Глава 1. Элементы линейной алгебры

Глава 1. Элементы линейной алгебры

Определители

Определение 1. Символ вида Δ = , где некоторые действительные числа, называется определителем второго порядка.

Символ вида Δ = , где некоторые действительные числа, называется определителем третьего порядка.

Определитель второго порядка вычисляется по следующей схеме

т.е.

Δ = = .

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом Саррюса (правило треугольников):

т.е. Δ = = ( + + + ) – - ( + + ).

Пример 1. Вычислить определитель .

Решение. = 2·6 - 5·(-3) = 12 – (-15) = 12+15 = 27.

Пример 2. Вычислить определитель .

Решение. = (5·1· (-3) +6· (-2) · (-4) + 3·0·1) - - (6·1·1+5·0· (-4) + 3· (-2) · (-3)) = (-15 + 48 +0) – (6 + 0 + 18) = 33 – - 24 = 9.

Определение 2. Минором некоторого элемента , определителя п –го порядка называется определитель ( п – 1 ) порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается минор .

Например, для определителя Δ =

= , = .

Определение 3. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i + j четное число, и со знаком «-», если эта сумма нечетная. Обозначается , где = .

Например, для определителя Δ =

= = = (1·(-3)) – (0· (-4)) = -3,

= = -1· = - (5· (-4) – 3·1) = - (-20 – 3) = 23.

Свойства определителей :

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Доказательство: Пусть Δ ₁ = , Δ ₂ = . Тогда Δ ₁ = . Δ ₂ = , т.е. Δ ₁ = Δ ₂.

2. При перестановке двух параллельных строк или столбцов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю.

Доказательство: Пусть Δ = , тогда Δ = .

4. Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого–либо столбца (строки) определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей.

Например, = + .

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки или одного столбца прибавить соответствующие элементы параллельной строки или столбца, умноженные на любое число.

7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения.

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

8. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Например, а₁₁· + а₁₂· + а₁₃· = 0.

Пример 3. Вычислить определитель , разложив его по элементам первой строки.

Решение. = 7· + 0· + 1· = = 7· + 0 + + = 7·(3·4 - 7·2) + (5·7 - 1·3) = = 7·(-2) +32 = -14 + 32 = 18.

§ 2.Матрицы

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Матрица записывается в виде А = или кратко А = , где i – номер строки, j – номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера т × п и пишут . Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Определение 2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е. Например - единичная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Действия над матрицами

1. Сложение. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц = и называется матрица , такая, что = + .

Пример 1. Найти сумму матриц и .

Решение. .

2. Умножение на число. Произведением матрицы = на число k называется матрица такая, что .

Пример 2. Найти 2А + 3В, если , .

Решение. 2А = , 3В = , 2А + 3В = .

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А; 5. 1 · А = А;

2. А + (В + С) = (А + С) + В; 6. α · (А + В) = α А + α В;

3. А + 0 = А; 7. (α + β ) · А = α А + β А;

4. А – А = 0; 8. α · (β А) = (α β ) · А,

где А, В, С – матрицы, α и β – числа.

Элементарные преобразования матриц

- перестановка местами двух параллельных строк или столбцов матрицы;

- умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;

- прибавление ко всем элементам строки или столбца матрицы соответствующих элементов параллельной строки или столбца, умноженных на одно и тоже число.

Определение 3. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Пишут А ~ В.

2. Произведение матриц. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Например, произведением матрицы на матрицу является матрица такая, что

= + + ;

= + + .

Следует помнить, что АВ ≠ ВА.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. ; 3. ;

2. ; 4. ,

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Пример 3. Найти произведение матриц и .

Решение. = 1·1+2·3 +3·2 = 13; = 1·2 + 1·0 +3·0 = 2; = 0·1 + 4·3 +1·2 = 14; = 0·2 + 4·0 +1·0 =0. Получаем .

Определение 4. Матрица называется обратной к матрице А, если , Е – единичная матрица. Причем , где Δ – определитель матрицы А, - алгебраические дополнения.

Определение 5. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается r(A), rang A.

Очевидно, что .

Свойства ранга матрицы

1. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится;

2. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

На практике для вычисления ранга матрицы матрицу приводят к треугольному виду.

Пример 4. Пусть .

Решение. Вычислим ранг матрицы А, используя элементарные преобразования.

~ ~ ~ Следовательно, r ( A ) = 2.

§ 3. Системы линейных уравнений

Определение 1.Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃ имеет вид:

где - коэффициенты системы, - свободные члены.

Определитель третьего порядка Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Матрица называется основной матрицей системы.

Расширенной матрицей системы называется матрица вида .

Решением системы называется три значения неизвестных , , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Определение 2. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Две совместные системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и тоже общее решение.

Определение 3. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю, в противном случае неоднородной.

Однородная система всегда совместна, т.к. является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Векторы

Определение 1. Вектор – это отрезок, имеющий определенную длину и направление. Если А – начало вектора, В – его конец, то вектор обозначается символом или .

Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается - .

Определение 2. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается или . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через .

Определение 3. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение 4. Два вектора и называются равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Определение 5. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (рис. 1).

О А

Рис. 1.

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2).

А С

О В

Рис. 2.

Под разностью векторов и понимается вектор , такой, что (рис.3).

О В

Рис.3.

Произведением вектора на число к называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если к > 0 и противоположное направление, если к < 0.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. = , 2. ,

3. ( ) + = + ), 4. .

5. .

Прямая на плоскости

I . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть на плоскости О xy задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу и образующая угол a с положительным направлением оси Ох (0£ a< p).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) (рис. 7). Проведем через точку N(0; в) прямую, параллельную оси Ох, а из точки М опустим перпендикуляр на ось Ох.

Рис. 7

Из треугольника NMK имеем . Отсюда или . Обозначив, , получим уравнение

(1).

Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (1) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то в = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид

Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно и уравнение (1) примет вид

Если прямая параллельна оси Оу, то и уравнение (1) теряет смысл, т.к. не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

х = а,

где а – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

II. Общее уравнение прямой .

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида

Ах + Ву + С = 0 (2)

(где А, В и С – постоянные коэффициенты, причем А² + В² ¹ 0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Если В = 0, то уравнение (2) имеет вид Ах + С = 0, т.е. - уравнение прямой, параллельной оси Оу.

Если В ¹ 0, то из (2) получим уравнение вида y = kx + в - уравнение прямой с угловым коэффициентом (здесь ).

Если А = 0, то уравнение (2 ) приводится к виду - уравнение прямой, параллельной оси Ох.

Если С = 0, то из (2) получаем - уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Плоскость в пространстве

Рис. 18.

При любом расположении точки М на плоскости Q векторы и перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю, т.е. или

А(х-х₀) + В(у-у₀) + С( z - z ₀ ) = 0. (1)

Уравнение (1) есть уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₀(х₀, у₀, z ₀ ) перпендикулярно вектору . Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Прямая в пространстве

Поверхности в пространстве

В декартовой системе координат сфера, имеющая центр в точке С(а; b; с) и радиус r, определяется уравнением

. (1)

Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

. (2)

Уравнение вида

(3)

задает поверхность, называемую эллипсоидом. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида.