III . Общее уравнение прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельныхз плоскостей. Система уравнений

(4)

есть общее уравнение прямой.

IY. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности

Под углом между прямыми можно понимать угол между их направляющими векторами.

Пусть прямые задаются каноническими уравнениями  и . Тогда угол между ними определится по формуле

        (5).

 

Условие параллельности двух прямых:

             ;                              (6)

Условие перпендикулярности двух прямых:

.                               (7).

Y. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности

 

Угол между прямой  и плоскостью Ах + Ву + Сz + + D = 0определяется по формуле

         (8).

Условие параллельности прямой и плоскости:

           ;                        (9)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

            .                                  (10)

 

Пример 3. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую .

Решение: Используя условие (10) перпендикулярности прямой и плоскости и полагая A = l, B = m, C = n, D =0, составим уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной заданной прямой. Это уравнение имеет вид 2х+3у+z=0.

Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические уравнения прямой запишутся так: x=2t+2, y=3t+1, z=t+3. Для определения t имеем уравнение 2(2t+3)+3(3t+1)+t+3=0, откуда . Координаты точки пересечения , т.е. .

Остается составить уравнение прямой, проходящей через точку М; используя соотношение (9), получим , или .

Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1; 1; 1) и перпендикулярной векторам s ₁ = 2i + 3j + k и  s ₂ = 3i + j + 2k.

Решение: Данная прямая параллельна вектору

s ₁´ s ₂ = 5i – j - 7k, поэтому она определяется уравнением .

 

Поверхности в пространстве

 В декартовой системе координат сфера, имеющая центр в точке С(а; b; с) и радиус r, определяется уравнением

.                 (1)

Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

   .                             (2)

 

 

Уравнение вида

                                    (3)

задает поверхность, называемую эллипсоидом. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида.

Поверхность, заданная уравнением

                                   (4)

называется однополостным гиперболоидом.

Поверхность, заданная уравнением

                                     (5)

называется двухполостным гиперболоидом.

Поверхность, заданная уравнением

                       (6)

называется эллиптическим параболоидом.

Поверхность, заданная уравнением

                       (7)

называется гиперболическим параболоидом.

Поверхность, заданная уравнением

                                     (8)

называется конусом второго порядка.

Поверхность, заданная уравнением

                                               (9)

называется эллиптическим цилиндром.

Поверхность, заданная уравнением

                                               (10)

называется гиперболическим цилиндром.

Поверхность, заданная уравнением

                                                   (11)

называется параболическим цилиндром.

Образующие всех трех цилиндров параллельны оси Oz.

Пример 1. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

.

Решение: Приведем уравнение сферы к каноническому виду (1), для чего дополним до полных квадратов члены, содержащие x, y, z, т.е. перепишем уравнение в следующем виде:

или

Следовательно, центр сферы – точка С (1/2; -1; 0), а ее радиус r = 1/2.

Пример 2. Какая поверхность определяется уравнениями:

а)

б)

Решение:

а)Сгруппируем члены с одинаковыми координатами:

Дополнив до полных квадратов выражения в скобках, получим

или

Отсюда получаем уравнение эллипсоида

.

б) Сгруппируем члены, содержащие х и у:  Дополняем до полных квадратов выражения в скобках:

 или  т.е. получили уравнение гиперболического параболоида.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Элементы линейной алгебры

 

§ 1. Определители                                                            3

 

§ 2. Матрицы                                                                7

 

§ 3. Системы линейных уравнений                               11

 

Глава 2. Элементы векторной алгебры

 

§ 4. Векторы                                                                 17

 

§ 5. Разложение вектора по координатным осям     19

 

§ 6. Скалярное произведение  векторов                        22

 

§ 7. Векторное произведение векторов                     23

 

§ 8.  Смешанное произведение векторов                    24

 

Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости

 

§ 9. Прямая на плоскости                                                26

 

§ 10. Кривые второго порядка на плоскости            30

 

Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве

 

§ 11. Плоскость в пространстве                                 35

 

§ 12. Прямая в пространстве                                           39

 

§ 13. Поверхности в пространстве                                 42

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: 1987.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: 1984.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учеб. Пособие для втузов. – М.: Высш.шк., 1999. – 416с.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: 1987.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Рольф, 2000. – 288 с.

 

 

Анисимова Татьяна Ивановна

Лекции по высшей математике

Подписано в печать 28.06. 2007 г. Печать ризографическая.

Гарнитура Times New Roman Cyr.

Формат бумаги 60х90/16. Объем 3 п.л.

Тираж 200 экз. Заказ № 228.

 

 

Издательство ЕГПУ, лицензия № 0317 от 19.10.2000 г.

423600 г. Елабуга, ул. Казанская, д. 89.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: