Электрические колебания в колебательном контуре. Вынужденные колебания. Векторная диаграмма. Резонанс.

Вынужденные колебания совершаются под действием периодической внешней силы. Например, электрические колебания в антенне приемника происходят под воздействием приходящих радиоволн.

Допустим, у нас есть обычный маятник, обладающий определенной собственной частотой. Будем качать его рукой с другой частотой. Характер этого колебания зависит от движения руки и может быть, в частности, синусоидальным. К маятнику периодически подводится энергия извне; поэтому его колебания будут незатухающими и могут иметь любую частоту, которая определяется частотой внешней силы.

Такое же явление будет и в колебательном контуре, соединенном с генератором переменного тока. При любой частоте генератора через контур проходит переменный ток, т.е. в контуре происходят вынужденные электрические колебания с частотой генератора.

Вынужденные колебания имеют совершенно иные свойства по сравнению со свободными колебаниями:

1). Они являются незатухающими (вернее они существуют в течение всего времени действия внешней эдс);

2). Они могут иметь различную форму в зависимости от характера эдс;

3). Частота их не зависит от L и С контура, а определяется частотой воздействующей здс;

4). Амплитуда их зависит не только от величины воздействующей эдс, но и от соотношения между частотой этой эдс и собственной частотой самого контура.

Последнее свойство вынужденных колебаний представляет особый интерес и должно быть рассмотрено подробно.

Чем меньше разница между частотой внешней эдс и частотой контура, тем больше амплитуда вынужденных колебаний и для их поддержания требуется меньше энергии. Если частота внешней эдс равна собственной частоте контура, то амплитуда колебаний становится максимальной и для поддержания колебаний достаточно незначительной энергии. Этот случай и называется резонансом.

Явление резонанса состоит в том, что при совпадении частоты воздействующей эдс и собственной частоты контура амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшей величины.

 

Рис.1 - Кривые резонанса колебательного контура

 

На явление резонанса сильно влияет затухание контура. У контура с меньшим затуханием кривая резонанса острее и выше (рис.1 б). Это значит, что контур почти не отзывается на колебания с частотами, отличающимися от его собственной частоты, но зато при резонансе в нем возникают колебания большой амплитуды (острый резонанс). Наоборот, при большом затухании амплитуда колебаний при резонансе получается малой и.контур отзывается на колебания с частотой, значительно отличающейся от резонансной (тупой резонанс).

Чем меньше затухание, тем острее резонанс и тем больше чувствительность контура к колебаниям резонансной частоты.

Для резонанса характерно получение мощных колебаний при небольшой затрате энергии внешнего источника, нужной только для компенсации потерь энергии при колебаниях.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом затухания запишется в виде:m(d2x/dt2) = -kx-r(dx/dt) +F_m cos t.

Перепишем это уравнение в виде: . (23)

Бета=Сопротивление деленное на 2*индуктивность

Т аким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения будет , где - общее решение однородного уравнения (23), (т. е. уравнения (23) с правой частью, равной нулю). Согласно (17)

и с течением времени . Поэтому .

Из решения (23) =>, что (24) где , (25) . (26)

Из анализа (25) следует, что хотя амплитуда вынуждающей силы Fm, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Исследуя (25) на экстремум, можно показать, что только при резонансной частоте

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины: . (28)

Это явление называется резонансом. На рис. 11 приведена зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы , которая определяется формулой (25); (откуда: при = 0 находим , а при имеем , что объясняется инерционностью колебательной системы).Явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте, широко используется в технике. Его следует учитывать при конструировании машин, кораблей, самолетов и т.д. Необходимо, чтобы их резонансные частоты не совпадали с частотой вынуждающих внешних воздействий.

решение уравнения

 

На рис. , б построена векторная диаграмма, характеризующая режим вынужденных колебаний в контуре. При ее построении исходят из вектора тока Iк, обтекающего последовательно все элементы контура. Допустим, что в некоторый момент времени он занимает горизонтальное положение и направлен вправо. Напряжение на активном сопротивлении контура совпадает по фазе с током Iк и равно:

Вектор напряжения на катушке опережает вектор тока на 90° и равен:

Вектор же напряжения на конденсаторе отстает от тока на 90° и равен:

Таким образом, напряжения на катушке и на конденсаторе оказываются сдвинутыми друг относительно друга на 180°, или, как говорят, они находятся в противофазе. Поэтому их действия в той или иной степени взаимно компенсируют друг друга. На векторной диаграмме это изображается противоположным направлением векторов напряжений UL и UC . Вектор, характеризующий их результирующее действие, имеет направление большего из этих векторов и величину, равную их разности. Направления векторов вправо и вверх условно считаются положительными, а влево и вниз - отрицательными. Поэтому напряжение на катушке считается положительным, а напряжение на конденсаторе - отрицательным:

 

⇐ Предыдущая123456789

Поделиться: