Вспомогательные утверждения и методы решения краевой задачи Гильберта для аналитических функций

Введение

 

Одной из основных краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного является краевая задача Гильберта, состоящая в отыскании всех аналитических в некоторой области  функций , непрерывных в , где  - граница области , и удовлетворяющих на  краевому условию:

 

 (0.1)

 

где  - заданные на  функции класса  (Гельдера), причем , .

В теории краевых задач комплексного анализа и ее приложениях, наряду с задачей Гильберта (0.1), важную роль играют различные ее обобщения, например, задачи типа Гильберта для бианалитических функций, т.е. для функций, являющихся решениями обобщенного уравнения Коши-Римана

.

 

Основной целью настоящей работы является изучение одной из модельных задач типа Гильберта в классах бианалитических функций в односвязной области , которая состоит в отыскании всех бианалитических в функций F(z), удовлетворяющих на гладком контуре следующим краевым условиям:

 

 (0.2)

 (0.3)

 

где , , (k = 0, 1) - заданные на L функции, причем , и  на L.

Сформулированную выше задачу назовем задачей H₂, а соответствующую однородную задачу  - задачей H ₂°.

 

Вспомогательные утверждения и методы решения краевой задачи Гильберта для аналитических функций

Об одном методе решения задачи Гильберта для аналитических функций в круге

 

В этом параграфе излагается один из методов решения краевой задачи Гильберта для аналитических функций, предложенного в монографии Г.С. Литвинчука [13].

Пусть , . Рассмотрим следующую краевую задачу Гильберта: требуется найти все аналитические в  функции , непрерывные в  и удовлетворяющие на  краевому условию:

 

 (2.1)

 

где  - заданные на L функции класса , причем , .

Так как , то равенство (2.1) можно записать в комплексной форме

 

, (2.2)

 

где

 

, . (2.3)

Замечание 2.1. Важно отметить, что на контуре выполняются следующие соотношения:

 

 и , . (*)

 

Число , где  будем называть индексом задачи Гильберта (2.1) (или, что, то же самое, (2.2)).

Если в (2.2) , , то получаем однородную задачу Гильберта

 

, . (2.4)

 

Решим сначала простейшую однородную задачу Гильберта

 

, . (2.5)

 

Лемма 2.1. Общее решение задачи (2.5) задается в виде

 

, (2.6)

 

где   - произвольная действительная постоянная.

Доказательство. Так как   - граничное значение аналитической в  функции , то справедливо соотношение (см., напр., [6], с. 44)

 

. (2.7)

 

Переходя к сопряженным значениям в (2.7), получим

. (2.8)

 

Но в силу (2.5) из (2.8) будем иметь

 

. (2.9)

 

Почленно складывая равенства (2.7) и (2.9), имеем:

 

. (2.10)

 

Так как на  выполняется тождество , то  и, следовательно, ядро . Значит, уравнение (2.10) имеет вид:

 

. (2.11)

 

Нетрудно проверить, что общее решение интегрального уравнения Фредгольма (2.11) задается в виде , где   - произвольная комплексная постоянная. Поскольку  должна удовлетворять еще и краевому условию (2.5), то будем иметь  или , откуда .

Итак, действительно решение краевой задачи (2.5) задается в виде , где   - произвольная действительная постоянная.

Метод регуляризующего множителя для решения задачи Гильберта для аналитических функций в случае произвольной односвязной области

 

Дан простой гладкий замкнутый контур , ограничивающий область , и действительные функции дуги  контура  удовлетворяющие условию Гёльдера.

Краевую задачу Гильберта можно сформулировать так. найти аналитическую в области  и непрерывную на контуре функцию , предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют на контуре  линейному соотношению

 

 (3.1)

 

При  будем иметь однородную задачу и при , отличной от нуля, - неоднородную.

Определение аналитической функции, имеющей полюс, по значениям ее действительной части на контуре (задача А).

В предыдущем пункте определялась аналитическая в области функция  по действительной части на контуре. В дальнейшем нам понадобится решение более общей задачи, когда для искомой аналитической функции в некоторой точке области допустим полюс. Задачу эту в дальнейшем, следуя [6], будем именовать задачей А. Дадим ее точную формулировку.

Дан простой гладкий замкнутый контур , ограничивающий внутреннюю область . Требуется определить функцию , аналитическую в области , за исключением точки z₀, где для нее допустим полюс порядка не выше  и действительная часть которой на контуре L обращается в заданную функцию .

Соответствующую однородную задачу ( ) назовем задачей А₀. Решение ее будем обозначать .

Дадим сначала решение задачи А₀ для случая, когда контур L есть единичная окружность и .

Выпишем разложение искомой функции в окрестности начала координат:

 

 

По условию

 

 

Обозначая , получим

 

 

В силу единственности разложения в ряд Фурье будем иметь

 

 

Отсюда

Следовательно, искомая функция Q(z) имеет вид

 

  (3.6)

 

Замечание. 3.1. Если в формулировке задачи А₀ для единичного круга заменить область , внутреннюю для единичной окружности, на область , внешнюю для нее, то как рассуждения, так и окончательный результат останутся неизменными и, следовательно, формула (3.6) дает решение задачи А₀ также и для области , внешней по отношению к единичной окружности с полюсом на бесконечности.

Решение задачи А₀ для произвольной области, а также для единичного круга, но с полюсом в точке , может быть получено из найденного решения при помощи конформного отображения. Пусть

 

 (3.7)

 

есть функция, конформно отображающая область  плоскости  на единичный круг плоскости  так, что некоторая точка  переходит в начало координат  и .

Тогда формула

 

  (3.8)

 

дает решение задачи А₀ для произвольной области  с полюсом порядка  в точке

Теперь мы готовы к тому, чтобы решить задачу А.

По определению оператора Шварца,  есть аналитическая в области D⁺ функция, действительная часть которой на контуре равна . Разность  будет, очевидно, функцией, удовлетворяющей условиям задачи А₀. Следовательно,

 

 

откуда

 

 (3.9)

 

где оператор Шварца  определяется формулой (3.4), а решение  однородной задачи А₀ - формулой (3.8).

Как показывают формулы (3.8), (3.9), в решения задач А₀ и А входят линейно  произвольных действительных постоянных

 

Для построения обладающей перечисленными выше свойствами функции по предельным значениям на контуре ее мнимой части  достаточно заметить, что

 

 

откуда

 

 (3.10)

Способ 1

Будем искать решение задачи (1а) - (2а) в виде:

 

 (3а)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2а) принимает вид:

 

 (4а)

 

В комплексной форме равенство (4а) можно записать так:

 

 (5а)

 

Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в  функцию

 

краевое условие (5а) перепишем в виде:

 

 (6а)

 

Но равенство (6а) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно функций и Общее решение задачи Римана (6а) задается так (см., напр., [6], с. 111):

 (7а)

 

где с₀ - произвольная комплексная постоянная.

Потребуем теперь от функций (7а) выполнения условий «симметрии»

 

 

Отсюда следует, что c₀ - чисто мнимая постоянная, т.е.

Итак, общее решение задачи Гильберта (4а) имеет вид

 

 (8а)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (3а) краевое условие (1а) можно записать так:

 

 

Подставив в последнее равенство вместо  граничное значение функции (8а), получим

 

 (9а)

 

Равенство (9а) можно переписать так:

 

 (10а)

 

Для решения задачи Гильберта (10а) введем в рассмотрение аналитическую в  функцию

 

 (11а)

 

Так как

 

 (12а)

 

то равенство (10а) можно переписать так

 (13а)

 

Но равенство (13а) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и  Индекс задачи Римана (13а) равен 2, так как . Следовательно, задача Римана (13а) безусловно разрешима и ее общее решение можно задать в виде (см., напр., [6], с. 111):

 

 (14а)

 

где с₁, с₂, с₃ - произвольные комплексные постоянные.

Далее потребуем от функций (14а) выполнения условий «симметрии» (12а), т.е.

 

 (15а)

 

Равенство (15а) равносильно тому, что справедлива система

 

 (16а)

 

Пусть c_k =α _k + iβ _k, k=1, 2, 3, где α _k, β _kÎ R. Тогда система (16a) примет вид:

 (17а)

 

Преобразуем систему (17а) к виду

 

 (18а)

 

Из системы (18а) находим, что β ₃= β ₁, α ₂ = 0, α ₃ = -1 - α ₁; β ₀, β ₁, β ₂, α ₁ - любые действительные числа. Подставляя найденные значения α ₃ и β _k, k = 0, 1, 2 в (14а) получаем

 

 (19а)

 

где  - произвольные действительные постоянные.

Из (3а) получаем общее решение задачи (1а) - (2а)

 

(20а)

 

где  - произвольные действительные постоянные.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1а) - (2а) в виде:

 

 (IIIа)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2а) принимает вид:

 

 (IVа)

 

Но равенство (IVа) есть краевое условие скалярной задачи Гильберта относительно функции . Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в § 2.

В комплексной форме равенство (IVа) можно записать так:

 

 (Vа)

 

В данном случае , . Индекс , .

Найдем сначала общее решение однородной задачи

 

 (VIа)

 

Так как индекс данной задачи равен 0, то согласно лемме 2.2 ее решение будет задаваться формулой

 

 (VIIа)

 

Общее решение задачи (IVа) определим по формуле (2.36)

 

 (VIIIа)

где b₀ - действительная постоянная.

Итак, общее решение задачи Гильберта (IVа) имеет вид

 

 (IXа)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (IIIа) краевое условие (1а) можно записать так:

 

 

Подставив в последнее равенство вместо  граничное значение функции (IXа), получим

 

 (Xа)

 

Равенство (Xа) можно переписать так:

 

 (XIа)

 

Для задачи Гильберта (Xа) имеем , . Используя лемму 2.3 получим общее решение однородной задачи Гильберта

 

 (XIIа)

где - произвольная действительная постоянная, а - произвольная комплексная постоянная.

Общее решение задачи (Xа) определим по формуле (2.36)

 

 (XIIIа)

 

где - произвольная действительная постоянная, а - произвольная комплексная постоянная.

Пусть c₁ =α ₁ + iβ ₁, где α ₁, β ₁Î R. Тогда (XIIIа) примет вид:

 

 (XIVа)

 

Переобозначив , получим

 

 (XVа)

 

где  - произвольные действительные постоянные.

Из (3а) получаем общее решение задачи (1а) - (2а)

 

(XVIа)

 

где  - произвольные действительные постоянные.

Ответ:

где - произвольные действительные постоянные.

Пример 2. Пусть . Требуется найти все бианалитические в функции , удовлетворяющие на  условиям:

 

 (1б)

         (2б)

 

Решение.

Способ 1

Будем искать решение задачи (1б) - (2б) в виде:

 

 (3б)

 

где

Так как , то краевые условия (1б) и (2б) можно переписать в следующем виде:

 

 (4б)

 (5б)

 

Но равенство (5б) есть краевое условие задачи Гильберта относительно аналитической в  функции .

Краевое условие (5б) можно переписать так

 

 (6б)

Далее вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в области функцию

 

 

краевое условие (6б) можно переписать в виде

 

 (7б)

 

При выводе (7б) мы учли условие «симметрии»

 

 (8б)

 

Но равенство (7б) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и .

Так как , то задача Римана (7б) безусловно разрешима и ее общее решение можно задать формулами:

 

 (9б)

 (10б)

 

где с₀, - произвольная комплексная постоянная.

Потребовав от функций (9б) и (10б) выполнения условий «симметрии» (8б), получим

 или

 (11б)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Итак, с учетом (11б) из (9б) получаем

 

 (12б)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Таким образом, решение задачи Гильберта (5б) задается формулой (12б).

Наконец, подставив в краевое условие (4б) вместо  граничное значение функции (12б), получим

 

 или

 (13б)

 

Но равенство (13б) есть краевое условие обычной задачи Гильберта относительно аналитической функции .

Перепишем (13б) в комплексной форме:

 

 или

 (14б)

Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую функцию

 

 (15б)

 

с учетом условия «симметрии»

 

 (16б)

 

из (14б) будем иметь

 

 (17б)

 

Равенство (17б) есть краевое условие задачи Римана относительно аналитических функций и

Так как индекс задачи Римана (17б) , то для разрешимости задачи (17б) необходимо и достаточно выполнение следующего условия (см., напр., [6], с. 112):

 

 (18б)

 

Очевидно условие (18б) выполняются. Поэтому единственное решение задачи Римана (17б) можно задать так:

 (19б)

 (20б)

Далее не трудно заметить, что для функций (19б) и (20б) выполнится условие «симметрии» (18б).

Следовательно, единственное решение задачи Гильберта (13б) имеет вид:

 

 (21б)

 

Наконец, с учетом (12б), (21б) и (3б), решение исходной задачи (1б) - (2б) можно задавать так:

 

 или

 (22б)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1б) - (2б) в виде:

 

 (IIIб)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2б) принимает вид:

 

 (IVб)

 

Но равенство (IVб) есть краевое условие однородной задачи Гильберта относительно функции . Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в § 2.

В комплексной форме равенство (IVб) можно записать так:

 (Vб)

 

Так как индекс данной задачи равен 0, то согласно лемме 2.2 ее решение будет задаваться формулой

 

 (VIб)

 

где  - произвольная действительная постоянная.

Далее с учетом (IIIб) краевое условие (1б) можно записать так:

 

 

Подставив в последнее равенство вместо  граничное значение функции (VIб), получим

 

 (VIIб)

 

Равенство (VIIб) можно переписать так:

 

 (VIIIб)

 

Для задачи Гильберта (VIIIб) имеем , .

Сначала проверим выполняются ли условия разрешимости (2.42)

, (IXб)

 

Так как условия разрешимости выполняются, то общее решение задачи (VIIIб) определим по формуле (2.38).

 

 (Xб)

 

решение исходной задачи (1б) - (2б) можно задавать так:

 

 (XIб)

 

где - произвольная действительная постоянная.

Ответ:  где - произвольная действительная постоянная.

Пример 3. Пусть . Требуется найти все бианалитические в  функции , удовлетворяющие на  условиям:

 

 (1в)

 (2в)

 

Решение.

Способ 1

Будем искать решение задачи (1в) - (2в) в следующем виде:

 (3в)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2в) принимает вид:

 

 (4в)

 

В комплексной форме равенство (4в) можно записать так:

 

 (5в)

 

Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в  функцию

 

 

краевое условие (5в) перепишем в виде:

 

 (6в)

 

Но равенство (6в) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно функций и  Так как индекс однородной задачи Римана (6в) , то задача (6в) неразрешима (см., напр., [6], с. 110). Следовательно, исходная задача (1в) - (2в) имеет только тривиальное решение.

Способ 2.

Будем искать решение задачи (1в) - (2в) в виде:

 

 (III в)

 

где  и  - аналитические в  функции.

Так как , то равенство (2в) принимает вид:

 

 (IV в)

 

Равенство (IV в) есть краевое условие однородной задачи Гильберта относительно функции . Для ее решения воспользуемся методом, изложенным в §2.

Так как индекс данной задачи равен , то согласно лемме 2.4 она имеет лишь тривиальное решение.

Ответ: задача имеет тривиальное решение.

 

Заключение

 

В данной работе рассматривается одна из модельных краевых задач типа Гильберта в классах бианалитических функций в односвязной области.

Пользуясь общим представлением бианалитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также известной теорией краевых задач Гильберта в классах аналитических функций, автор разработал общий метод решения рассматриваемой задачи.

В заключительной части работы построены конкретные примеры, на которых иллюстрируется разработанный общий метод решения задачи типа Гильберта H₂ для бианалитических функций в единичном круге.

 

Список литературы

 

1. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976.

2. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1970. - 379 с.

.   Ганин М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 79, №6. - С. 921-924.

.   Ганин М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций: Джсс… канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1952. - 69 с.

.   Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 80, №3. - С. 313-316.

.   Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

.   Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1966. - 626 с.

.   Жегалов В.И. О задачах с производными в краевых условиях // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-тю - 1973. - Вып. 10. - С. 38-52.

.   Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-тю - 1975. - Вып. 12. - С. 50-57.

.   Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-тю - 1976. - Вып. 13. - С. 80-85.

.   Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 с.

.   Левинский C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: Дисс… канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Одесса, 1991.142 с.

.   Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. - Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1977.

.   Литвинчук Г.С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 174, N б. - С. 1268-1270.

.   Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 511 с.

.   Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. - М.: Мир, 1976. - 493 с.

.   Привалов И.И. Граничные свойсва аналитических функций. - М.-Л., 1950. - 336 с.

.   Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитических функций // Докл. АН СССР. - 1991. - Т. 320, №2. - с. 284-288.

.   Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. - Смоленск: Изд-во СГПУ. - 1998. - 344 с.

.   Рогожин B.C. Новое интегральное представление кусочно аналитической функции и его приложение // Докл. АН СССР. - 1960. - Т. 135, №4, - С. 791-793.

.   Сабитов И.Х. Об одной граничной задаче теории функций // Изв. АН Тадж.ССР, Сер. ест. наук. - 1961. - Т. 4

гильберт бианалитический регуляризующий множитель

Введение

 

Одной из основных краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного является краевая задача Гильберта, состоящая в отыскании всех аналитических в некоторой области  функций , непрерывных в , где  - граница области , и удовлетворяющих на  краевому условию:

 

 (0.1)

 

1234Следующая ⇒

Поделиться: