плохое	N(3)	Удовл.	Плохое
Удовл.	1	0	Удовл.	1	0	Удовл.	1	0
Плохое	0, 1	0, 9	Плохое	0, 33	0, 67	Плохое	0, 33	0, 67

 

Таблица 3.3

Матрицы доходностей

L(1)	Удовл	Плохое	M(2)	Удовл	Плохое	N(3)	Удовл	Плохое
Удовл	8, 68	0	Удовл	16, 83	0	Удовл	3, 23	0
Плохое	2, 43	3, 29	Плохое	14, 11	7, 63	Плохое	10, 07	7, 86

 

Найти: номера оптимальных стратегий на каждом этапе процесса (n =1, 2, 3…) для каждого состояния системы.

Решение. Рассмотрим первый этап моделирования (принятия решений).

Шаг 1. Величина  является ожидаемым доходом за один переход при выходе из состояния i и при выборе стратегии k. Таким образом:

Занесем вычисленные показатели в табл. 3.4.

                                                                                             

Таблица 3.4

Результаты первого этапа моделирования

Состояния	Стратегии	Переходные вероятности		Доходности		Ожидаемые доходности
У	1	1	0	8, 68	0, 00	8, 68
	2	1	0	16, 83	0, 00	16, 83
	3	1	0	3, 23	0, 00	3, 23
П	1	0, 10	0, 90	2, 43	3, 29	3, 20
	2	0, 33	0, 67	14, 11	7, 63	9, 77
	3	0, 33	0, 67	10, 07	7, 86	8, 59

 

Оптимальным является такое поведение, которое максимизирует полный ожидаемый доход для всех i и n.

Шаг 2. Полный ожидаемый доход вычисляется по следующей рекуррентной формуле:

Зададим

Вычислим полный ожидаемый доход для 1-ой стратегии на первом этапе моделирования:

Вычислим полный ожидаемый доход для 2-ой стратегии на первом этапе моделирования:

Вычислим полный ожидаемый доход для 3-ей стратегии на первом этапе моделирования:

Найдем максимальное значение полного ожидаемого дохода для каждого состояния для первого этапа моделирования:

Шаг 3. Если система находится в «удовлетворительном» состоянии, то рекомендуется придерживаться 2-ой стратегии. Эта стратегия принесет доход на 1-ом этапе моделирования в размере 16, 83 у.е.

Если же система находится в «плохом» состоянии, то рекомендуется также придерживаться 2 стратегии. Эта стратегия принесет доход на 1-ом этапе моделирования в размере 9, 77 у.е. Таким образом, d_У(1) = 2, d_П(1) = 2.

Рассмотримвторой этап моделирования (принятия решений). Найдем полные ожидаемые доходности и решение, которое следует принять на втором этапе моделирования.

Вычислим полный ожидаемый доход для 1-ой стратегии на втором этапе моделирования:

Вычислим полный ожидаемый доход для 2-ой стратегии на втором этапе моделирования:

Вычислим полный ожидаемый доход для 3-ей стратегии на втором этапе моделирования:

Найдем максимальное значение полного ожидаемого дохода для каждого состояния на втором этапе моделирования:

На втором этапе моделирования в «удовлетворительном» состоянии рекомендуется придерживаться 2-ой стратегии, то есть стратегии М. Поддержание этой стратегии принесет прибыль в размере 33, 66 у.е. Если же система находится в «плохом» состоянии, то также рекомендуется придерживаться 2-ой стратегии. Поддержание этой стратегии принесет прибыль в размере 21, 87 у.е.

Рассмотрим третий этап моделирования (принятия решений). Найдем полные ожидаемые доходности и решение, которое следует принять на третьем этапе моделирования.

Вычислим полный ожидаемый доход для 1-ой стратегии на третьем этапе моделирования:

Вычислим полный ожидаемый доход для 2-ой стратегии на третьем этапе моделирования:

Вычислим полный ожидаемый доход для 3-ей стратегии на третьем этапе моделирования:

Найдем максимальное значение полного ожидаемого дохода для каждого состояния на третьем этапе моделирования:

На третьем этапе моделирования в «удовлетворительном» состоянии рекомендуется придерживаться 2-ой стратегии, то есть стратегии М. Поддержание этой стратегии принесет прибыль в размере 50, 49 у.е. Если же система находится в «плохом» состоянии, то рекомендуется придерживаться 2 стратегии. Поддержание этой стратегии принесет прибыль в размере 35, 53 у.е. Основные результаты представлены в табл.3.5:

                                                                                         Таблица 3.5

Итоговая таблица выбора стратегий

n	0	1	2	3
vУ( n )	0	16, 83	33, 66	50, 49
vП( n )	0	9, 77	21, 87	35, 53
dУ( n )	-	2	2	2
dП( n )	-	2	2	2

 

 

Логико-вероятностный метод

ЛВМ возник в результате исследований проблем безопасности сложных систем. С его помощью можно оценить вероятность отказа сложной системы. ЛВМ относится к аксиоматическим методам принятия решений в условиях стохастической неопределенности. Он позволяет снизить эту неопределенность своим доказательным подходом и результатами экспериментов – вероятностными характеристиками альтернатив [8, 9].

В пособии ЛВМ рассмотрен на примере решения задачи выбора наиболее надежной информационной системы.

Пусть множество альтернатив – это множество показателей рисков информационных систем (ИС). Требуется найти такую ИС, риск которой минимален.

Под риском системы рассматривается сумма рисков ресурсов, из которых она состоит:

(3.1)

где R_i – риск i-го ресурса, n – количество ресурсов. С каждым ресурсом связано множество опасных состояний (ОС), реализация которых приводит к отказу данного ресурса.

В качестве примеров ресурсов ИС могут выступать информационные ресурсы, сервисы, физические или аппаратные ресурсы, программное обеспечение. Одним из примеров информационного ресурса может выступать база данных ИС.

Под риском i-го ресурса понимается сумма рисков, связанных с реализацией опасных состояний данного ресурса:

(3.2)

где r_{i j} – риск реализации j-го опасного состояния i-го ресурса, ; M _i – количество опасных состояний i-го ресурса.

Примерами ОС для ресурса «БД» являются нарушение конфиденциальности информации, полная или частичная потеря информации из-за выхода из строя носителя информации, нарушение доступа.

Под риском реализации j-го опасного состояния i-го ресурса понимается произведение вероятности P_ij и стоимости потерь C_ij  от реализации данного опасного состояния ресурса:

.

Таким образом, задачу оценки риска системы можно разбить на следующие этапы:

1) описание структуры ресурсов системы;

2) описание множества опасных состояний ресурсов системы;

3) оценка вероятностей P_ij реализации опасных состояний, в том числе, выявление меры влияния угроз на реализацию опасных состояний;

4) оценка стоимости потерь C_ij от реализации опасных состояний.

Далее будет рассмотрен этап оценки вероятностей P_ij реализации опасных состояний на основе логико-вероятностного метода.

 

Постановка задачи

Дано:

1. Ресурс с номером i, для которого выделены опасные состояния S _ij, , где m - число возможных состояний.

2. Структура ОС и вероятности инициирующих событий (угроз) x _k , .

Требуется найти:

Вероятности P _ij реализации опасных состояний S _ij,  .

 

Алгоритм решения

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния S _ij.

Шаг 2. Построение функции алгебры логики (ФАЛ)  с использованием операций конъюнкция и дизъюнкция на основе сценария опасного состояния S _ij.

Шаг 3. Построение вероятностной функции (ВФ)  на основе функции алгебры логики.

Шаг 4. Расчет вероятности P _ij реализации опасного состояния с помощью вероятностной функции.

Теоретические основы ЛВМ

В настоящее время математическая логика и теория вероятностей объединяются на основе логико-вероятностного исчисления [9]. При этом предполагается, что теория вероятностей позволяет количественно оценивать надежность или безопасность систем, структура которых описывается средствами математической логики.

Основной проблемой в практическом применении ЛВМ является преобразование произвольных ФАЛ к формам перехода к полному замещению (ФППЗ). Для того чтобы сделать это преобразование стандартным и математически строгим, необходимо обратиться к специальному теоретическому аппарату, основные понятия и теоремы которого будут приведены ниже.

Будем полагать, что каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x _k ( ) с двумя возможными состояниями (работоспособности/отказа, готовности/не готовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p_k и q_k=1- p_k:

Кроме того, делается предположение, что все события x _k являются независимыми в совокупности и что на рассматриваемом интервале времени работы системы исходные параметры законов распределений элементов не изменяются.

Выражение вида  называется элементарной конъюнкцией K ранга r. Выражение вида , где  – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Если функция  записана в ДНФ, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен n, то такая ДНФ называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Выражение вида  называется элементарной дизъюнкцией ранга r.

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными , если их произведение равно нулю (пример:  и ).

ДНФ называется ортогональной дизъюнктивной нормальной формой (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны.

Бесповторной ДНФ (БДНФ) называется такая ДНФ, в которой каждая логическая переменная встречается ровно один раз.

Правила де Моргана позволяют логическое умножение выразить через отрицание логической суммы инверсий высказываний, а логическую сумму – через отрицание логического произведения инверсных высказывания. В дальнейшем они будут использоваться для приведения ФАЛ к специальному виду:

 и .

Вероятностной функцией (ВФ) будем называть вероятность истинности ФАЛ:

P(f(x₁, x₂, …, x_h)=1)

Функции алгебры логики, допускающие непосредственный переход к вероятностной функции заменой логических переменных вероятностями, а логических операций соответствующими арифметическими операциями, назовем формами перехода к замещению (ФПЗ).

Формами перехода к полному замещению (ФППЗ) называются ФПЗ, в которых производится замещение одновременно всех логических переменных.

Булевой разностью функции  по аргументу x _k называется:

,

где символом « » обозначена логическая операция «сумма по модулю два».

Функция  называется м онотонной, если для любых наборов (a₁, …, a_h) и (b₁, …, b_h), таких, что , (k=1, 2, …, h) имеет место соотношение f(a₁, …, a_h) f(b₁, …, b_h). Далее рассмотрим ряд основных теорем.

Теорема 1. Частная производная от вероятности истинности монотонной ФАЛ  по вероятности истинности аргумента x _k численно равна вероятности истинности булевой разности этой функции по аргументу x _k:

.

Теорема 2. Вероятность истинности произвольной ФАЛ, представленной в ОДНФ, равна сумме вероятностей истинности всех ортогональных членов этой ФАЛ:

,

где O_u – не только элементарные конъюнкции ОДНФ, но и любые ФАЛ, попарно ортогональные.

Теорема 3. Дизъюнкция ортогональных бесповторных форм в базисе конъюнкция-отрицание является формой перехода к полному замещению.

Есть несколько ФППЗ – это совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), ортогональная дизъюнктивная нормальная форма (ОДНФ) и бесповторные ФАЛ (БФАЛ) в базисе «конъюнкция-отрицание».

Если ФАЛ представлена в ФППЗ, то переход к вероятностной функции осуществляется по следующим правилам:

1. каждая логическая переменная в ФППЗ заменяется вероятностью ее равенства единице:

, ;

2. отрицание функции заменяется разностью между единицей и вероятностью равенства этой функции единице;

3. операции логического умножения и сложения заменяются операциями арифметического умножения и сложения.

 

Составление сценария опасного состояния

Составление сценария опасного состояния ИС можно представить в виде следующей последовательности шагов:

1) выделение конечного события – опасного состояния (отказа);

2) выделение промежуточных событий, приводящих к реализации опасного состояния и получаемых как комбинация двух или более инициирующих событий;

3) выделение инициирующих событий-угроз.

Для представления опасного состояния используется дерево событий или отказов.

На рис. 3.5 представлен пример сценария опасного состояния в виде дерева событий.

Рис. 3.5. Пример дерева событий для описания опасного состояния системы

Построение функции алгебры логики

С помощью дерева событий составляется функция алгебры логики, описывающая условия перехода системы в опасное состояние.

Для описания условий перехода системы в опасное состояние используется понятие « кратчайший путь опасного функционирования » (КПОФ), под которым понимается конъюнкция минимального набора элементов системы, обеспечивающих вместе переход системы в опасное состояние:

,

где K_wl – множество номеров переменных, соответствующих данному пути.

Условие перехода системы в опасное состояние можно представить в виде дизъюнкции всех имеющихся КПОФ:

.

Пример. Пусть дерево событий имеет вид, представленный на рис. 3.5.

Тогда КПОФ являются: , , , .

Условие перехода системы в опасное состояние имеет вид:

.

Построение вероятностной функции

На предыдущем этапе была получена ФАЛ , описывающая опасное состояние системы как дизъюнкцию всех КПОФ. Следующим шагом является преобразование ФАЛ к ФППЗ – СДНФ, ОДНФ или бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание (БФАЛ).

Построение вероятностной функции на основе ФППЗ осуществляется согласно правилам, описанным выше. Результатом данного этапа является вероятностная функция:

.

Расчет оценки вероятности реализации опасного состояния

Подставляя значения  в ВФ, полученную на предыдущем этапе, получаем оценку вероятности реализации опасного состояния P _ij.

 

Пример

Рассмотрим пример применения ЛВМ для оценки риска реализации опасного состояния «Нарушение конфиденциальности базы данных ИС (БД ИС)».

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния ресурса
(рис. 3.6).

Рис. 3.6. Сценарий ОС «Нарушение конфиденциальности БД ИС»

 

Шаг 2. Построение функции алгебры логики.Согласно описанному сценарию, логическая функция принимает вид:

F=X₁X₂X₃X₄ X₅X₆X₇ X₈X₉X₁₀ X₁₁ X₁₂X₁₃X₁₄X₁₅ X₁₂X₁₃X₁₄X₁₅

   X₁₆X₁₇X₁₈ X₁₉X₂₀X₂₁ X₂₂ X₂₃ X₂₄X₂₅ X₂₆ X₂₇X₂₈ X₂₉ X₃₀

   X₃₁ X₃₂.

Шаг 3. Построение вероятностной функции.Для расчета итоговой вероятности опасного события функция алгебры логики приводится в базис конъюнкция-отрицание. Таким образом, получаем:

F= .

В базисе конъюнкция-отрицание для расчета итоговой вероятности опасного состояния инициирующие события могут быть заменены их вероятностями, полученными на основе статистических данных и экспертных оценок (табл. 3.6):

1-((1- p ₁ p ₂ p ₃ p ₄)(1- p ₅ p ₆ p ₇)(1- p ₈ p ₉ p ₁₀)*

*(1- p ₁₁ p ₁₂ p ₁₃ p ₁₄ p ₁₅)(1- p ₁₆ p 17 p ₁₈)(1- p ₁₉ p ₂₀ p ₂₁)(1- p ₂₂) (1- p ₂₃)*

*(1- p ₂₄ p ₂₅)(1- p ₂₆)(1- p ₂₇ p ₂₈)(1- p ₂₉)(1- p ₃₀)(1- p ₃₁)(1- p ₃₂))

Шаг 4. Расчет оценки вероятности реализации опасного состояния.

Таблица 3.6

Вероятности инициирующих событий сценария

«Нарушение конфиденциальности БД ИС»

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: