Разложение вектора по координатным осям

 

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат О xyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy, Oz единичные векторы  соответственно (рис. 4).

Выберем произвольный вектор  пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора  на координатные оси. Проведем через конец вектора  плоскости, параллельные координатным плоскостям.

 Рис. 4                             Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁, М₂, М₃. Получим прямоугольный параллелепипед. Ясно, что . Проекцией вектора  на ось Ox является отрезок , на Oy - , на Oz - .

Тогда вектор  может быть представлен в виде . Такое представление называется разложением вектора  по осям координат, или разложением по ортам.

Числа  называются координатами вектора . Пишут = ( ).

Зная координаты вектора , легко найти его модуль: .

Если вектор  составляет с осями координат углы , то можно найти, что  .

Отсюда

.

Числа  называются направляющими косинусами вектора . Они связаны соотношением

.

 

Пусть даны два вектора = ( ), = ( ), тогда:

1. ;

2. = ( );

 

3. =

4. Вектор  коллинеарен вектору  тогда и только тогда, когда выполняется условие , т.е. координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

5. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат О xyz. Вектор , начало которого находится в начале координат, а конец в точке М(x, y, z) называется радиусом-вектором точки М и обозначается , причем .

Рис. 5.                               Тогда если известны координаты точек , то (рис. 5).

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Пример 1. Даны координаты вершин Δ АВС: А(1; 2; 3), В(3; 2; 1), С(1; 4; 1). Показать, что Δ АВС – равносторонний.

Решение: Найдем координаты векторов , , . Получим

= (3-1, 2-2, 1-3) = (2, 0, -2), = (-2, 2, 0), = (0, 2, -2). Вычислим длины данных векторов. Имеем = , = , = . Так как = = , то Δ АВС – равносторонний.

Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов  и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается , . Итак, по определению

= , где       (1).

 

Свойства скалярного произведения:

 

1. = , т.к. =  =  = ;

2. ;

3. ;

4. , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины;

5. Если ненулевые векторы  и  взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если , то = 0. Справедливо и обратное: если = 0 и , то ;

6. Если = ( ), = ( ),

то = ;

7. Так как = , то , где .

Пример 1. Определить угол между векторами .

Решение:

  Имеем

Следовательно,  и .

 

Векторное произведение векторов

Определение 1. Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор , который:

1. перпендикулярен векторам  и , т.е. , ;

2. имеет длину , где .

3.  векторы ,  и  образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или .

Свойства векторного произведения:

 

1. = - ( );

2. ;

3. Два ненулевых вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. ;

4. ;

5. Если = ( ), = ( ), то

.

6. Площадь треугольника, построенного на векторах  и будет равна , а площадь параллелограмма - .

 

Пример 1. Вычислить площадь Δ АВС, если А(1; 1; 1), В(2; 3; 4), С(4; 3; 2).

Решение: Найдем координаты векторов . Получим . Вычислим векторное произведение данных векторов.

.

 Следовательно (кв.ед.).

 

Смешанное произведение векторов

 

Определение 1. Произведение векторов ,  и , составленное следующим образом  называется смешанным . Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Так как смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного произведения, то его принято записывать .

 

Свойства смешанного произведения:

 

1. Векторы ,  и  компланарны тогда и только тогда, когда =0.

2. Если = ( ), = ( ), = ( ), то

= ;

3. Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и  вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен .

 

Пример 1. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2; 2; 2), В(4; 3; 3), С(4; 5; 4) и D (5; 5; 6) (рис.6).

Решение:                            Найдем координаты векторов , совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А.

Получим . Вычислим смешанное произведение этих векторов:     .

       Тогда (куб.ед.).

Рис.6

 

Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости

Прямая на плоскости

I . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

 

Пусть на плоскости О xy задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу и образующая угол a с положительным направлением оси Ох  (0£ a< p).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) (рис. 7). Проведем через точку N(0; в) прямую, параллельную оси Ох, а из точки М опустим перпендикуляр на ось Ох.

Рис. 7

Из треугольника NMK имеем . Отсюда  или . Обозначив, , получим уравнение

(1).

 

Число  называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (1) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то в = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид

.

Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно  и уравнение (1) примет вид

.

Если прямая параллельна оси Оу, то  и уравнение (1) теряет смысл, т.к.  не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

х = а,

где а – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

 

II. Общее уравнение прямой .

 

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида

Ах + Ву + С = 0          (2)

(где А, В и С – постоянные коэффициенты, причем А² + В² ¹ 0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Если В = 0, то уравнение (2) имеет вид Ах + С = 0, т.е.  - уравнение прямой, параллельной оси Оу.         

Если В ¹ 0, то из (2) получим уравнение вида y = kx + в - уравнение прямой с угловым коэффициентом (здесь ).

Если А = 0, то уравнение (2 ) приводится к виду  - уравнение прямой, параллельной оси Ох.

Если С = 0, то из (2) получаем  - уравнение прямой, проходящей через начало координат.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: