Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть дана система из трех уравнений с тремя неизвестными

Если Δ ≠ 0, то единственное решение системы выражается формулами Крамера:

 где  - определители третьего порядка, получаемые из определителя Δ заменой первого, второго или третьего столбца соответственно свободными членами .

Пример 1. Решить систему уравнений методом Крамера.

Решение. Найдем последовательно .

= -4 + 8 + 9 – 8 – 3 + 12 = 14,

= - 32 + 8 + 30 – 8 – 24 + 40 = 14,

= -20 + 32 + 12 – 40 – 4 + 48 = 28,

= 8 + 80 + 72 – 64 – 30 – 24 = 42.

Получаем .

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

 

Процесс решения методом Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду, т.е. надо, применяя элементарные преобразования матриц, преобразовать матрицу  так, чтобы все элементы под главной диагональю были нулевыми.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

 

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение: Запишем расширенную матрицу .

Сначала получим нули под главной диагональю в первом столбце . Для этого из 2-й строки вычтем 1-ю, затем из 3-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 3: .

Получим нули под главной диагональю во втором столбце . Для этого из 3-й строки вычитаем 2-ю строку, умноженную на 4: . Последней матрице соответствует система уравнений:

, которая решается элементарно методом последовательных исключений: сначала из 3-го уравнения определяется , затем из 2-го - , затем из 1-го - .

 

Решение систем линейных однородных уравнений

 

Пусть имеем систему линейных однородных уравнений

Теорема 1. Д ля того, чтобы однородная система т уравнений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. .

Теорема 2.. Д ля того, чтобы однородная система п уравнений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Δ был равен нулю.

Пример 3. Решить систему

Решение: Найдем . Так как Δ ≠ 0, то система имеет только нулевое решение .

Пример 4. Решить систему

Решение: ,

 Так как , то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их

 Стало быть,  - общее решение.

Положив , получаем одно частное решение . Положив , получаем второе частное решение:  и т.д.

 

 

 

Глава 2. Элементы векторной алгебры

Векторы

 

Определение 1. Вектор – это отрезок, имеющий определенную длину и направление. Если А – начало вектора, В – его конец, то вектор обозначается символом  или .

Вектор  называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается - .

Определение 2. Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка АВ и обозначается  или . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через .

Определение 3. Векторы  и  называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение 4. Два вектора  и  называются равными (  = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Определение 5. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

 

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть  и  - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов  и : (рис. 1).

                                                            В

                                  

      О                               А

Рис. 1.

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2).

            А                                 С

 

    О                                          В

Рис. 2.

Под разностью векторов  и  понимается вектор , такой, что  (рис.3).

 

                   А

 

 

О                                      В

Рис.3.

Произведением вектора  на число к называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если к > 0 и противоположное направление, если к < 0.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.  = ,                 2. ,

3. ( ) + =  + ), 4. .

5. .

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: